相似三角形的性質(zhì)教案人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊

27.2.2相似三角形的性質(zhì)一、教學(xué)內(nèi)容分析判定和性質(zhì)是研究幾何圖形的兩個(gè)重要方面，我們已研究了相似三角形的判定，接下來就要對(duì)性質(zhì)進(jìn)行研究，與全等三角形一樣，相似三角形的性質(zhì)主要研究相似三角形幾何量之間的關(guān)系.由相似三角形的定義可知，相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.三角形還有其他的幾何量，如高、中線、角平分線的長度，以及周長、面積等.教科書先對(duì)相似三角形的對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線的比進(jìn)行探究，推廣得到對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比；以此作為基礎(chǔ)，得到相似三角形面積的比與相似比的關(guān)系.二、教學(xué)目標(biāo)1.理解相似三角形的性質(zhì)..三、教學(xué)重難點(diǎn)【重點(diǎn)】相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比、面積的比與相似比的關(guān)系的探究與應(yīng)用.【難點(diǎn)】提出三角形相似性質(zhì)的猜想.四、教學(xué)方法啟示式類比﹑類比法﹑歸納﹑探究式的教學(xué)方法.教學(xué)中力求體現(xiàn)“類比探究歸納”的模式，有計(jì)劃的逐步展示知識(shí)的產(chǎn)生過程，滲透數(shù)學(xué)思想方法.五、教學(xué)過程（一）新課導(dǎo)入1．相似三角形的定義是什么？相似比是什么？2.相似三角形的判定方法是什么？3.對(duì)于相似三角形，我們已經(jīng)研究了它的定義和判定.根據(jù)已有的研究幾何圖形的經(jīng)驗(yàn)，我們還需研究什么？出示本節(jié)課授課題目：2設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)“舊知”，關(guān)聯(lián)“新知”，并對(duì)相似三角形研究基本思路進(jìn)行梳理．（二）新課講授活動(dòng)一：提出猜想確定方向1.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似三角形的哪些性質(zhì)？2.我們還可以繼續(xù)研究相似三角形的哪些幾何量的關(guān)系？追問：在三角形的學(xué)習(xí)過程中，我們知道三角形中有各種各樣的幾何量，除了邊、角，還有什么重要的幾何量？3.我們可否類比三角形研究思路，研究一下相似三角形的性質(zhì)？相似三角形的這些幾何量可能存在什么性質(zhì)呢？追問：全等三角形是相似比為1的相似三角形，全等三角形的對(duì)應(yīng)高線、中線、角平分線、周長、面積都相等，相似三角形這些幾何量會(huì)有什么性質(zhì)呢？【答案或提示】1.定義即性質(zhì)，相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.2.類比三角形研究的幾何量探究相似三角形的對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)高線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)周長、對(duì)應(yīng)面積.3.（預(yù)設(shè)學(xué)生答案）（1）全等三角形的這些對(duì)應(yīng)幾何量相等或比1，相似三角形這些對(duì)應(yīng)量的比等于相似比.（2）相似三角形的面積比是對(duì)應(yīng)底與對(duì)應(yīng)高的乘積的比，所以面積比是相似比的平方.設(shè)計(jì)意圖：還安靜課堂于學(xué)生，給學(xué)生充分的思考時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生類比全等三角形中幾何量的對(duì)應(yīng)關(guān)系猜想相似三角形對(duì)應(yīng)幾何量間的關(guān)系，根據(jù)積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)自主提出猜想，分解難點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生探究熱情.活動(dòng)二：示范引領(lǐng)啟發(fā)思路問題1：結(jié)合圖形，寫出已知、求證，并證明命題“相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”.追問：我們在證明兩條線段相等時(shí)，常會(huì)借助兩條線段所在的三角形全等證得結(jié)論，那如何證明對(duì)應(yīng)線段成例呢？【答案或提示】已知：△ABC∽△A′B′C′且相似比為k，AD.A′D′分別為對(duì)應(yīng)邊BC和B′C′邊上的高.求證：證明：∵△ABC∽△A′B′C′∴∠B=∠B′又∵AD.A′D′是高，∴∠ADB=∠A′D′B′=900∴△ADB∽△A′D′B′∴歸納：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比.幾何語言：在△ABC與△A′B′C′中，AD.A′D′分別為對(duì)應(yīng)邊BC和B′C′邊上的高.