2022-2023學(xué)年江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022-2023學(xué)年江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試題

一、單選題

i.橢圓［+￡=1的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)等于（）

A.正B.272C.2D.4

【答案】D

【解析】根據(jù)橢圓的方程，可求出長(zhǎng)軸的長(zhǎng).

【詳解】橢圓［+9=1中，“2=4*2=2,所以長(zhǎng)軸的長(zhǎng)2a=4.

故選：D.

2.已知復(fù)數(shù)z=?",則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

1+|

A.2B.-2C.2iD.-2i

【答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則及復(fù)數(shù)的概念即可求解.

l+5i(l+5i)x(l-i)l+4i-5i2

=3+2i,

【詳解】1+T-(l+i)x(l-i)-2-

所以復(fù)數(shù)z的虛部為2.

故選：A.

3.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(-3,1),仇0,-4)的直線(xiàn)的方程為()

A.y=-x-4B.y=--x-4C.y=-x-4

333

【答案】D

【分析】由兩點(diǎn)坐標(biāo)求得斜率，由斜截式寫(xiě)出直線(xiàn)方程.

【詳解】由已知直線(xiàn)斜率為/=丁?=-2，

所以直線(xiàn)方程為y=

故選：D.

?v2

4.雙曲線(xiàn)工-乙=-1的漸近線(xiàn)方程為（)

49

234

A.y=±—xB.y=±-xC.y=±-xD.y=±2x

324

【答案】B

【分析】利用雙曲線(xiàn)的方程即可求出雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn).

【詳解】由題意可知，雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上，所以/=9/2=4,即〃=32=2,

所以雙曲線(xiàn)H=-l的漸近線(xiàn)方程為y=±￡

故選：B

5.若兩條直線(xiàn)4：2x+ay—1=0與4：or+(2a-l)y+3=0相互垂直，則。=()

A.—B.0

2

C.一,或oD.一2或0

2

【答案】C

【分析】根據(jù)兩直線(xiàn)垂直可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的等式，由此可求得實(shí)數(shù)。的值.

【詳解】因?yàn)閯t2a+a(2a-l)=a(2a+l)=0,解得”=或“=().

故選：C.

6.作圓C:(x-2)2+(y-l>=25上一點(diǎn)P(-2,4)處的切線(xiàn)/,直線(xiàn)m:以-3y=0與直線(xiàn)/平行，則直線(xiàn)

/與機(jī)的距離為()

812

A.4B.2C.-D.—

55

【答案】A

【分析】先求得/的方程，根據(jù)/，小平行求得“，由此求得/與〃，的距離.

【詳解】圓C的圓心為作(2,1),P(-2,4)是圓上一點(diǎn),

原。二三4-」1;=-33,所以切線(xiàn)/的斜率為4:，

—2—243

4

直線(xiàn)/的方程為y-4=§(x+2),4x-3y+20=0,

由于/與機(jī)平行，所以￡===>“=4,

4-320

即直線(xiàn)機(jī)的方程為4x-3y=0,

-20,

所以直線(xiàn)/與用的距離為^^=4.

故選：A

7.若方程值==2x+〃z有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是

A.[-6,0)U[2,+8)B.[-G,0)u(0,6]

C.(—oo,—^3]kJ[2,+oo)D.(F,-2]U⑵欣)

【答案】C

【分析】由已知函數(shù)/(x)=V7=1與g(x)=2x+帆圖象有交點(diǎn)，作函數(shù)圖象，觀察可得實(shí)數(shù)”的取

值范圍.

