材料力學(xué)課件

第八章應(yīng)力狀態(tài)分析和強(qiáng)度理論$8.1應(yīng)力狀態(tài)概述單向拉伸時(shí)斜截面上的應(yīng)力過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)的截面，這一點(diǎn)的各個(gè)截面上應(yīng)力情況的集合，稱(chēng)為這點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。2．單向拉伸時(shí)斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力為可以得出時(shí)時(shí)橫截面上的正應(yīng)力1．應(yīng)力狀態(tài)主單元體三個(gè)主平面上的主應(yīng)力按代數(shù)值的大小排列，過(guò)A點(diǎn)取一個(gè)單元體，如果單元體的某個(gè)面上只有正應(yīng)力，而無(wú)剪應(yīng)力，則此平面稱(chēng)為主平面。主平面上的正應(yīng)力稱(chēng)為主應(yīng)力。主單元體若單元體三個(gè)相互垂直的面皆為主平面，則這樣的單元體稱(chēng)為主單元體。三個(gè)主應(yīng)力中有一個(gè)不為零，稱(chēng)為單向應(yīng)力狀態(tài)三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)不為零，稱(chēng)為二向應(yīng)力狀態(tài)。三個(gè)主應(yīng)力中都不為零，稱(chēng)為三向應(yīng)力狀態(tài)。$8.2二向應(yīng)力狀態(tài)下斜截面上的應(yīng)力t1．任意斜截面上的應(yīng)力在外法線n和切線t上列平衡方程

根據(jù)剪應(yīng)力互等定理，并考慮到下列三角關(guān)系

satasxsytxyxynt

簡(jiǎn)化兩個(gè)平衡方程，得2．極值應(yīng)力將正應(yīng)力公式對(duì)取導(dǎo)數(shù)，得若時(shí)，能使導(dǎo)數(shù)，則上式有兩個(gè)解：即和在它們所確定的兩個(gè)互相垂直的平面上，正應(yīng)力取得極值。可以證明：一個(gè)平面是最大正應(yīng)力所在的平面，另一個(gè)是最小正應(yīng)力所在的平面。求得最大或最小正應(yīng)力為代入剪力公式，為零。

這就是說(shuō)，正應(yīng)力為最大或最小所在的平面，就是主平面。所以，主應(yīng)力就是最大或最小的正應(yīng)力。主應(yīng)力及主平面的方位令得求得剪應(yīng)力的最大值和最小值是：與正應(yīng)力的極值和所在兩個(gè)平面方位的對(duì)應(yīng)關(guān)系相似，剪應(yīng)力的極值與所在兩個(gè)平面方位的對(duì)應(yīng)關(guān)系是：，則絕對(duì)值較小的對(duì)應(yīng)最大剪應(yīng)力所在的平面。3．主應(yīng)力所在的平面與剪應(yīng)力極值所在的平面之間的關(guān)系與之間的關(guān)系為這表明最大和最小剪應(yīng)力所在的平面與主平面的夾角為45度若$8.3二向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓1．應(yīng)力圓方程

中的將公式削掉，得由上式確定的以為變量的圓，這個(gè)圓稱(chēng)作應(yīng)力圓。

圓心的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為0，圓的半徑為。2．應(yīng)力圓的畫(huà)法建立應(yīng)力坐標(biāo)系（注意選好比例尺）在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出點(diǎn)和

與軸的交點(diǎn)C便是圓心以C為圓心，以AD為半徑畫(huà)圓——應(yīng)力圓。t1）圓上一點(diǎn)坐標(biāo)等于微體一個(gè)截面應(yīng)力值2）圓上兩點(diǎn)所夾圓心角等于兩截面法線夾角的兩倍3）對(duì)應(yīng)夾角轉(zhuǎn)向相同4．在應(yīng)力圓上標(biāo)出極值應(yīng)力3．單元體與應(yīng)力圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系$8.4三向應(yīng)力狀態(tài)1．三個(gè)主應(yīng)力

2.三向應(yīng)力圓的畫(huà)法

作應(yīng)力圓，決定了平行于平面上的應(yīng)力作應(yīng)力圓，決定了平行于平面上的應(yīng)力作應(yīng)力圓，決定了平行于平面上的應(yīng)力由由由，最大的剪應(yīng)力極值為3．單元體正應(yīng)力的極值為$8.5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的廣義虎克定律1．單拉下的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系，三向應(yīng)力狀態(tài)等三個(gè)主應(yīng)力，可看作是三組單向應(yīng)力的組合。對(duì)于應(yīng)變，可求出單向應(yīng)力引起的應(yīng)變，然后疊加可得單元體變形后的體積為4．體積胡克定律2．復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系單元體變形后的體積為體積改變?yōu)槠渲袨轶w積模量，是三個(gè)主應(yīng)力的平均值。為體積胡克定律。第二章拉伸、壓縮和剪切$2.1軸向拉伸與壓縮的概念和實(shí)例1.概念：桿件上外力合力的作用線與桿件軸向重合，變形是沿軸線方向的伸長(zhǎng)和縮短。2.力學(xué)模型：PPPP$2.2拉伸或壓縮時(shí)的內(nèi)力和橫截面上的應(yīng)力1．軸力桿在軸向拉壓時(shí)，橫截面上的內(nèi)力稱(chēng)為軸力。軸力用N表示，方向與軸線重合。求解軸力的方法：截面法。軸力的符號(hào)規(guī)則：N與截面的外法線方向一致為正；反之為負(fù)。軸力為正，桿件受拉；軸力為負(fù)，桿件受壓。2．軸力圖：用折線表示軸力沿軸線變化的情況。該圖一般以桿軸線為橫軸表示截面位置，縱軸表示軸力大小。它能確定出最大軸力的數(shù)值及其所在橫截面的位置，即確定危險(xiǎn)截面位置，為強(qiáng)度計(jì)算提供依據(jù)例

