2022-2023學(xué)年奧數(shù)專家點撥小學(xué)五年級下冊《從不定方程的整數(shù)解》試題附答案

狀元必讀專家點緩

小學(xué)五年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點講解第7課《從不定方程的整數(shù)解》試題附答案

第七講從不定方程1/n=1/x+1/y的整數(shù)解談起

對于形如工的方程，尋找整數(shù)x、y使之滿足方程，稱為求不定方

nxy

求不定方程的整數(shù)解.這里n是取定的一個自然數(shù).對于方程

^?=—+—>(1)

oxy

顯見x=y=12是一個整數(shù)解.還有沒有別的解？如何求解？有人憑直覺能看

出一些解來，但數(shù)學(xué)要求我們有一個成熟的方法去處理同一類問題。

由!=1+工，兩邊減去1,得：

oxyx

111

---=一：

6xy

通分：因此丫=空，這里x-6大于o.為了使右端的分數(shù)形

式更簡明，我們不妨把x-6看成一個整體，即令t=x-6,那么x=t+6.因此

、=6x（：+t）=9+6,由于混整數(shù)，上式右邊也是整數(shù)，所以等也

必須是整數(shù)，這樣我們推知：t是62的因數(shù)（約數(shù)）。

由于是求不定方程2=1+工的整數(shù)解，這樣，原先“漫無邊際”的找兩

6xy

個未知數(shù)X、y的困難問題，轉(zhuǎn)換成找簡單的62的因子t的問題了.

一個完全平方數(shù)的因子必然是奇數(shù)個，如公有因子6、1和36,2和18,3和

12,4和9.6稱為自補的因子.后面的2和18等都稱為互補因子，這樣，不妨記

為：

*11

t0=6,t,=1,t,=36；t-=2,t.'=18st,=3,t,=12jt.=4,

r2z-2

t4'=9也即一=、J…，一=tj,

x=6+t,y="+6=”+6,

1

_=的所有解表示成卜石+6+1t

i，

6

這里t和t'是236的互補因子（當(dāng)t=t，=6時自補因子也包括在內(nèi)），

所以

g=1+JL的全部整數(shù)解為:

6xy

n11111

t=環(huán)=6,/談----+-----

6+66+6

1_11

t1=1,t{=36,—+一

6742島+木）

(Kr點

111f11

t=3,q=12,

36918{6+36+12

111

t=4,t；=9,—=--+---

461015島+舟

由于一地位對等，1=1-的解與99臺穎情況我們都看

成一種了。

以上情況推廣到一般情況：求不定方程

（2）</PGN0195.TXT/PGN>

nxy

的整數(shù)解，只要找出n2的全部成組互補因子t和t，，則

111小

-=----+------（3）

nn+1n+t'

就可得到全部解。

例如，求不定方程：

111

__=_+_

12xy

（即n=12）的整數(shù)解，首先分解122=（22-3）2=24-32,它的因子根

據(jù)分解式的結(jié)構(gòu)特點可以排成一個表。

2°21222324

3°124816

3136122448

329183672144

按照互補或自補因子配對有：（1,144）,（2,72）,（3,48）,

（4,36）,（6,24）,（8,18）,（16,9）,（12,12）。

所以.」+工共有8種解產(chǎn)的因在個數(shù)+1

=8

12xy2

11111111

--+-----+----+--;--+--

13156148415601648

11111111

--+--;-----+-----f----+------9+

1836203021282424

以上是討論上■工+2的全部解自然會想到如果把上式的,再分解成兩彳

nxyx

“單位分數(shù)”（分子為1分母為整數(shù)）的和，那么我們相當(dāng)于求：

mxyz

的整數(shù)解，例如求解

可以利用己經(jīng)解過的：=11的5種解，再把其中士分解成~+~,例如|=

6xyyyzo

±+±=±+1+±,如此等等。

121212742X

總之，求解工=2+工+工也是有路可循的了.特別，如n是質(zhì)數(shù)，n=p,

nxyz

11111

——=—+--=-----H----丁.除了P=2以外，p+1是合數(shù).再分裂RT例如

p2p2pp+1p+p

111

，利用（p+D2有因子1和（p+1）2,因此-----=------+---------------5-，

p+lp+2(p+l)+(p+l)2

1111

=---+--------+-------------⑷

PP+2p(p+l)(p+l)(p+2)