【詳解】方程廬1=2x+m有實(shí)數(shù)解等價(jià)于/(8)=>/?二1與g(x)=2x+m圖像有交點(diǎn)，

"x)=J?=^|]x2-y2=i(y\0)表示等軸雙曲線(xiàn)x軸上方的部分，

g(x)=2x+帆表示平行直線(xiàn)系，斜率都為2；

當(dāng)，心0時(shí)、把y=2x向左平移到(一1,0)處，機(jī)有最小值，即一2+加=0,，*=2,故，"22；

當(dāng)機(jī)<0時(shí)，把y=2x向右平移到與雙曲線(xiàn)相切時(shí)，”有最大值，聯(lián)立廠(chǎng)「，，化簡(jiǎn)可得

[x--y2=\

3x2+4mx+m2+\^0，令方程+4〃?x+W+i=o的判別式△=4帆？-12=0得加=±G，由題意可

得與右支相切時(shí)機(jī)=-百，故根4-6

綜上：實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(f,-G]u[2,+8)

故選：C.

8.已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線(xiàn)段B尸的延長(zhǎng)線(xiàn)交橢圓C于點(diǎn)。，且

麗==2而，則橢圓C的離心率為()

A.立B.GC.-D.3

33

【答案】A

【分析】由題意設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，F(xiàn)(c,0),8(0,6),設(shè)。(x,y),由喬=2而解得點(diǎn)。坐標(biāo),

代入橢圓方程，化簡(jiǎn)即可求得離心率.

22

【詳解】設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，方程為］r+方=l（a>"0）,F（C,O）,3（0⑼,

UUU

設(shè)。(x,y),由麗=2而，且3b=(c,,—b)/3=(x-c,y),

故七尸肝,。后，-眇

由點(diǎn)。在橢圓上，

整理得二=L

a23

故離心率6=￡=3,

a3

故選：A.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率（或離心率的取值范圍）,

常見(jiàn)有兩種方法：

①求出a,c,代入公式e=￡；

a

②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,6,c的齊次式，結(jié)合〃=/—/轉(zhuǎn)化為“，c?的齊次式，然后等

式（不等式）兩邊分別除以a或42轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范

圍）.

二、多選題

9.已知平面上一點(diǎn)M（5,0）,若直線(xiàn)/上存在點(diǎn)P使|PM|=4,則稱(chēng)該直線(xiàn)為點(diǎn)M的“相關(guān)直線(xiàn)”，下

列直線(xiàn)中是點(diǎn)M的“相關(guān)直線(xiàn)'’的是（）

A.y=x+\B.y=2C.4x_3y=0D.2x-y+1=0

【答案】BC

【分析】分別計(jì)算點(diǎn)M到四條直線(xiàn)的距離,結(jié)合點(diǎn)M相關(guān)直線(xiàn)的定義，即可得到答案.

【詳解】對(duì)于A,"（5,0）,直線(xiàn)為y=x+l,所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為:"=3虛>4,

即點(diǎn)M到直線(xiàn)的最小值距離大于4,所以直線(xiàn)上不存在點(diǎn)尸使IPM|=4成立.故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,知（5,0）,直線(xiàn)為丫=2,所以點(diǎn)聞到直線(xiàn)的距離為2<4,

所以點(diǎn)M到直線(xiàn)的最小值距離小于4,

所以直線(xiàn)上存在點(diǎn)P使IPM1=4成立.故B正確，

對(duì)于C,M（5,0）,直線(xiàn)為4x-3），=0,所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為:〃=4,

所以點(diǎn)M到直線(xiàn)的最小值距離等于4,

所以直線(xiàn)上存在點(diǎn)尸使IPM|=4成立，故C正確，

對(duì)于D,M(5,0),直線(xiàn)為-y+]=0,所以點(diǎn)至值線(xiàn)的距離為4=竽＞4,

即點(diǎn)M到直線(xiàn)的最小值距離大于4,

所以直線(xiàn)上不存在點(diǎn)P使1PMi=4成立.故D錯(cuò)誤，

故選：BC.

10.將曲線(xiàn)G：y=sinx上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的g倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向左平移

m個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2：y=f(x),則下列結(jié)論正確的是()

6

A.f(x)=sin(2x+^)B.=

C./(x)在[0,用上有2個(gè)零點(diǎn)D.f(x)在(q.)上單調(diào)遞增

【答案】BCD

【分析】先求出〃x)的解析式，即可判斷A;

對(duì)于B:利用誘導(dǎo)公式直接證明；

對(duì)于C:令/(x)=sin(2x+?)=0,直接解方程即可得到答案；

對(duì)于D：直接判斷單調(diào)區(qū)間即可.