AB桿受力如圖所示,已知2.5kN，4kN，1.5kN。試求AB桿各段內(nèi)并作軸力圖P1P2P31122P1P2P31122P1N1N2P2P1解:(1)計(jì)算各段的軸力對(duì)AC段，設(shè)置截面如圖，由平衡方程對(duì)BC段，由平衡方程得:得：ACB(2)按比例畫(huà)軸力圖P1P2P31122ACBN/kNx2.51.53．軸向拉（壓）時(shí)橫截面上的應(yīng)力，強(qiáng)度條件根據(jù)橫截面在軸向拉壓時(shí)仍然保持為平面不變的平面假設(shè)，可得橫截面上只存在正應(yīng)力。又因?yàn)椴牧暇鶆蜻B續(xù)，并且縱向纖維的伸長(zhǎng)相同，所以橫截面上的正應(yīng)力均勻分布。強(qiáng)度條件及其應(yīng)用：abcd例如圖所示托架，已知：AB為鋼板條，截面積100cm2，AC為10號(hào)槽鋼，橫截面面積為A=12.7cm2。若求：各桿的應(yīng)力。解：（1）以節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象，受力分析如圖所示，建立平衡方程解方程可得（2）計(jì)算各桿的應(yīng)力AB和AC的應(yīng)力為$2.3材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能1.低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能（應(yīng)力應(yīng)變曲線圖）力學(xué)性能：在外力作用下，材料在變形和破壞方面表現(xiàn)出的特性（1）彈性階段（2）屈服階段

在應(yīng)力增加很少或不增加時(shí)，應(yīng)變會(huì)很快增加，這種現(xiàn)象叫屈服。

(3)強(qiáng)化階段_材料經(jīng)過(guò)屈服階段以后，因塑性變形使其組織結(jié)構(gòu)得到調(diào)整，若需要增加應(yīng)變則需要增加應(yīng)力。是材料能承受的強(qiáng)度極限

（4）局部變形階段

（5）截面收縮率和延伸率延伸率（6）卸載與硬化截面收縮率2．鑄鐵拉伸時(shí)的力學(xué)性能鑄鐵拉伸時(shí)，沒(méi)有屈服和頸縮，拉斷時(shí)延伸率很小，故強(qiáng)度極限是衡量強(qiáng)度的唯一指標(biāo)。2．鑄鐵壓縮時(shí)，在較小變形時(shí)就會(huì)破壞，并沿45度方向破壞，說(shuō)明鑄鐵因剪切破壞。

$2.4材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能1．低碳鋼在壓縮時(shí)，彈性摸量和屈服極限與拉伸相似，但壓縮不會(huì)破壞，只會(huì)越壓越扁，沒(méi)有強(qiáng)度極限。$2.5失效與許用應(yīng)力脆性材料在其強(qiáng)度極限塑性材料在其屈服極限時(shí)失效。

破壞，極限應(yīng)力：

，

塑性材料的許用應(yīng)力，脆性材料

一般工程中，。

2．強(qiáng)度條件

等截面桿

1．失效原因$2.6軸向拉伸或壓縮的變形，彈性定律1．桿件在軸向方向的伸長(zhǎng)為2．沿軸線方向的應(yīng)變和橫截面上的應(yīng)力分別為，。3．胡克定律E為彈性模量。4．橫向應(yīng)變?yōu)闄M向應(yīng)變與軸向應(yīng)變的關(guān)系為將應(yīng)力與應(yīng)變的表達(dá)式帶入得以求下面三桿桁架的內(nèi)力為例說(shuō)明靜不定問(wèn)題的解法。$2.7軸向拉（壓）桿靜不定問(wèn)題對(duì)于桿件的軸力，當(dāng)未知力數(shù)目多于平衡方程的數(shù)目，僅利用靜力平衡方程無(wú)法解出全部未知力。這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為靜不定問(wèn)題或超靜定問(wèn)題。2．靜不定問(wèn)題的解法求解靜不定問(wèn)題的關(guān)鍵在于使未知力個(gè)數(shù)和方程個(gè)數(shù)相等，這要求除了利用理論力學(xué)的知識(shí)建立平衡方程外，還要建立若干個(gè)補(bǔ)充方程，使其個(gè)數(shù)等于靜不定次數(shù)。1．靜不定問(wèn)題的概念解：(1)列A點(diǎn)的平衡方程N(yùn)3N2N1PEA（2）變形幾何關(guān)系（3）力與變形的關(guān)系＝

（４）聯(lián)立補(bǔ)充方程和平衡方程求解未知力，例

桿的上、下兩端都有固定約束，若抗拉剛度EA已知，試求兩端反力。解：（1）列桿的平衡方程

（2）變形幾何關(guān)系由于桿的上、下兩端均已固定，故桿的總變形為零，即等于AC段變形和BC段變形之和。。（3）力與變形的關(guān)系，對(duì)BC段，其軸力，

AC段，其軸力由虎克定律

代入變形幾何關(guān)系

（４）聯(lián)立補(bǔ)充方程和平衡方程求解未知力

解得

應(yīng)該注意，、桿件所受的力必須與產(chǎn)生的變形一致，才能得到正確答案。方向可任意假設(shè)，但在建立補(bǔ)充方程時(shí)，總結(jié)超靜定問(wèn)題的方法步驟：（1）平衡方程；