11

例如，1=1+^+^=1+±+±,

353x44x551220

1111111

-=-+----+-----=-+--+---

575義66x773042

1111111

-=-H------+----=—++

797x88x995672

在這些基本訓(xùn)練基礎(chǔ)上，我們很容易把整數(shù)1分拆為若干個單位分數(shù)之

和。

分成兩部分，唯一方式：1=：+￡,

分成三部分，只有3種方式：明顯的有1=：+；+：,先有1=￡+，再

借用：1111

-----F-----=-----+-----這兩種分解形式（因為2?有互補因子

2+12+42+22+2

（1,4）,（2,2）.可有

244236

并且可斷言只有這三種形式.為證明這一論斷，先介紹“推廣的抽屜原

理''（稱之為平均值原理更確切）：一個（正）數(shù)，分放于幾個抽屜中，必有

一個抽屜內(nèi)存放的數(shù)大于或等于平均值注意，這里的數(shù)不局限于整數(shù)）

1分拆為三個單位分數(shù)之和，必有一部分而>:的單位分數(shù)只有

只有1和:不妨設(shè)則1=1或工問題轉(zhuǎn)化成：

23xyzx2x3

1111111

1=7；+—+—或l=q+—+—。

2yz3yz

對于前一種情況，再用推廣的抽屜原理，工中，不

22yzyz

妨設(shè)，必有一個》;工只有。和13兩種情況（顯然1聲J）.對于

yz4y43y2

y=［和，，分別必有L2和J.歸類成1=<+；和1=J+J+J的情況。

34z64236244

對于后一種情況，1-?=1+工，同樣用推廣的抽屜原理，有又

3yzy2

所以;=4由|」+工得工=當(dāng)；=；，也歸類成三種形式之中.

yx3333yzz333

故推斷正確。

在某些問題研究中，并不要求馬上找出全部解，只要能將一個單位分數(shù)分

拆為兩個單位分數(shù)之和即可，這里我們介紹另一種技巧，先看

111

--------F-------⑸

nn+1n(n+1)

（我們這里是在討論單位分數(shù)問題時用到（5）式.其實（5）式又可以改

變形式寫成：

111

_________，=__—____

n(ti+1)nn+1

它在計算中也有巧妙應(yīng)用，為保持原問題討論的連續(xù)性，它的具體應(yīng)用請

看習(xí)題）。

公式（5）在將整數(shù)1分裂成若干個單位分數(shù)和的求解中，用起來很方便.

例如可將1分裂為3個分母不等的單位分數(shù)之和。

而且，只要不計較分母太大看起來不直觀，我們可以把1分裂成任意多個

單位分數(shù)之和，如

1=1+；（2項）

=—+ii）

236

=—+—+—+—（4項）

24126

111111

=—+—+——+——+—+——（6項）

252012742

(8項)

2630201285642

J+LLLL—+L」(9項)

263020129725642

1111111111

=—+—+--+---+---+---+---+---+---+---（10項）。

263020121090725642

如果要求你用兩種不同的方式把1寫成10個單位分數(shù)之和，你不妨在分裂成

11

9項時，另選一種方式用公式1----+-----,--如-選奈奈焉，即可。

nn+1n(n+1)

11

實際上，公式1=----+--------只是最初講的工=1+工=」一+二下的

nn+1n(n+1)nxyn+1n+1

特殊情況，只是才&?的互補因子選為1和r而已所以基本功在于工=工+工的

nxy

分解。

上述基本分解還有一種簡便一些的算法，它不必分解n2的因子，而只要

求分解n的所有因子，還以數(shù)字12為例：=-+把12（注意不是1221

12xy

）的所有因子由小到大排列：1、2,3、4、6、12,6個因子任取2個配成

一個組合，共有15種：

(1,2),(1,3),(1,4),(1.6),(1,⑵

(2,3),(2,4),(2,6),(2,⑵

(3,4),(3,6),(3,⑵

(4,6),(4,⑵

(6,12)

對于每一組合（a,b）,寫成1=。+=，則有:

a+ba+b

1ab

12-12(a+b)+12(a+b)

11

=----------------------------+--------------------------

(-)(a+b)卓)(a+b)

ab

11(231

例如（2.3）__=___xI____+____

1212{2+32+3,

----+------'_+--

6x54x53020

所以白=工+工^15種方式，但這里有重復(fù)，如由Q,2）配出的

12xy1212x（1+2）

和由（2,4）配出的焉1=^^三2萬+4是相同的.只要在因子的配組中篩去這

種情況即可.

以上討論相應(yīng)于不定方程111對于其他分數(shù)形式的不定方程，分

nxy

子不是1的，例如

211

_=_+_

3xy'

一般同學(xué)都可"猜''出'T+L當(dāng)然還有";+L

3Z0555

那么請問是否只有兩種方式？答：是.理由呢？因為由推廣的抽屜原理，

1和1中至少有一個",(l=lx(|)),也即至少有一個或為〈，或

xy33232

為!從而歸于兩種形式那么難度再增加一些，對不定方程垓=1+1求整數(shù)

35xy

求整數(shù)解呢？

用“靈感來湊叫卜言二上?V+：是一種解，最容易的是!?=,

3311ID5J

那么還有第三種解嗎？

用推廠的抽屜原理分析：稱2分拆一成.兩個部分，當(dāng)士11時，,(不妨設(shè)