【詳解】曲線(xiàn)G：y=sinx上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的g倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=sin2x；再把得

到的曲線(xiàn)向左平移看個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2：y=〃x),所以C2"(x)=sin(2x+?J

故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B:7(5一x)=sin[2(5一+?=sin(笥-2x),而f(x)=sin(2x+().

因?yàn)?2x+5)+(券-2x)=萬(wàn)，所以sin(與-2xj=sin(2x+/),即=/(x).故B正確；

對(duì)于C:當(dāng)X0O,劃時(shí)，令/(x)=sin(2x+?J=0,解得：x=§或尤=普.即f(x)在。兀]上有2個(gè)零

點(diǎn).故C正確；

對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，6(-0,]),所以f(x)在(-?6)上單調(diào)遞增.故D正確.

故選：BCD.

11.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足方程V+y2-4x+l=0,則下列說(shuō)法正確的是()

A.y-x的最大值為"-2B.f+)，2的最大值為7+4>Q

C.2的最大值為6D.x+y的最大值為2+6

X

【答案】ABC

【分析】令y-x=z,f=M+y2,%=5,m=根據(jù)其幾何意義求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，方程Y+y2-4x+l=。，即(x-2)2+V=3,

表示圓心為(2.0),半徑為6的圓，由此分析選項(xiàng):

對(duì)于A,設(shè)y-x=z,g|Jx-y+z=0,

直線(xiàn)x-y+z=0與圓(X-2)2+y2=3有公共點(diǎn),

|2+z|

所以工后,解得-卡-2Vz46-2

7T+T

則2='-》的最大值為#-2,故A正確;

對(duì)于B,設(shè)r=&+y2,其幾何意義為圓(x-2)2+y2=3上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,

所以/的最大值為2+行，

故f+y2的最大值為產(chǎn)=(2+6)2=7+46，故B正確；

對(duì)于C,設(shè)火=』，則"-y=0,直線(xiàn)區(qū)-y=0與圓(》-2)2+丁=3有公共點(diǎn)，

X

ItI

則了；淳‘小‘解得-64k

即上的最大值為白，故C正確；

X

對(duì)于D,設(shè)〃z=x+y,則x+y—m=0,直線(xiàn)x+y-機(jī)=。與圓(x-2y+y2=3有公共點(diǎn)，

則有辱空〈百，解得：-6+24〃?4指+2,

即犬+丁的最大值為#+2,故D錯(cuò)誤；

故選：ABC

12.過(guò)拋物線(xiàn)V=4x的焦點(diǎn)F作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A8兩點(diǎn)，M為線(xiàn)段A8的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確

的是()

A.以線(xiàn)段A3為直徑的圓與直線(xiàn)x=-；相交B.以線(xiàn)段8M為直徑的圓與y軸相切

9

C.當(dāng)而=2而時(shí)，|48|=5D.IA31的最小值為4

【答案】ACD

【分析】求得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)方程，設(shè)A,B,M在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為A,B',M：由拋物線(xiàn)

的定義和中位線(xiàn)定理、直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，即可判斷A；

當(dāng)直線(xiàn)A8的斜率不存在時(shí)，顯然成立；當(dāng)直線(xiàn)A8的斜率存在時(shí)，設(shè)為1,求得A,B,M的橫坐

標(biāo)，由直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系可判斷B；

9

以尸為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸的拋物線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為0=—^；,設(shè)4（啟，0）,8（0,萬(wàn)+9）,

1-cos0

求得|AW,\FB\,可判斷C；

考慮直線(xiàn)A8垂直于x軸，取得最小值，可判斷D.

