專題07 弧長、扇形面積和圓錐側(cè)面積（原卷版）

專題7弧長、扇形面積和圓錐側(cè)面積知識梳理：1、弧長公式半徑為R的圓中360°的圓心角所對的弧長(圓的周長)公式：n°的圓心角所對的圓的弧長公式：(弧是圓的一部分)2、扇形面積公式半徑為R的圓中360°的圓心角所對的扇形面積(圓面積)公式：n°的圓心角所對的扇形面積公式：3、圓錐的側(cè)面積和全面積連接圓錐頂點和底面圓上任意一點的線段叫做圓錐的母線.圓錐的母線長為，底面半徑為r，側(cè)面展開圖中的扇形圓心角為n°，則圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積.扇形的半徑就是圓錐的母線，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長.因此，要求圓錐的側(cè)面積就是求展開圖扇形面積，全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的.題型一：求弧長【例1】如圖，邊長為4的正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，則的長是（結(jié)果保留π）．【例2】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，以AB為直徑的⊙O交邊BC，AC于D，E兩點，AC＝2，則的長是．【例3】如圖，AB是圓O的直徑，CD是弦，CD∥AB，∠BCD＝30°，AB＝6，則弧BD的長為（）A．π B．4π C．2π D．45π【例4】如圖，⊙O的半徑為6，圓周角∠BAC＝40°，則的長為（）A． B． C． D．，【例5】已知一個扇形的圓心角為120°，半徑是6cm，則這個扇形的弧長是（）A．8π B．6π C．4π D．2π【例6】如圖，在扇形OAB中，∠AOB=110°，半徑OA=18，將扇形OAB沿過點B的直線折疊，點O恰好落在上的點D處，折痕交OA于點C，則的長為______．題型二：求扇形面積【例1】如圖，從一塊直徑為4dm的圓形鐵皮上剪出一圓心角為90°的扇形，則此扇形的面積為（）dm2．A．4π B．16π C．4π D．8π【例2】如圖，一只羊被4米長的繩子拴在長為3米，寬為2米的長方形封閉圍墻的一個頂點上，則這頭羊活動范圍的最大面積是米2．【例3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AC＝4，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．2π【例4】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝，作∠ABC的平分線BD交AC于點D，以點A為圓心，AD長為半徑作弧，交AB于點E，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．題型三：求圓心角和半徑【例1】已知扇形的面積為16π，半徑為6，則此扇形的圓心角為．．【例2】在同一個圓中，扇形A，B，C面積之比為1：3：5，則最小扇形的圓心角度數(shù)（）A．40° B．100° C．120° D．150°【例3】如圖，AB是⊙O的直徑，CD垂直O(jiān)B交⊙O于C，D兩點，∠ABC＝60°，圖中陰影部分的面積，則⊙O的半徑為（）A．1 B．2 C．3 D．4題型四：求圓錐的側(cè)面積或全面積【例1】某盞路燈照射的空間可以看成如圖所示的圓錐，它的高AO=8米，母線AB與底面半徑OB的夾角為α，OA：OB=4:3，則圓錐的側(cè)面積是______平方米（結(jié)果保留π）．【例2】若一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為4cm的半圓，則該圓錐的全面積是cm2．【例3】已知圓錐的底面半徑是2，母線長是3，則圓錐的側(cè)面積為．【例4】若圓錐的底面半徑為2cm，圓錐的母線長為7cm，則它的側(cè)面展開圖的面積為cm2．【例5】一個圓柱的高為3cm，側(cè)面積為12πcm2，則它的全面積是（）A．s＝30πcm2 B．s＝20πcm2 C．s＝24πcm2 D．s＝16πcm2【例6】如圖所示，圓錐的底面半徑為1，高為，則圓錐的表面積為（）A．π B．2π C．3π D．4π【例7】如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的側(cè)面積是______．題型五：求圓錐底面圓半徑【例1】把半徑為12且圓心角為150°的扇形圍成一個圓錐，則這個圓錐的底面圓的半徑為．【例2】用半徑為6cm，圓心角為120°的扇形紙片圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面圓的半徑是cm．【例3】一圓錐的母線長為6cm，它的側(cè)面展開圖扇形的面積為12π，則這個圓錐的底面半徑r為cm．【例4】用半徑為6cm，圓心角為120°的扇形紙片圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面圓的半徑是cm．【例5】如圖，從一塊半徑為1m的圓形鐵皮上剪出一個圓周角為120°的扇形ABC，如果剪下來的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的底面圓的周長為m．題型六：求圓錐的高、母線【例1】如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個扇形．若扇形的半徑R＝6cm，扇形的圓心角θ＝120°，該圓錐的高為cm．【例2】一個圓柱的底面半徑為4，側(cè)面積為64π，則該圓柱的母線長為（）A．8 B．16 C．8π D．16π【例3】已知圓柱的底面半徑為3cm，軸截面面積為24cm2，則圓柱的母線長為．【例4】如果把一個圓柱體橡皮泥的一半捏成與圓柱底面積相等的圓錐，則這個圓錐的高與圓柱的高的比為．【例5】如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為6，連接AC，以點A為圓心，AC為半徑畫弧CE，得扇形ACE，將扇形ACE圍成一個圓錐，則圓錐的高為（）A．3 B．6 C．3 D．【例6】如圖，將半徑為15cm的圓形紙片剪去圓心角為144°的一個扇形，用剩下的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計），這個圓錐的高是（）A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm【例7】．