5xy

設(shè)工〉工，即x<y)必有工〉葭工只有2種可能從而

xyx5x(x52/34

-=I4>或1=29,合理情況只有在前一種中的一種，所以

y53y54y15

卷」+工的整數(shù)解只有春=;+聶99白兩種。

5xy5555315

五年級奧數(shù)下冊：第七講從不定方程1/n=1/x+1/y的整數(shù)解習(xí)題

習(xí)題七

_1=_1+_1

1.求不定方程5矛V的全部整數(shù)解。

J_=

2.求不定方程而一9+歹的整數(shù)解中，使x+y為最小以及最大的兩組解。

____1__=―1――__1__

3.應(yīng)用公式〃8+D?萬+1（5）,證明：

111199

+—+-------+???+--------------=------

n<22x33x499x100100o

4.證明:

11111111111117

1+—+---+--------+-----+----+----+----+-----++-----+------

36101521283645556678911051208O

---=—+—+—

5.求不定方程1°xyz的整數(shù)解，你能求出全部整數(shù)解并證明再沒

有別的角嗎？

6.計算

1111

------------+-------------+------------+???+---------------------

1x2x32x3x43x4x598x99x100

五年級奧數(shù)下冊：第七講不定方程1/n=1/x+1/y的整數(shù)解習(xí)題解答

習(xí)題七解答

1

*1_1=_1+_1=+_一

■51010630

2.3M=22X3X2,為找出它的全部因子，我們這里介紹“字典法則”:

:

2o.3°?5°=1,20.30.J幻=工，，20?3°?5=25,

20?31?5°=3,2。.31.5E5,20?31?5=75,

20?32?50=9,2。.32?51=45,2。?32*5W225,

2-3。*50=2,21?3。?5』10,21?3°?5三50,

21?31?50=6,21.3-5i=30,21*31*5:=150,

21?32?5y8,2】?32?5』90,21?32?5750,

22?30?5°=4,22.3。?5』20,22?30?52=100,

22?31?5M2,22?31?5』60,22?31?5：=300,

2222

2：..5°=36,2?3?5F80,2?3?52=900,

大家都知道英語字典排序規(guī)則，先有a部，再看第二個字母的順序，第二個

字母相同時，看第三個字母的順序，等等.這里因子的嘉值正好借用作順序編

號.(當(dāng)然上題每個因子恰好是2次嘉，如別的也一樣，如：23X22X51的因子

字典法排序為：

2°?3°?5°,2°?3°,5°,

2°?31?50,2°?31?51,先排2。的有6個

‘再排2’的也有6個

2°?32?5°,2°?32?51,

21?3°?5°,21?3°?51

23?3°?5°,23?3°?51

最后2s的也有6個

23?31?5°,23?31?51)共有4X3X2=24個.)

23?32?5°,23?32?51

回到本題，302的27個因子從小到大按方向“二1”排序為：

：123456910121518202530

A木木+木A*AllAAA,,

:90045030022518015010090756050453630

其實只要排出30以下，另一頭用30；的互補因子即可，利用

—_____4.______—4.

30-30+t30+tz~77

立即知x+y=6f.現(xiàn)在問題轉(zhuǎn)化成求廿f的最大最小值問題了.這里要求小

學(xué)生會聯(lián)想和類比，大家知道等積問題的一種結(jié)論：面積固定的長方形中，正

方形的周長最小.或者兩數(shù)乘積不變的情況下，兩數(shù)相等時和最小。

現(xiàn)在t?t'=302固定，要山，最小，當(dāng)然是E1=30,所以最小為120。

那么x+＞最大，也即60+t+t最大，經(jīng)前面t,t排成二行的表一看就知為

60+900+1=961。

3.按照公式7二?二1-一、可得：

n(n+1)nn+1

1_111_11

1^2=1~2'2^3=2~3

1_11111

3x1-3-45，99x100-99~100

因此

----+-----+-----++---------

1x22x33x499x100

11111

=1—十一—+——+■■+----+------

22334989999100

1_99

100-WO

11J11111111

4.—+—，--+__=_—__

36101523212834

111111111111

364545'5566561789167’

11_11

W5+120=7-8

因此

11±±1±±±1±±111

3+6+10+15+21+28+36+45+55+66+78+91105120

17

1_=--

88

5.首先設(shè)x4￡z,因為顯然不會有x=y=z的解.由推廣的抽屜原理:

公片閆4

...12<x<y=4+1,

又因必須是整數(shù)，所以x可能的值只有：2、3、4。

Zcn71111

①如有=2,io-^=5=7+7*

利用前面知識52只有兩組互補因子（1,25）,（5,5）,所以推知利

Z）只有兩組解：L昌十條

2___L=21=JL1

②如X2=3,

10x230yz

運用推廣的抽屜原理。

2+且=史＜《包=5+上

y為整數(shù),

30y601111y1111

??.y可能取值為：3、4、5.

1111111所以鴻

如y=3,_=___=__白是一組解。

30y30330

如'=4,**白在焉%要求為數(shù)，所以要排除y=4。

11111工=?是一組解。

如y=5,__—_=,

30y30ri-所以卜提z