【詳解】解：丁=好的焦點(diǎn)尸（1,0）,準(zhǔn)線(xiàn)方程為尸-1,

設(shè)A,B,M在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為A,B',M',

由|AFRA4'|,IBFHBS'I,A4,|+|BB,|）=1（|AF|+|FB|）=-|AB|,

222

可得線(xiàn)段AB為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切，與直線(xiàn)x=-g相交，故A對(duì)；

當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí)，顯然以線(xiàn)段為直徑的圓與y軸相切；

當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率存在且不為0,可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為丫=田-女，聯(lián)立V=4x,可得

k2x2-（2k2+4）x+k2=0,

設(shè)M），B（X2,y2）,

可得X+%=2+^y,=1，設(shè)N=3+20,=3—2-\/2,

可得M的橫坐標(biāo)為l+1，MB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3（1+微+%），18Ml=Jl+公區(qū)-為a,

當(dāng)k=1時(shí)，MB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為|-a,||MB|=2,顯然以線(xiàn)段BM為直徑的圓與丁軸相交，故B

錯(cuò)；

2

以F為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的拋物線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為0=;——-,

1-COS0

222

設(shè)4月,0）,B（0,"+e）,可得乃=匚加‘3.8"）=用亞

可|/\r得||nr|上;Z"、gZ+l+；se=］，又|A"|=2|尸8|,可得|A"|=3,I2陽(yáng)=\則

9

|AB|=|AF\+\FB\=-,故C正確；

顯然當(dāng)直線(xiàn)A8垂直于x軸，可得IABI取得最小值4,故D正確.

故選：ACD.

三、填空題

13.己知圓C:（x-3）2+y2=r2&>o）和圓。：/+>2-分+7=0外切，則廠(chǎng)=

【答案】2

【分析】根據(jù)兩圓外切列方程，化簡(jiǎn)求得，，

【詳解】圓C的圓心為（3,0）,半徑為八.

圓。的圓心為（0,4）,半徑為延；28=3.

圓心距為732+42=5，

由于兩個(gè)圓外切，所以r+3=5nr=2.

故答案為：2

14.直線(xiàn)、=齒-4+1與圓/+丁=4交于AB兩點(diǎn)，則即最小值為.

【答案】2&

【分析】求出直線(xiàn)￥=依-&+1過(guò)定點(diǎn)A（l,l）,然后結(jié)合圓的性質(zhì)分析出當(dāng)直線(xiàn)與垂直時(shí)，弦長(zhǎng)

最短，然后結(jié)合垂徑定理即可求解.

【詳解】直線(xiàn)％+1過(guò)定點(diǎn)過(guò)M?！唬?yàn)辄c(diǎn)例。,1）在圓的內(nèi)部，且0河=鬧=夜，由圓中

弦的性質(zhì)知當(dāng)直線(xiàn)與?！按怪睍r(shí)，弦長(zhǎng)最短，此時(shí)結(jié)合垂徑定理可得AB=2,22-（夜『=2四,

故答案為：20

15.直線(xiàn)/被兩條直線(xiàn)/”4x+y+3=0和小3犬-5廠(chǎng)5=0截得的線(xiàn)段的中點(diǎn)為2（-1,2）,則直

線(xiàn)/的斜率為.

【答案】-3

【分析】先設(shè)一個(gè)交點(diǎn)再表示另一個(gè)交點(diǎn)3(-2-%,4,接著聯(lián)立方程求出A,8兩

點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出直線(xiàn)/的斜率.

【詳解】設(shè)直線(xiàn)/與乙的交點(diǎn)為A(%,%),直線(xiàn)/與4的交點(diǎn)為8.

由已知條件，得直線(xiàn)/與4的交點(diǎn)為8(-2-%,4-%),

4%+為+3=0

聯(lián)立《

3（-2-飛）-5（4-%）-5=0'

即I；：［：*：。'xo=-2

解得

Jo=5

所以，A(-2,5),8(0,—1),

直線(xiàn)I的斜率k=0二；］；)=m=-3,

故答案為：-3.