（2）幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程；

（3）物理方程——彈性定律；

（4）補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得；

解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組。對(duì)于靜定問(wèn)題，不存在裝配應(yīng)力，但在靜不定結(jié)構(gòu)中，由于桿件的尺寸不準(zhǔn)確，強(qiáng)行裝配在一起，這樣在未受載荷之前，桿內(nèi)已產(chǎn)生的內(nèi)力。由于裝配而引起的應(yīng)力稱(chēng)為裝配應(yīng)力。以下圖為例進(jìn)行講解。1．平衡方程2．變形幾何方程3．物理方程聯(lián)立方程得，3．裝配應(yīng)力等截面直桿受軸向拉伸或壓縮時(shí)，橫截面上的應(yīng)力是均勻分布的，對(duì)于構(gòu)件有圓孔、切口、軸肩的部位，應(yīng)力并不均勻，并在此區(qū)域應(yīng)力顯著增大，這種現(xiàn)象稱(chēng)為應(yīng)力集中。$2.8應(yīng)力集中的概念1．應(yīng)力集中應(yīng)力系中系數(shù)名義應(yīng)力(平均應(yīng)力)塑性材料：由于塑性引起應(yīng)力均布，對(duì)靜強(qiáng)度極限影響不大。對(duì)疲勞強(qiáng)度，應(yīng)力集中有影響。脆性材料：塑性材料沒(méi)有屈服階段，載荷增加時(shí)應(yīng)力集中處的最大應(yīng)力一直領(lǐng)先。并首先在此處出現(xiàn)裂紋。對(duì)靜載荷，也應(yīng)考慮其影響。2．應(yīng)力集中對(duì)構(gòu)件強(qiáng)度的影響$2.9剪切和擠壓剪切變形的受力特點(diǎn)：作用在桿件兩個(gè)側(cè)面上且與軸線垂直的外力，大小相等，方向相反，作用線相距很近。變形特點(diǎn)是：兩個(gè)力之間的截面沿剪切面相對(duì)錯(cuò)動(dòng)?？赡鼙患魯嗟慕孛娣Q(chēng)為剪切面。

式中Q：剪切面上的剪力。A：剪切面面積1．剪切變形與擠壓剪切力擠壓應(yīng)力式中P：擠壓面上的擠壓力：擠壓面面積（與外載荷垂直），過(guò)圓柱直徑的橫截面面積。2．剪應(yīng)力與擠壓力的計(jì)算例

齒輪和軸用平鍵聯(lián)接如下圖所示。已知軸的直徑d=70mm，鍵的尺寸，傳遞的力偶矩m=2kNm，鍵的許用應(yīng)力許用擠壓應(yīng)力。試校核鍵的強(qiáng)度。解：（1）計(jì)算鍵所受剪力的大小將鍵沿截面n-n假想切開(kāi)成兩部分，并把截面以下部分和軸作為一個(gè)整體來(lái)考慮。OOn-n截面上的剪力Q為由平衡條件

（2）校核鍵的剪切強(qiáng)度

O鍵受到的擠壓力為P，擠壓面面積，由擠壓強(qiáng)度條件

故平鍵滿足擠壓強(qiáng)度條件。（3）校核鍵的擠壓強(qiáng)度3.5t1.5t例拖車(chē)掛鉤由插銷(xiāo)與板件聯(lián)結(jié)。插銷(xiāo)材料為20號(hào)鋼，，直徑，厚度。試校核插銷(xiāo)的剪切強(qiáng)度。，試校核插銷(xiāo)的擠壓強(qiáng)度。若擠壓許可應(yīng)力為解（1）計(jì)算鍵所受力的大小將插銷(xiāo)沿截面m-m和n-n假想切開(kāi)（雙剪切面）。列平衡方程可得（2）校核鍵的剪切強(qiáng)度3.5t1.5t（3）校核鍵的擠壓強(qiáng)度考慮中段的直徑面積小于上段和下段直徑面面積之和2dt，故校核中段的擠壓強(qiáng)度。第九章組合變形1．定義在復(fù)雜外載作用下，構(gòu)件的變形會(huì)包含幾種簡(jiǎn)單變形，當(dāng)幾種變形所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力屬同一量級(jí)時(shí)，不能忽略之，這類(lèi)構(gòu)件的變形稱(chēng)為組合變形。2．組合變形形式§9–1概念。C兩個(gè)平面彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合外力分析：外力向形心(后彎心)簡(jiǎn)化并沿主慣性軸分解內(nèi)力分析：求每個(gè)外力分量對(duì)應(yīng)的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖，確定危險(xiǎn)面。應(yīng)力分析：畫(huà)危險(xiǎn)面應(yīng)力分布圖，疊加，建立危險(xiǎn)點(diǎn)的強(qiáng)度條件。對(duì)于線彈性狀態(tài)的構(gòu)件，將其組合變形分解為基本變形，考慮在每一種基本變形下的應(yīng)力和變形，然后在疊加。3．組合變形的研究方法——疊加原理扭轉(zhuǎn)與彎曲mBAECPPt4．解題步驟§9–2拉(壓)彎組合

CBMx12kN.mN例起重機(jī)的最大吊重P=12kN，

[σ]=100kN/m2試為橫梁AB選擇適用的工字鋼。解：（1）受力分析由得（2）作AB的彎矩圖和剪力圖，確定C左側(cè)截面為危險(xiǎn)截面。（3）確定工字鋼型號(hào)按彎曲強(qiáng)度確定工字鋼的抗彎截面系數(shù)查表取W=141cm3的16號(hào)工字鋼，其橫截面積為26.1cm3。在C左側(cè)的下邊緣壓應(yīng)力最大，需要進(jìn)行校核。固所選工字鋼為合適。CBMx12kN.mNx§9–3斜彎曲2）疊加：對(duì)兩個(gè)平面彎曲進(jìn)行研究；然后將計(jì)算結(jié)果疊加起來(lái)。梁的橫向力不與橫截面對(duì)稱(chēng)軸或形心主慣性軸重合，這時(shí)桿件將在形心主慣性平面內(nèi)發(fā)生彎曲，變形后的軸線與外力不在同一縱向平面內(nèi)，2．解題方法1）分解：將外載沿橫截面的兩個(gè)形心主軸分解，于是得到兩個(gè)正交的平面彎曲。。C例矩形截面懸臂梁，求根部的最大應(yīng)力和梁端部的位移。解：（1）將外載荷沿橫截面的形心主軸分解1．斜彎曲概念