∴設(shè)計(jì)意圖：通過“追問”幫學(xué)生分析問題，梳理證明思路；教師規(guī)范命題證明過程，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性.問題2：能否類比證明“相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”的方法，證明一下相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比也等于相似比？歸納你的結(jié)論.【答案或提示】已知：△ABC∽△A′B′C′且相似比為k，AD.A′D′分別為對(duì)應(yīng)邊BC和B′C′邊上的中線.求證：證明：∵△ABC∽△A′B′C′∴∠B=∠B′又∵AD.A′D′分別為對(duì)應(yīng)邊BC和B′C′邊上的中線∵∠B=∠B′∴△ADB∽△A′D′B′已知：△ABC∽△A′B′C′且相似比為k，AD.A′D′分別為對(duì)應(yīng)角∠BAC，∠B′A′C′的角平分線求證：證明：∵△ABC∽△A′B′C′∴∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′又∵AD.A′D′分別為對(duì)應(yīng)角∠BAC，∠B′A′C′的角平分線，∴△ADB∽△A′D′B′歸納：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.一般的，我們有：相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比.設(shè)計(jì)意圖：通過類比思想解決問題，使學(xué)生深刻體會(huì)通過借助相似三角形證得比例線段解決數(shù)學(xué)問題的方法.活動(dòng)三：合作探究歸納結(jié)論1.合作探究：在以上數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，嘗試證明相似三角形對(duì)應(yīng)周長、對(duì)應(yīng)面積的比與相似比的關(guān)系，并與你的同伴分享你的結(jié)論.追問：相似三角形面積的比等于相似比嗎？2.學(xué)生分享結(jié)論，重點(diǎn)分享相似三角形面積比與相似比的關(guān)系，教師適時(shí)點(diǎn)評(píng)，師生共同歸納結(jié)論.【答案或提示】已知：△ABC∽△A′B′C′且相似比為k.求證：證明：∵△ABC∽△A′B′C′且相似比為k.已知：△ABC∽△A′B′C′且相似比為k，AD.A′D′分別為對(duì)應(yīng)邊BC和B′C′邊上的高.求證：證明：∵△ABC∽△A′B′C′∴即AD=kA′D′BC=kB′C′==歸納：相似三角形周長的比等于相似比.相似三角形面積的比等于相似比的平方.設(shè)計(jì)意圖：用代數(shù)運(yùn)算得到相似三角形的周長比等于相似比的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算得到相似三角形的面積比等于相似比的平方，體會(huì)代數(shù)運(yùn)算在解決幾何問題重點(diǎn)應(yīng)用，突破本節(jié)課的重難點(diǎn).活動(dòng)四：精講例題鞏固新知例3：在△ABC和△DEF中AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，若△ABC的邊BC上的高為6，面積為，求△DEF的邊EF上的高和面積.【答案或提示】解：∵AB=2DE，AC=2DF∴∵∠A=∠D∴ΔABC∽ΔDEF∵ΔABC的邊BC上的高為6，面積為∴ΔDEF的邊EF上的高為×6=3，面積為=設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生綜合運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)求三角形線段的長度和面積，鞏固新知，突破重點(diǎn).例：如圖所示，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AD交EF于點(diǎn)H.(1)(2)設(shè)EF=x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFPQ的面積最大，最大值是多少？【答案或提示】（1）利用相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比解決問題.(2)通過相似三角形構(gòu)造比例線段，把面積最大值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題.解：(1)在矩形EFPQ中，EF=PQ∵EF∥PQ，∴△AEF∽△ABC∵AD⊥BC∴AD⊥EF于H(2)∵在△ABC中，BC=10，高AD=8，EF=x且＜0，∴設(shè)計(jì)意圖：訓(xùn)練學(xué)生綜合運(yùn)用相似三角形性質(zhì)解決問題，并體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想、函數(shù)思想在解決問題中的重要意義.（三）課堂練習(xí)2.已知△ABC∽△A′B′C′，AD.A′D′分別是對(duì)應(yīng)邊BC.B′C′上的高，若BC＝8cm，B′C′＝6cm，AD＝4cm，則A′D′等于（）A.16cmB.12cmC.3cmD.6cm∶7，它們的對(duì)應(yīng)角平分線的比為（）A.7∶3B.49∶9C.9∶49D.3∶74.