16.已知耳,馬是雙曲線(xiàn)二-1=1(。>08>0)左右焦點(diǎn)，過(guò)K的直線(xiàn)/與雙曲線(xiàn)的左右支分別交于A、

arb

B兩點(diǎn)，若46=2〃，/月4寫(xiě)=t，則要&=

【答案】g##0.5

【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)定義得|伍|，1?1,再根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閨伍卜|刈|=2%|曲|=次,所以|伍|=4%

因?yàn)榈箌一|叫|=2a,所以忸川+|前卜忸閭=2a,忸A(yù)|=|B閭，

因?yàn)槎?=~,所以NKA8=q,Q6A|=4a..|A8|=4a,

因此抖=產(chǎn)小呼二

4a2

SVABF。AFJsin-以曰

故答案為：g.

四、解答題

17.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.

⑴若2bcosC=2a-c,求角B\

⑵若a2=/，求證：tanC=2tanA.

【答案】(1)B=《；

⑵證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)由正弦定理化邊為角，利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)后可得8角；

(2)已知代入余弦定理得cosC=3,再由正弦定理化邊為角，由誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式變

形后可證.

【詳解】(1),:2bcosC=2a-c由正弦定理得2sin5cosC=2sinA-sinC,

2sin3cosC+sinC=2sinA=2sin(B+C)=2(sinBcosC+cosBsinC),

sinC=2cosBsinC,。是三角形內(nèi)角，sinCVO,cosB=—,

2

8是三角形內(nèi)角，8=。；

(2)Va2+-b2=c2,

3

所以

lab2ah3a

即cosC=s'nB,3sinAcosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

3sinA

cosAsinC=2sinAcosC,

a2+-b2=c2,顯然“<c,A<C,因此A是銳角，cosAwO,顯然cosC==A0,

33a

所以tanC=2tanA.

18.在“RC中，8C邊上的高所在直線(xiàn)的方程為x-2y+l=0,/A的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為y=0,

若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2).

⑴求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求AC邊上的高所在的直線(xiàn)/的斜截式方程.

【答案】⑴A(T，O),C(5,-6).

(2)y=x+l

【分析】(1)聯(lián)立方程組求解即可；(2)由(1)得直線(xiàn)/的斜率為攵=1即可解決.

【詳解】(1)由已知A應(yīng)在8c邊上的高所在直線(xiàn)與/A的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的交點(diǎn)，

所以AC所在直線(xiàn)方程為y=-(》+1),

8c所在直線(xiàn)方程為y—2=—2(x—l),

由])；-<)然得C(5,-6)

[y-2=-2(x-l)

所以點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)為4-1,0),C(5,-6).

(2)由(1)知AC所在直線(xiàn)方程為x+y+I=0,

所以直線(xiàn)/的斜率為左=1,

因?yàn)?(1,2),

所以直線(xiàn)/所在的方程為y-2=x-l,即y=x+l,

所以直線(xiàn)/的斜截式方程為y=x+i.

19.如圖，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，圓(x-2)2+y2=4的圓心恰是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).

(1)求拋物線(xiàn)的方程；

(2)一條直線(xiàn)的斜率等于2,且過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，它依次截拋物線(xiàn)和圓于A、8、C、O四點(diǎn)，求

|A3|+|8|的值.

【答案】(1)圓=2：的圓心坐標(biāo)為(2,0),

即拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為尸(2,0)...............3分

AP=4拋物線(xiàn)方程為j：=8x...............6分

1.由題意知直線(xiàn)AD的方程為丁=2(工一2)..........7分即J=2x-4代入廠(chǎng)=8x得

2

X-6x+4=o

設(shè)A(x“y)、D(x2,y2),則X1+x?=6,

|AD|=用+芻+/?=6+4=10..............11分

.|^5|+|CZ)|=|.4Z>|-|5C|=10-4=6

【分析】(1)設(shè)拋物線(xiàn)方程為V=2px,由題意求出其焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求出結(jié)果；

(2)先由題意得出直線(xiàn)A8的方程，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，求出|4)|,再由|CB|為圓的直徑,

即可求出結(jié)果.