C（2）外載荷在固定端兩平面內(nèi)的彎矩（3）應(yīng)力引起任意點(diǎn)C處應(yīng)力由彎矩引起任意點(diǎn)C處應(yīng)力由彎矩（4）最大正應(yīng)力—在C處的應(yīng)力疊加為（5）變形計(jì)算引起的垂直位移由引起的垂直位移由將、幾何疊加得上式說(shuō)明撓度所在平面與外力所在的平面并不重合?！?–4彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合P向軸心簡(jiǎn)化得一等值力和扭矩PPt平面內(nèi)的彎矩平面內(nèi)的彎矩mBAECPPtT在危險(xiǎn)截面上，與扭矩T對(duì)應(yīng)的邊緣上的切應(yīng)力極值為1．外力向桿件截面形心簡(jiǎn)化2．畫(huà)內(nèi)力圖確定危險(xiǎn)截面與合成彎矩對(duì)應(yīng)的彎曲正應(yīng)力的極值為D點(diǎn)的主應(yīng)力為按第三強(qiáng)度理論，強(qiáng)度條件是

mBAECPPtPPtT

對(duì)于圓軸，其強(qiáng)度條件為3．確定危險(xiǎn)點(diǎn)并建立強(qiáng)度條件

按第四強(qiáng)度理論，強(qiáng)度條件為

經(jīng)化簡(jiǎn)得出對(duì)于圓軸，其強(qiáng)度條件為第六章彎曲應(yīng)力$6.1梁的彎曲1．橫力彎曲橫截面上既有Q又有M的情況。如AC、DB段。2．純彎曲某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒(méi)有剪力時(shí)，該段梁的變形稱(chēng)為純彎曲。如CD段。3．梁的純彎曲實(shí)驗(yàn)(1).現(xiàn)象：橫向線a-b變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動(dòng)；縱向線變a-a變?yōu)榍€，且上面壓縮下面拉伸；橫向線與縱向線變形后仍垂直。(2)概念：中性層：梁內(nèi)有一層纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱(chēng)中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。橫截面對(duì)稱(chēng)軸中性軸中性層縱向?qū)ΨQ(chēng)面$6.2純彎曲時(shí)的正應(yīng)力1．變形幾何關(guān)系從梁中截取出長(zhǎng)為dx的一個(gè)微段，橫截面選用如圖所示的坐標(biāo)系。圖中，y軸為橫截面的對(duì)稱(chēng)軸，z軸為中性軸。橫截面間相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為,中性層曲率半徑為，距中性層為y處的任一縱線（縱向纖維）b、b、為圓弧曲線。而其線應(yīng)變?yōu)橐虼耍vbb的伸長(zhǎng)為梁的縱向纖維間無(wú)擠壓，只是發(fā)生簡(jiǎn)單拉伸或壓縮。當(dāng)橫截面上的正應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，可由虎克定律得到橫截面上坐標(biāo)為y處各點(diǎn)的正應(yīng)力為yz3．靜力關(guān)系截面上內(nèi)力系簡(jiǎn)化為三個(gè)內(nèi)力分量，即平行x軸的軸力N，對(duì)Z軸的力偶矩MZ

，和對(duì)軸的力偶矩My，2．物理關(guān)系yz考慮左側(cè)平衡，，，得

橫截面上的內(nèi)力系最終歸結(jié)為一個(gè)力偶矩式中積分上式可寫(xiě)成為稱(chēng)為梁的抗彎剛度。

將該式代入，即可得到彎曲時(shí)梁的橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算公式即以梁的中性層為界，梁的凸出一側(cè)受拉壓力，凹入的一側(cè)受壓。則截面上的最大正應(yīng)力為$6.3橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力1．橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力，橫力彎曲時(shí)的細(xì)長(zhǎng)梁，橫截面將不在保持為平面。縱向纖維間的正應(yīng)力也存在。但用純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算公式，能夠滿足精度的要求。橫力彎曲時(shí)，彎矩隨截面位置變化。一般情況下，在彎矩最大的截面上離中性軸最遠(yuǎn)處發(fā)生最大應(yīng)力。有公式引入符號(hào)——截面圖形的抗截面模量。強(qiáng)度條件為則高為h，寬為b的矩形截面：

直徑為的圓截面：

例

受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁如圖所示，試求：（1）1——1截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力；（2）此截面上的最大正應(yīng)力；（3）全梁的最大正應(yīng)力；解：畫(huà)M圖求截面彎矩求應(yīng)力$6.4彎曲切應(yīng)力橫力彎曲的梁截面上有彎矩還有剪力。剪力Q是與截面相切的內(nèi)力系的合力。研究方法：分離體平衡。1．矩形截面中的彎曲切應(yīng)力在梁上取微段dx，在微段上再取一塊如圖，列平衡方程：

