量子力學(xué)期末試題及答案

2002年量子力學(xué)期末試題及答案一.（20分）質(zhì)量為的粒子，在一維無(wú)限深勢(shì)阱中中運(yùn)動(dòng)，若時(shí)，粒子處于狀態(tài)上，其中，為粒子能量的第個(gè)本征態(tài)。求時(shí)能量的可測(cè)值與相應(yīng)的取值幾率；求時(shí)的波函數(shù)及能量的可測(cè)值與相應(yīng)的取值幾率解：非對(duì)稱一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的本征解為首先，將歸一化。由可知，歸一化常數(shù)為于是，歸一化后的波函數(shù)為能量的取值幾率為能量取其它值的幾率皆為零。因?yàn)楣茴D算符不顯含時(shí)間，故時(shí)的波函數(shù)為由于哈密頓量是守恒量，所以時(shí)的取值幾率與時(shí)相同。二.（20分）質(zhì)量為的粒子在一維勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，若已知該粒子在此勢(shì)阱中有一個(gè)能量的狀態(tài)，試確定此勢(shì)阱的寬度。解：對(duì)于的情況，三個(gè)區(qū)域中的波函數(shù)分別為其中，在處，利用波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件得到于是有此即能量滿足的超越方程。當(dāng)時(shí)，由于故，最后，得到勢(shì)阱的寬度三.（20分）設(shè)厄米特算符的本征矢為，構(gòu)成正交歸一完備系，定義一個(gè)算符計(jì)算對(duì)易子；證明；計(jì)算跡；若算符的矩陣元為，證明解：（1）對(duì)于任意一個(gè)態(tài)矢，有故（2）（3）算符的跡為（4）算符而（20分）自旋為、固有磁矩為（其中為實(shí)常數(shù)）的粒子，處于均勻外磁場(chǎng)中，設(shè)時(shí)，粒子處于的狀態(tài)，求出時(shí)的波函數(shù)；求出時(shí)與的可測(cè)值及相應(yīng)的取值幾率。解：體系的哈密頓算符為在泡利表象中，哈密頓算符的本征解為在時(shí)，粒子處于的狀態(tài)，即而滿足的本征方程為解之得由于，哈密頓算符不顯含時(shí)間，故時(shí)刻的波函數(shù)為（2）因?yàn)?，所以是守恒量，它的取值幾率與平均值不隨時(shí)間改變，換句話說(shuō)，只要計(jì)算時(shí)的取值幾率就知道了時(shí)的取值幾率。由于；故有而的取值幾率為（20分）類氫離子中，電子與原子核的庫(kù)侖相互作用為（為核電荷）當(dāng)核電荷變?yōu)闀r(shí)，相互作用能增加，試用微擾論計(jì)算它對(duì)能量的一級(jí)修正，并與嚴(yán)格解比較。解：已知類氫離子的能量本征解為式中，為玻爾半徑。能量的一級(jí)修正為由維里定理知總能量