【詳解】(1)設(shè)拋物線(xiàn)方程為V=2px(p>0),

???圓(x—2>+y2=22的圓心恰是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，p=4.

,拋物線(xiàn)的方程為：/=8x；

(2)依題意直線(xiàn)AB的方程為了=2x-4

fjy—2x—4

設(shè)。(冷火)，則JV，2_8A.>得f-6x+4=0,

x,+x2=6,|AO|=%+々+p=6+4=10.

\AB\+\CD\=\AE\-\CB\=10-4=6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線(xiàn)的方程，以及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系；由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)可直接

求出拋物線(xiàn)的方程；聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，結(jié)合韋達(dá)定理和拋物線(xiàn)定義可求出弦長(zhǎng)，進(jìn)而可求出

結(jié)果，屬于?？碱}型.

20.已知圓M:/+(y-2)2=l,直線(xiàn)/：x—2y=0,點(diǎn)P在直線(xiàn)/上，過(guò)P點(diǎn)作圓〃的切線(xiàn)R4,PB,

切點(diǎn)為AB.

⑴若NAPB=60。，試求點(diǎn)P的坐標(biāo);

（2）求證：經(jīng)過(guò)A,P,M三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】（1）（0,0）,

（2）證明見(jiàn)解析,定點(diǎn)（0,2）和ST

【分析】（1）利用點(diǎn)在直線(xiàn)上及直角三角形中的銳角三角函數(shù)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式即可求解；

（2）根據(jù)已知條件及經(jīng)過(guò)A,P,"三點(diǎn)的圓是以。為圓心，為半徑的圓，進(jìn)而得到該圓的

方程，根據(jù)其方程是關(guān)于"，的恒等式即可求解.

【詳解】（1）設(shè)

因?yàn)槠谑菆A歷的切線(xiàn)，ZAPB=6O°,

所以NAP"=30。，MP=------=2,

sin30°

o4

所以（2"。+（加—2＞=4,解得機(jī)=0,/?!=—,

故所求點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（0,0）,或（黑）

（2）設(shè)P（2〃?,w）,MP的中點(diǎn)萬(wàn)+1J,

因?yàn)镻4是圓M的切線(xiàn)，

所以經(jīng)過(guò)A,P,M三點(diǎn)的圓是以。為圓心，MQ為半徑的圓。

故其方程為=病+（￡-］）,

化簡(jiǎn)，得寸+丁-2y-/n（2x+y-2）=0,此式是關(guān)于〃，的恒等式,

4

x=—

x2+y2-2y=0“”口x=°5

所以⑵+y-2=。'解得o或1

y=22

所以經(jīng)過(guò)A,P,M三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)（0,2）和rt-

21.已知橢圓C：二+4=1（。＞匕＞0）的左右頂點(diǎn)分別為4（-2,0）,4（2,0）,右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)T（l,g）

ab2

在橢圓上.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）P為橢圓上不與4,A?重合的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)AR&P分別與直線(xiàn)％=4相交于點(diǎn)M,N,求證:

FM工FN.

【答案】⑴工+匯=1

43

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】（1）將點(diǎn)7（1,6代入方程以及。=2即可求解.（2）聯(lián)立方程得的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)向

量數(shù)量積為。證明垂直關(guān)系.

【詳解】（1）由題知：a=2,

將點(diǎn)“I,］3）代入方程得：；1+輸9=1，解得從=3,

???橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+^=1.

43

（2）由（1）知c=l,尸（L0）.

設(shè)「（%，%）,則血-+二=1,

43

直線(xiàn)AJ的方程為y-%=占（x-%）,

令x=4,則％=%，即加（4,-^）,

直線(xiàn)4P的方程為y-%=-%（x-x。），

/一,

令x=4,則％=杏，即N（4,0\）麗■?麗=（3,駕）<3,居+

%-2x0-2%+2x0-2%+2%-2

12x3（1-芋）

=9+—5^-=9+---