（1）（2）（3）（3）帶入（1）、（2）得由剪應(yīng)力互等得于是并時(shí)有工字形截面其彎曲剪應(yīng)力計(jì)算與矩形截面梁類(lèi)似。仍然沿用矩形截面梁彎曲剪應(yīng)力計(jì)算公式將此式代入彎曲剪應(yīng)力公式，可得腹板上彎曲剪應(yīng)力的計(jì)算公式ByhHb2．工字鋼截面將y=0和y=h/2分別帶入上式，得3．圓形截面梁半個(gè)圓截面對(duì)中性軸的靜矩此外將上式帶入得2R$6.5梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件、提高彎曲強(qiáng)度的措施梁在彎曲時(shí)，橫截面上一部分點(diǎn)受拉應(yīng)力，另一部分點(diǎn)受壓應(yīng)力。對(duì)于低碳鋼等這一類(lèi)塑性材料，其抗拉和抗壓能力相同，為了使橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力，常將這種梁做成矩形，圓形和工字形等對(duì)稱(chēng)于中性軸的截面，對(duì)于拉壓強(qiáng)度不等的材料，拉壓應(yīng)力均不應(yīng)該超過(guò)各自的許用應(yīng)力。于是強(qiáng)度條件為，，1．彎曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件例求T形截面梁的最大切應(yīng)力。解：（1）求支反力（2）作剪力圖（3）求最大切應(yīng)力$6.5梁的截面形狀優(yōu)化

，對(duì)于寬b

，高為h的矩形，抗彎截面模量因此，高度越大，越大，在外邊緣達(dá)到許用應(yīng)力時(shí)，中性軸附近的應(yīng)力很小，造成材料的浪費(fèi)。例如：圓形截面。理想的情況是將面積之半分布于距中性軸處。越小。為

A/2A/2AAAha.塑性材料上、下對(duì)稱(chēng)抗彎更好，抗扭差。b.脆性材料$6.6等強(qiáng)度梁截面沿桿長(zhǎng)變化，恰使每個(gè)截面上的正應(yīng)力都等于許用應(yīng)力，這樣的變截面梁稱(chēng)為等強(qiáng)度梁。由

得

若圖示懸臂梁為等強(qiáng)度梁。等寬度h，高度為x的函數(shù)，b=b(x)。

則

得出按剪切強(qiáng)度確定截面寬度的最小值由于變截面梁并不節(jié)省材料，且加工麻煩，因此采用階梯梁(加工方便)。第七章彎曲變形$7.1撓曲線近似微分方程xxLPABvB’y撓曲線：當(dāng)梁在xy面內(nèi)發(fā)生彎曲時(shí)，梁的軸線由直線變?yōu)槊鎯?nèi)xy的一條光滑連續(xù)曲線，稱(chēng)為梁的撓曲線。撓度：橫截面的形心在垂直于梁軸（x軸）方向的線位移，稱(chēng)為橫截面的撓度，并用符號(hào)v表示。轉(zhuǎn)角：橫截面的角位移，稱(chēng)為截面的轉(zhuǎn)角，用符號(hào)表示。

因此，確定梁的撓曲線方程，就確定了梁的任一截面的撓度和轉(zhuǎn)角1．概念2．撓曲線近似微分方程梁軸的曲率半徑與彎矩的關(guān)系為將微分弧段ds放大，有如下關(guān)系：

由于撓度很小，考慮到彎矩的符號(hào)與一致，上式寫(xiě)成將代入上式得出xxLPABvB’y上式可以寫(xiě)成，$7.2積分法求彎曲變形

再積分一次，即可得梁的撓曲線方程式中C和D為積分常數(shù)，它們可由梁的約束所提供的已知位移來(lái)確定。轉(zhuǎn)角和撓曲線方程對(duì)兩側(cè)積分，可得梁的轉(zhuǎn)角方程2．積分常數(shù)的確定—邊界條件和光滑連續(xù)性固定端，撓度和轉(zhuǎn)角都等于零；鉸支座上撓度等于零。彎曲變形的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)上轉(zhuǎn)角等于零。在撓曲線的任意點(diǎn)上，有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角。1．轉(zhuǎn)角方程例

所示簡(jiǎn)支梁受集中力作用，試討論它的彎曲變形。解：①求反力并列梁的彎矩方程

分兩段列AB梁的彎矩方程為：

AC段

CB段

②列出梁的各段的撓曲線近似微分方程并積分將和兩段的撓曲線近似微分方程及積分結(jié)果，列表如下。xyPabx1x2ABCRARB段段③確定積分常數(shù)

梁在A、B兩端的邊界條件為時(shí)，

時(shí)，撓曲線在截面的連續(xù)條件為當(dāng)時(shí)，

解得梁AC和CB段的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程列于下表：AC段CB段④求梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角在梁的左端截面的轉(zhuǎn)角為在梁右端截面的轉(zhuǎn)角為當(dāng)時(shí)，可以斷定為最大轉(zhuǎn)角。為了確定撓度為極值的截面，先確定C截面的轉(zhuǎn)角若,AC段內(nèi)必有一截面轉(zhuǎn)角為零。

