交通流理論-排隊論

知識點3：排隊論概述交通流理論“服務”與“需求”排隊論概述定義排隊論是研究服務系統(tǒng)因“需求”擁擠而產生等待行列(即排隊)的現象，以及合理協(xié)調“需求”與“服務"關系的一種數學理論，是運籌學中以概率論為基礎的一門重要分支，亦稱"隨機服務系統(tǒng)理論"?！臼程?、醫(yī)院、超市、銀行、買火車票等等】組成排隊系統(tǒng)的組成(1)輸入過程：就是指各種類型的"顧客(車輛或行人)"按怎樣的規(guī)律到達。有各式各樣的輸入過程，例如：D—定長輸入：顧客等時距到達。M—泊松輸入：顧客到達時距符合負指數分布。Ek—愛爾朗輸入：顧客到達時距符合愛爾朗分布。組成排隊系統(tǒng)的組成(2)排隊規(guī)則：指到達的顧客按怎樣的次序接受服務。例如：損失制：顧客到達時，若所有服務臺均被占，該顧客就自動消失，永不再來。等待制：顧客到達時，若所有服務臺均被占，他們就排成隊伍，等待服務，服務次序有先到先服務(這是最通常的情形)和優(yōu)先權服務(如急救車、消防車優(yōu)先)等多種規(guī)則?；旌现疲侯櫩偷竭_時，若隊伍長小于L，就排入隊伍；若隊伍長大于等于L，顧客就離去，永不再來。組成服務臺的排列方式(1)單通道服務系統(tǒng)組成服務臺的排列方式(2)多通道服務系統(tǒng)組成服務臺的排列方式(3)服務方式：指同一時刻多少服務臺可接納顧客，每一顧客服務了多少時間。每次服務可以成批接待，例如公共汽車一次就裝載大批乘客。D—定長分布：每一顧客的服務時間都相等；M—負指數分布：即各顧客的服務時間相互獨立，服從相同的負指數分布。Ek—愛爾朗分布：即各顧客的服務時間相互獨立，具有相同的愛爾朗分布。方式排隊模型的表示方法肯道爾(D.G.Kendall)1971年國際排隊符號標準會議到達過程/服務過程/服務臺數目/在系統(tǒng)中最大顧客數/在顧客源中顧客數/排隊規(guī)則M/M/1/K/∞/FCFSM/M/1系統(tǒng)及其應用M/M/1系統(tǒng)（單通道服務系統(tǒng)）的基本概念：由于排隊等待接受服務的通道只有單獨的一條，因此也叫做“單通道服務”系統(tǒng)。服務（收費站）μ輸出輸入λM/M/1系統(tǒng)M/M/1系統(tǒng)及其應用思考：假設在某一個高速公路的收費站，平均每10秒有一輛車到達，收費站發(fā)行通行卡的時間平均需要8s，這個收費站是否會出現大量的阻塞？即:1/λ=10s；1/μ=8sM/M/1系統(tǒng)及其應用設平均到達率為λ，則兩次到達的平均間隔時間（時距）為1/λ；設排隊從單通道接受服務后出來的系統(tǒng)平均服務率（輸出率）為μ，則平均服務時間為1/μ；主要參數稱為交通強度或利用系數，由比率ρ即可確定各種狀態(tài)的性質。比率當ρ<1（即λ<μ），且時間充分，每個狀態(tài)都會以非0的概率反復出現；當ρ≥1（即λ≥μ），任何狀態(tài)都是不穩(wěn)定的，且排隊會越來越長。要保持穩(wěn)定狀態(tài)，確保單通道排隊消散的條件是ρ<1。M/M/1系統(tǒng)及其應用思考：假設在某一個高速公路的收費站，平均每10秒有一輛車到達，收費站發(fā)行通行卡的時間平均需要8s，這個收費站是否會出現大量的阻塞？即:1/λ=10s；1/μ=8s如果時間充分，這個收費站不會出現大量阻塞。M/M/1系統(tǒng)及其應用其他參數在系統(tǒng)中沒有顧客的概率為（即沒有接受服務，也沒有排隊）：在系統(tǒng)中有n個顧客的概率為（包括接受服務的顧客與排隊的顧客之和）在系統(tǒng)中的平均顧客數為（平均接受服務的顧客與排隊的顧客之和）：M/M/1系統(tǒng)及其應用其他參數系統(tǒng)中顧客數的方差：當ρ≥0.8以后，平均排隊長度迅速增加，排隊系統(tǒng)變得不穩(wěn)定，造成系統(tǒng)的服務能力迅速下降。M/M/1系統(tǒng)及其應用其他參數系統(tǒng)中顧客數的方差：當ρ≥0.8以后，平均排隊長度迅速增加，排隊系統(tǒng)變得不穩(wěn)定，造成系統(tǒng)的服務能力迅速下降。M/M/1系統(tǒng)及其應用其他參數排隊系統(tǒng)中平均消耗時間：是指排隊中消耗時間與接受服務所用時間之和。M/M/1系統(tǒng)及其應用其他參數排隊中的平均等待時間：這里在排隊時平均需要等待的時間，不包括接受服務的時間，等于排隊系統(tǒng)平均消耗時間與平均服務時間之差。M/M/1系統(tǒng)及其應用其他參數平均排隊長度：這里是指排隊顧客（車輛）的平均排隊長度，不包括接受服務的顧客（車輛）。M/M/1系統(tǒng)及其應用其他參數平均非零排隊長度：即排隊不計算沒有顧客的時間，僅計算有顧客時的平均排隊長度，即非零排隊。如果把有顧客時計算在內，就是前述的平均排隊長度。M/M/1系統(tǒng)及其應用其他參數系統(tǒng)中顧客數超過k的概率：M/M/1系統(tǒng)及其應用其他參數系統(tǒng)中排隊等候的顧客數超過k的概率：即系統(tǒng)中顧客數超過k+1的概率M/M/1系統(tǒng)及其應用實例分析【例題】某收費公路入口處設有一收費亭，汽車進入公路必須向收費亭交費。收費亭的收費時間服從負指數分布，平均每輛車的交費時間為7.2秒，汽車到達率為400輛/h，并服從泊松分布。求：收費人員空閑的概率；收費亭前沒有車輛排隊的概率；收費亭前排隊長度超過12輛的概率；平均排隊長度；車輛通過收費亭所花費時間的平均值；車輛的平均排隊時間。M/M/1系統(tǒng)及其應用解：M/M/1系統(tǒng)，λ=400(輛/h),μ=3600/7.2=500