解析幾何知識(shí)點(diǎn)

第五節(jié)橢圓1．橢圓的定義(1)滿足以下條件的點(diǎn)的軌跡是橢圓：①在平面內(nèi)；②與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)；③常數(shù)大于|F1F2|.(2)焦點(diǎn)：兩定點(diǎn)．(3)焦距：兩焦點(diǎn)間的距離．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸、y軸對(duì)稱中心：(0,0)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a短軸B1B2的長(zhǎng)為2b焦距|F1F2|＝2c離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(0,1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b21．橢圓的定義中易忽視2a＞|F1F2|這一條件，當(dāng)2a＝|F1F2|其軌跡為線段F1F2，當(dāng)2a＜|F1F2|不存在軌跡．2．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)易忽視判斷焦點(diǎn)的位置，而直接設(shè)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．3．注意橢圓的范圍，在設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x，y)時(shí)，則|x|≤a，這往往在求與點(diǎn)P有關(guān)的最值問(wèn)題中特別有用，也是容易被忽略而導(dǎo)致求最值錯(cuò)誤的原因．第六節(jié)雙曲線1．雙曲線的定義滿足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是雙曲線(1)在平面內(nèi)；(2)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值為一定值；(3)這一定值一定要小于兩定點(diǎn)的距離．2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)實(shí)虛軸線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|＝2a；線段B1B2叫作雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|＝2b；a叫作雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫作雙曲線的虛半軸長(zhǎng)．a(chǎn)、b、c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)1．雙曲線的定義中易忽視2a＜|F1F2|這一條件．若2a＝|F1F2|，則軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線，若2a＞|F1F2|則軌跡不存在．2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中對(duì)a、b的要求只是a＞0，b＞0易誤認(rèn)為與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b的要求相同．若a＞b＞0，則雙曲線的離心率e∈(1，eq\r(2))；若a＝b＞0，則雙曲線的離心率e＝eq\r(2)；若0＜a＜b，則雙曲線的離心率e＞eq\r(2).3．注意區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓a、b、c關(guān)系，在橢圓中a2＝b2＋c2，而在雙曲線中c2＝a2＋b2.4．易忽視漸近線的斜率與雙曲線的焦點(diǎn)位置關(guān)系．當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上，漸近線斜率為±eq\f(b,a)，焦點(diǎn)在y軸上，漸近線斜率為±eq\f(a,b).1．待定系數(shù)法求雙曲線方程的常用方法(1)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共漸近線的可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；(2)若漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，則可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；(3)若過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)則設(shè)為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn<0)．2．等軸雙曲線的離心率與漸近線關(guān)系雙曲線為等軸雙曲線?雙曲線的離心率e＝eq\r(2)?雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位置關(guān)系)．3．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛半軸長(zhǎng)b4．漸近線與離心率eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的斜率為eq\f(b,a)＝eq\r(\f(b2,a2))＝eq\r(\f(c2－a2,a2))＝eq\r(e2－1).可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實(shí)質(zhì)都表示雙曲線張口的大?。谄吖?jié)拋物線1．拋物線的定義滿足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線：(1)在平面內(nèi)；(2)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)F距離與到定直線l的距離相等；(3)定點(diǎn)不在定直線上．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱軸y＝0x＝0焦點(diǎn)F(eq\f(p,2)，0)F(－eq\f(p,2)，0)F(0，eq\f(p,2))F(0，－eq\f(p,2))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開(kāi)口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0)|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)1．轉(zhuǎn)化思想在定義中應(yīng)用拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離常用定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．2．與焦點(diǎn)弦有關(guān)的常用結(jié)論(以下圖為依據(jù))(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4).(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(θ為AB的傾斜角)．(3)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)為定值eq\f(2,p).(4)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切．第九節(jié)圓錐曲線的綜合問(wèn)題1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或變量y)的一元方程．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0，))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ，則Δ>0?直線與圓錐曲線C相交；Δ＝0?直線與圓錐曲線C相切；Δ<0?直線與圓錐曲線C相離．(2)當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則直線l與圓錐曲線C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