令解得的轉(zhuǎn)角為零，亦即撓度最大的截面位置。

則由AC段的撓曲線方程可求得梁AB的最大撓度為例起重機(jī)大梁的自重是集度為q的均布載荷，吊重P為作用于中間的集中力。試求大梁跨度中間的撓度。$7.3用疊加法求彎曲變形當(dāng)梁上有幾個(gè)簡(jiǎn)單載荷共同作用時(shí)，可以分別計(jì)算梁在每個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)的變形，然后進(jìn)行疊加，即可求得梁在幾個(gè)載荷共同作用時(shí)的總變形。qPABCL/2L/2qP解:(1)分解載荷:均布載荷q，集中力P（2）查表疊加均布載荷單獨(dú)作用下集中力單獨(dú)作用下在均布載荷和集中力共同作用下例將車(chē)床主軸簡(jiǎn)化成等截面的外伸梁。軸承A和B簡(jiǎn)化為鉸支座，P1為切削力，P2為齒輪傳動(dòng)力。試求截面B的轉(zhuǎn)角和端點(diǎn)C的撓度。解：（1）分解載荷，集中力（2）計(jì)算在截面B處的剪力和彎矩，截面因M引起的轉(zhuǎn)角P2單獨(dú)作用引起的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角疊加因轉(zhuǎn)角引起的C處的撓度（3）查表疊加P1引起的C點(diǎn)的撓度C點(diǎn)撓度的疊加$7.4簡(jiǎn)單超靜定梁3）建立相當(dāng)系統(tǒng)1．求解步驟1）判斷靜不定度2）建立基本系統(tǒng)一個(gè)靜不定系統(tǒng)解除多余約束后所得的靜定系統(tǒng)4）根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件求解靜不定問(wèn)題P作用有原靜不定梁載荷與多余約束反力的基本系統(tǒng)2．求解簡(jiǎn)單靜不定結(jié)構(gòu)例求超靜定梁B處的支反力及中點(diǎn)C的撓度。解：去掉支座B，代替以約束反力力與變形的關(guān)系變形協(xié)調(diào)關(guān)系解得利用疊加法得P第三章扭轉(zhuǎn)1.扭轉(zhuǎn)變形：扭轉(zhuǎn)變形是在桿件兩端作用大小相等、方向相反且作用平面垂直于桿件軸線的力偶，致使桿件的任意兩個(gè)橫截面都發(fā)生繞軸線的相對(duì)移動(dòng)。$3.1扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例3．扭轉(zhuǎn)變形受力特點(diǎn)：桿件的兩端作用著大小相等，方向相反，且作用面垂直于桿件軸線5．工程實(shí)例：方向盤(pán)軸、傳動(dòng)軸。2．外力特征：力偶矩矢平行于桿的軸線。力偶矩矢表示的右手螺旋法則。4.力偶變形特點(diǎn)：各軸線仍直，桿件的任意兩個(gè)橫截面發(fā)生繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。$3.2外力偶矩的計(jì)算扭矩和扭矩圖1.外力偶矩的計(jì)算N：功率；：轉(zhuǎn)速（1）內(nèi)力偶矩：桿件受扭時(shí)截面上的內(nèi)力偶矩。符號(hào)（2）內(nèi)力偶矩計(jì)算—截面法用截面將軸分成兩部分，按右手螺旋法則把、T表示為矢量，列出左部分平衡方程，得到。2．扭矩和扭矩圖當(dāng)矢量方向與截面外法線方向一致時(shí)，T為正；反之為負(fù)。（3）扭矩圖反應(yīng)出|T|max值及其截面位置，從而進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算（危險(xiǎn)截面）。該圖一般以桿件軸線為橫軸表示橫截面位置，縱軸表示扭矩大小。表示桿件各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖形例傳動(dòng)軸如圖，主動(dòng)輪A輸出功率，從動(dòng)輪B、C、D輸出功率分別為，，軸的轉(zhuǎn)速為。試作軸的扭矩圖。解（1）求外力偶矩T3BCD112233A（2）求截面內(nèi)扭矩在BC段內(nèi)T3BCD112233ATx在CA段內(nèi)在AD段內(nèi)（3）畫(huà)扭矩圖1．薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)$3.3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。試驗(yàn)前后比較現(xiàn)象：②各縱向線均傾斜了同一微小角度

。得出結(jié)論：縱向截面上無(wú)正應(yīng)力，只有切于截面的切應(yīng)力。③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。2.薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力橫截面內(nèi)力力系對(duì)x軸力矩為：平衡方程：3.切應(yīng)力互等定理

幾何模型：用相鄰的兩個(gè)橫截面和兩個(gè)縱向面，從圓筒中取出邊長(zhǎng)分別為dx、dy、dz和t的微小矩形六面體。由得，

4．切應(yīng)變剪切胡克定律——切應(yīng)變——剪切胡克定律—半徑；—扭轉(zhuǎn)角；—圓筒長(zhǎng)度；——剪應(yīng)變；G——剪切彈性模量。式中$3.4圓軸扭轉(zhuǎn)變形的剪應(yīng)力分布和變形計(jì)算1．變形幾何關(guān)系

2．物理關(guān)系——胡克定律3．力學(xué)關(guān)系其中稱(chēng)為抗扭截面模量。TTdxT4．扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度和剛度分析材料的許用剪應(yīng)力

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件：強(qiáng)度條件：為了消除長(zhǎng)度的影響，用表示扭轉(zhuǎn)變形的程度，令距離為兩個(gè)橫截面之間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為例傳動(dòng)軸上有三個(gè)齒輪，齒輪2為主動(dòng)輪，齒輪1和齒輪3消耗的功率分別為和。若軸的轉(zhuǎn)速為，，材料為45鋼，。根據(jù)強(qiáng)度確定軸的直徑。1230.3m0.4mxT155N.m39.3N.m解:(1)計(jì)算力偶距

(2)根據(jù)強(qiáng)度條件計(jì)算直徑從扭矩圖上可以看出，齒輪2與3間的扭矩絕對(duì)值最大。例若上題規(guī)定且已知按剛度條件確定軸的直徑，并求齒輪3對(duì)齒輪1的轉(zhuǎn)角。解：1230.3m0.4mxT155N.m39.3N.m$3.5扭轉(zhuǎn)變形能1．扭矩作功2．扭轉(zhuǎn)變形能和能密度$3.6圓柱密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形1．彈簧絲橫截面上的應(yīng)力修正公式：式中PP彈簧的變形是指彈簧在軸向壓力（或拉力）作用下，沿軸線方向的縮短量（或伸長(zhǎng)量），用表示