用一個半圓圍成一個圓錐的側(cè)面，圓錐的底面圓的半徑為3．則該圓錐的母線長為（）A．3 B．6 C．9 D．12【例8】如圖，用圓心角為120°，半徑為6cm的扇形紙片卷成一個圓錐形無底紙帽，則這個紙帽的高是cm．題型七：求圓錐側(cè)面展開圖圓心角【例1】將一個半徑為4cm，母線長為10cm的圓錐形紙筒沿一條母線剪開并展平，所得到展開圖的圓心角是度．【例2】某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)生到教具加工廠制作圓錐．他們制作的圓錐，母線長為30cm，底面圓的半徑為10cm，這種圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是．【例3】已知圓錐的底面直徑為4，母線長為6，則此圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是（）A．240° B．150° C．120° D．90°【例4】如圖是一個圓錐形冰淇淋外殼，已知其母線長為10cm，底面半徑為3cm，則這個冰淇淋外殼的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為（）A．108° B．120° C．144° D．150°題型八：求陰影部分面積【例1】如圖，將半徑為2，圓心角為120°的扇形OAB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，點O，B的對應(yīng)點分別為O′，B′，連接BB′，則圖中陰影部分的面積是______．．【例2】如圖，兩個半徑相等的直角扇形的圓心C、E分別在對方的圓弧上，其中點C是的中點，半徑AE、CF交于點G，半徑BE、CD交于點H，若直角扇形的半徑為2cm，則圖中陰影部分的面積等于______cm2．【例3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作⊙O的切線DF，交AC于點F．（1）求證：DF⊥AC；（2）若⊙O的半徑為4，∠CDF＝22.5°，求陰影部分的面積．題型九：運動路線問題【例1】矩形ABCD的邊AB＝4，AD＝3，現(xiàn)將矩形ABCD放在直線l上且沿著l向右作無滑動地翻滾，當(dāng)它翻滾至類似開始的位置A1B1C1D1時（如圖所示），則頂點A所經(jīng)過的路線長是______．【例2】已知一個半圓形工件，未搬動前如圖所示，直徑平行于地面放置，搬動時為了保護圓弧部分不受損傷，先將半圓作如圖所示的無滑動翻轉(zhuǎn)，使它的直徑緊貼地面，再將它沿地面平移50米，半圓的直徑為4米，則圓心O所經(jīng)過的路線長是_____．米【例3】如圖，圓錐的底面半徑為5，母線長為20，一只蜘蛛從底面圓周上一點A出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到點A的最短路程是______．【例4】如圖有一圓錐形糧堆，其主視圖是邊長為6m的正△ABC．（1）求該圓錐形糧堆的側(cè)面積；（2）母線AC的中點P處有一老鼠正在偷吃糧食，小貓從B處沿圓錐表面去偷襲老鼠，小貓經(jīng)過的最短路程．（結(jié)果不取近似值）【例5】如圖，邊長為的正方形ABCD的頂點A、B在一個半徑為的圓上，頂點C、D在圓內(nèi)，將正方形ABCD沿圓的內(nèi)壁逆時針方向作無滑動的滾動．當(dāng)點C第一次落在圓上時，點C運動的路徑長為______．【例6】如圖，在扇形紙片中，在桌面內(nèi)的直線l上．現(xiàn)將此扇形在直線l上按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中無滑動），當(dāng)落在l上時，停止旋轉(zhuǎn)．則點O所經(jīng)過的路線長為（）A． B． C． D．題型十：綜合性簡答題【例1】如圖，在中，，以為直徑的分別交線段、于點、，過點作，垂足為，線段、的延長線相交于點．（1）求證：是的切線；（2）若，，求圖中陰影部分的面積．【例2】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分線交BC于點O，以點O為圓心，OC長為半徑作圓．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若∠B＝30°，BC＝12，求陰影部分面積．．【例3】古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯認為：“一切平面圖形中最美的是圓”．波波決定研究一下圓．如圖，、是的兩條半徑，，C是半徑上一動點，連接并延長交于D，過點D作圓的切線交的延長線于E，已知．（1）求證：；（2）若，求長；（3）當(dāng)從增大到的過程中，求弦在圓內(nèi)掃過的面積．課后作業(yè)：1．如圖，A、B是⊙O上的兩點，∠AOB＝120°，OA＝3，則劣弧AB的長是（）A．π B．2π C．3π D．4π2．若扇形的弧長是5π，半徑是18，則該扇形的圓心角是（）A．50° B．60° C．100° D．120°3．一個扇形半徑30cm，圓心角120°，用它作一個圓錐的側(cè)面，則圓錐底面半徑為（）A．5cm B．10cm C．20cm D．30cm4．已知圓錐的底面半徑為2，母線長為4，則其側(cè)面積為（）A．4π B．6π C．8π D．16π．5．圓錐的截面是一個等邊三角形，則它的側(cè)面展開圖圓心角度數(shù)是（）A．60° B．90° C．120° D．180°6．如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐的底面圓的半徑r＝3cm，扇形的圓心角θ＝120°，則該圓錐的母線長l為cm．7.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，以BC邊所在的直線為軸，將△ABC旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐，求這個圓錐的側(cè)面積.8．（2022·江蘇泰州·九年級期末）一圓錐高為4cm，底面半徑為3cm，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．9．（2022·江蘇連云港·九年級期末）如圖，在紙上剪下一個圓形和一個扇形的紙片，使之恰好能圍成一個圓錐模型．若圓的半徑為r，扇形的半徑為R，扇形的圓心角等于90°，則r與R之間的關(guān)系是（

）A．R＝2r； B．； C．R＝3r； D．R＝4r．10．如圖，⊙O的直徑AB＝16，半徑OC⊥AB，D為上一動點（不包括B，