如圖，ΔABC的面積為25，直線DE平行于BC分別交于點(diǎn).(1)如果ΔADE的面積為9，=.(2)DE把ΔABC分成面積相等的兩部分，.答案：，設(shè)計(jì)意圖：鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，強(qiáng)化基礎(chǔ)技能.（四）課堂小結(jié)談?wù)勥@節(jié)課的收獲是什么？試著分別從知識(shí)與技能、過程與方法等方面分享一下.設(shè)計(jì)意圖：從知識(shí)與技能、過程與方法等方面引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)收獲，在獲得知識(shí)的同時(shí)，學(xué)得必要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，感悟數(shù)學(xué)思想方法的重要意義（五）作業(yè)布置A組：教材57頁4.5，58頁10.B組：1．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D和E分別是邊AB和AC的中點(diǎn)，連接DE，DC與BE交于點(diǎn)O，若△DOE的面積為1，則△ABC的面積為（C）A．6 B．9 C．12 【解析】由中位線定理，得到DE=BC，再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，面積的比等于相似比的平方，然后求出△ABC的面積．【詳解】解：∵點(diǎn)D和E分別是邊AB和AC的中點(diǎn)，∴DE=BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，△ODE∽△OCB，∴，，∴，，∵△DOE的面積為1，∴，∴四邊形BCED的面積為：1+2+2+4=9，∴，∴；∴△ABC的面積為：；3×4=12【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的掌握面積的比等于相似比的平方．2.等腰三角形△ABC中，AB＝AC，圖中所有三角形均相似，其中最小的三角形面積1，△ABC的面積為44，則四邊形DBCE的面積是（D）A．22 B．24 C．26 D．28【解析】利用△AFH∽△ADE得到，所以S△AFH＝9x，S△ADE＝16x，則16x﹣9x＝7，解得x＝1，從而得到S△ADE＝16，然后計(jì)算兩個(gè)三角形的面積差得到四邊形DBCE的面積．【詳解】解：如圖，由題意根據(jù)題意得△AFH∽△ADE，所有三角形均相似，可得FH：DE＝3：4，∴設(shè)S△AFH＝9x，則S△ADE＝16x，∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，∴S△ADE＝16，∴四邊形DBCE的面積＝44﹣16＝28．故選：D．ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm.如圖1，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上.(1)求加工成的正方形零件的邊長.(2)如果要加工的零件是一個(gè)矩形，且此矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形組成，如圖2，此時(shí)，這個(gè)矩形零件的兩條邊長分別為多少？(3)如果要加工的零件只是一個(gè)矩形，如圖3，此時(shí)，這個(gè)矩形零件的兩條邊長不能確定，但這個(gè)矩形的面積有最大值，求面積達(dá)到最大值時(shí)矩形零件的兩條邊長.解(1)設(shè)正方形零件的邊長為xmm，則PN=PQ=ED=xmm，∴AE=ADED=(80x)mm.∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴解得x=48.∴加工成的正方形零件的邊長是48mm.(2)設(shè)PQ=ymm，則PN=2ymm，AE=(80y)mm，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴，解得y=∴2y=∴這個(gè)矩形零件的兩條邊長分別為mm，mm.(3)設(shè)PN=zmm，矩形PQMN的面積為Smm2由題意可得△APN∽△ABC，∴解得PQ=則S=PN·PQ=z×（）=故S的最大值為2400，此時(shí)PN=60mm，PQ=80×60=40(mm).∴此時(shí)矩形零件的兩條邊長分別為60mm，40mm.六、板書設(shè)計(jì)21.相似三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.2.相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比..4.相似三角形周長的比等于相似比.七、教學(xué)反思本節(jié)課類比全等三角形中重要幾何量的對(duì)應(yīng)關(guān)系猜想相似三角形對(duì)應(yīng)幾何量間的關(guān)系，根據(jù)積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)自主提出猜想，分解難點(diǎn)，然后引導(dǎo)學(xué)生思考：相似三角形的對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線與相似比之間有什么關(guān)系呢？學(xué)生們進(jìn)行了大膽猜想，答案基本是“