在彈性范圍內(nèi)，壓力P與變形成正比。令變形能等于外力作功，即U=W，于是有其中

2．彈簧的變形第十二章交變應(yīng)力1．交變應(yīng)力$12.1交變應(yīng)力與疲勞失效應(yīng)力比（循環(huán)特征）R=—1對(duì)稱(chēng)循環(huán)，R=1脈動(dòng)循環(huán)，R=0靜載荷構(gòu)件在交變應(yīng)力下產(chǎn)生裂紋或斷裂叫疲勞破壞（1）構(gòu)件經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的交變應(yīng)力作用，雖然應(yīng)力遠(yuǎn)低于其靜載下的極限應(yīng)力，也可能發(fā)生斷裂。3．疲勞破壞特點(diǎn)，破壞。

隨時(shí)間周期變化應(yīng)力2．疲勞破壞（4）構(gòu)件斷口呈現(xiàn)出兩個(gè)區(qū)域：粗糙區(qū)和光滑區(qū)。（2）交變應(yīng)力多次重復(fù)，N循環(huán)次數(shù)。（3）構(gòu)件的斷裂是突然的，無(wú)任何明顯的預(yù)兆。$12.2交變應(yīng)力的基本參數(shù)—疲勞極限1．疲勞極限曲線Nr為某一指定值oN0在應(yīng)力比一定的情況下，對(duì)一組（8~12根），d=6~10mm的試件，分別在不同的直到破壞，記錄下每根試件破壞前經(jīng)受的循環(huán)次數(shù)N。作出此曲線為在應(yīng)力比下的曲線。曲線。（1）下施加交變應(yīng)力，對(duì)于鋼材，曲線有一水平漸進(jìn)線。為此材料在指定應(yīng)力比下的疲勞極限。對(duì)應(yīng)值為循環(huán)基數(shù)。Nr為某一指定值oN0對(duì)于電磁材料（芯片），，幾千次，幾萬(wàn)次/秒——對(duì)稱(chēng)循環(huán)疲勞極限2．影響構(gòu)件持久極限的主要因素(1)構(gòu)件外形的影響對(duì)于零件上截面有變化處，如：螺紋、鍵槽、軸肩等，在此處會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力集中，因此，會(huì)顯著降低疲勞強(qiáng)度極限。一般用K表示其降低程度，即（2）疲勞極限，式中、分別為彎曲、扭轉(zhuǎn)時(shí)光滑試件對(duì)稱(chēng)循環(huán)的疲勞強(qiáng)度極限；分別為同尺寸而有應(yīng)力集中因素試件的對(duì)稱(chēng)循環(huán)的疲勞極限。(2)構(gòu)件尺寸的影響構(gòu)件尺寸越大，材料包含的缺陷相應(yīng)增多，指使疲勞極限降低，其降低程度用尺寸系數(shù)表示，式中、分別為光滑小試件在彎曲、扭轉(zhuǎn)時(shí)的疲勞極限；、分別為光滑大試件在彎曲、扭轉(zhuǎn)時(shí)的疲勞極限。(3)構(gòu)件表面質(zhì)量的影響加工表面的影響用表面加工系數(shù)表示。是指試件表面在不同加工情況下的疲勞極限與磨光時(shí)的疲勞極限之比。，扭轉(zhuǎn)構(gòu)件在對(duì)稱(chēng)循環(huán)下的疲勞極限為。因此，彎曲構(gòu)件在對(duì)稱(chēng)循環(huán)下的疲勞極限是1．對(duì)稱(chēng)循環(huán)下的疲勞強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度條件，令$12.3構(gòu)件的疲勞強(qiáng)度計(jì)算許用應(yīng)力例階梯軸。材料為合金鋼，，，。軸在不變彎矩作用下旋轉(zhuǎn)。軸表面為切削加工。若規(guī)定，試校核軸的強(qiáng)度。解：（1）最大工作應(yīng)力（2）確定應(yīng)力集中系數(shù)根據(jù)，，查表得，。應(yīng)力集中系數(shù)為查表確定，（3）求工作安全系數(shù)滿足強(qiáng)度要求。2．不對(duì)稱(chēng)循環(huán)下的疲勞強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度條件為（1）承受交變應(yīng)力的工作安全系數(shù)（2）對(duì)于受扭轉(zhuǎn)的構(gòu)件，工作安全系數(shù)為（3）承受扭彎組合交變應(yīng)力，工作安全系數(shù)為例上例中的階梯軸在不對(duì)稱(chēng)彎矩和的交替作用下，并規(guī)定。試校核軸的疲勞強(qiáng)度。解：（1）求、、、。（2）確定各種系數(shù)，，，（3）疲勞強(qiáng)度計(jì)算，故滿足疲勞強(qiáng)度條件。第十一章動(dòng)載荷構(gòu)件在動(dòng)載荷作用下的各種響應(yīng)（應(yīng)力、應(yīng)變和位移）$11.1概述1.靜載荷載荷從零開(kāi)始平緩地增加到最終值，然后不在變化的載荷。2.動(dòng)載荷載荷和速度隨時(shí)間急劇變化的載荷為動(dòng)載荷按照達(dá)朗貝爾原理，在原物體系上沿加速度相反方向加上慣性力，則慣性力與物體上原有的外力組成一平衡力系，即可按靜力學(xué)方法處理動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，這就是動(dòng)靜法$11.2構(gòu)件作勻變速運(yùn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)力與變形maFd1．動(dòng)靜法3.動(dòng)響應(yīng)2．勻加速桿件的動(dòng)載荷bbaRRq均布載荷的集度為截面中點(diǎn)彎距為應(yīng)力為加速度為零時(shí)，動(dòng)應(yīng)力可以表示為

其中強(qiáng)度條件寫(xiě)成3．在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)圓環(huán)上的應(yīng)用沿圓環(huán)軸線均布的慣性力的集度為取半圓環(huán)為研究對(duì)象，列平衡方程，得NdNdqdtDwt4、強(qiáng)度條件$11.3使用能量原理計(jì)算受沖擊構(gòu)件的動(dòng)應(yīng)力、變形1．不考慮受撞擊構(gòu)件質(zhì)量時(shí)的應(yīng)力和變形例設(shè)有重量為G的重物自高度處自由下落撞擊梁上1點(diǎn)。解：重物與梁接觸時(shí)的動(dòng)能與重力勢(shì)能的關(guān)系：重物至最低點(diǎn)時(shí)，位能減少失去總能量

h11求其動(dòng)應(yīng)力。設(shè)在靜載荷G作用下梁1處的靜變形為，彈簧剛度系數(shù)為梁獲得的彎曲應(yīng)變能為h11利用U=E，得為撞擊系數(shù)，其值為2．考慮受撞擊構(gòu)件質(zhì)量時(shí)的應(yīng)力和變形如圖，懸臂梁在自由端B受到重物的撞擊，在B端放置桿件的相當(dāng)質(zhì)量。兩物體碰撞后運(yùn)動(dòng)。由動(dòng)量守恒得以共同速度撞擊物的動(dòng)能為其中設(shè)想重物G下落高度時(shí)具有動(dòng)能，

則由可知將代替帶入可得確定相當(dāng)質(zhì)量。以在B受靜力P時(shí)的撓曲線作為受沖擊時(shí)的動(dòng)撓曲線。設(shè)梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的重量為，則段的動(dòng)能是，于是即在自由端承受撞擊時(shí)的相當(dāng)質(zhì)量是全梁質(zhì)量的。第十章壓桿穩(wěn)定若處于平衡的構(gòu)件，當(dāng)受到一微小的干擾力后，構(gòu)件偏離原平衡位置，而干擾力解除以后，又能恢復(fù)到原平衡狀態(tài)時(shí)，這種平衡稱(chēng)為穩(wěn)定平衡。受壓桿在某一平衡位置受任意微小撓動(dòng)，轉(zhuǎn)變到其它平衡位置的過(guò)程叫屈曲或失穩(wěn)。

PPPPPcrPcr干擾力當(dāng)軸向壓力大于一定數(shù)值時(shí)，任一微小撓動(dòng)去除后，桿件不能恢復(fù)到原直線平衡位置，則稱(chēng)原平衡位置是不穩(wěn)定的，此壓力的極限值為臨界壓力。$10.1壓桿穩(wěn)定的概念1．壓桿穩(wěn)定2．臨界壓力3．曲屈$10.2細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界壓力的歐拉公式1．兩端鉸支壓桿的臨界力選取如圖所示坐標(biāo)系xoy。距原點(diǎn)為x的任意截面的撓度為v。若壓力P取絕對(duì)值，則y為正時(shí)，M為負(fù)。于是有2．撓曲線近似微分方程令則有該微分方程的通解為x將其代入彈性撓曲線近似微分方程，則得式中A、B——積分常數(shù)，可由邊界條件確定壓桿為球鉸支座提供的邊界條件為:x和時(shí)，將其代入通解式，可解得，上式中，只有滿足上式的值為則有于是，壓力P為n=1得到桿件保持微小彎曲壓力-臨界壓力

此式由瑞士科學(xué)家歐拉于1744年提出，故也稱(chēng)兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉公式。此公式的應(yīng)用條件：理想壓桿；線彈性范圍內(nèi)；兩端為球鉸支座。$10.3其他條件下壓桿的臨界壓力歐拉公式的普遍形式為式中稱(chēng)為長(zhǎng)度系數(shù)，

是把壓桿折算成相當(dāng)于兩端鉸支桿時(shí)的長(zhǎng)度，稱(chēng)為相當(dāng)長(zhǎng)度。例：試由兩端固定細(xì)長(zhǎng)壓桿的撓曲線的微分方程，導(dǎo)出歐拉公式。解：vxl0.3lC由撓曲線的微分方程可得方程的通解為固定支座的邊界條件是時(shí)，，時(shí)，，邊界條件帶入上面各式得vxl0.3lC解得作出正切曲線，與從坐標(biāo)畫(huà)出的45o斜直線相交，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為彎矩為零的C點(diǎn)的橫坐標(biāo)$10.4壓桿的穩(wěn)定校核1．壓桿的許用壓力為許可壓力；為工作安全系數(shù)。2．壓桿的穩(wěn)定條件例平面磨床液壓傳動(dòng)裝置示意圖?；钊睆剑蛪?。

，活塞桿長(zhǎng)度，材料為35鋼，

，，試確定活塞桿的直徑。（1）軸向壓力活塞桿p解：（2）臨界壓力活塞桿p（3）確定活塞桿直徑得出由（4）計(jì)算活塞桿柔度對(duì)35號(hào)鋼，

因?yàn)椋瑵M足歐拉公式的條件。第四章平面圖形的幾何性質(zhì)$4.1靜矩和形心設(shè)有一厚度很小的均勻薄板形狀如上圖。形心與平面圖形的形心一致。利用靜力學(xué)的力矩定理求出薄板重心坐標(biāo)1．靜矩對(duì)于圖形，其面積為A。Z和y為圖形所在平面的坐標(biāo)軸。則微面積dA在整個(gè)圖形面積上的積分為稱(chēng)為圖形對(duì)y,z軸的靜矩或一次矩。2．形心從上式可以看出，若圖形對(duì)某一軸的靜矩等于零，則該軸必然通過(guò)圖形的形心；反之，若圖形對(duì)某一軸通過(guò)圖形的形心，則圖形對(duì)該軸靜矩等于零。當(dāng)一個(gè)圖形A由，A1A2

…An等個(gè)圖形組合而成的組合圖形時(shí)，有靜距的定義得$4.2慣性矩、慣性半徑和慣性積1．慣性矩