2022年陜西省西工大附中高考理科數(shù)學一模試卷及答案解析

2022年陜西省西工大附中高考理科數(shù)學一模試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.(5分)已知集合-X-2<0},B={x\y^lg(x-1)},則ACB=()

A.{%|-l<x<2}B.{x|l<x<2}C.國1?2}D.{x|0Wx<2}

2.6分）如果復數(shù)號j（其中，?為虛數(shù)單位,

匕為實數(shù)）為純虛數(shù)，那么6=（）

A.1B.2C.4D.-4

3.（5分）為達成“碳達峰、碳中和”的目標,我們需堅持綠色低碳可持續(xù)發(fā)展道路，可再

生能源將會有一個快速發(fā)展的階段.太陽能是一種可再生能源，光伏是太陽能光伏發(fā)電

系統(tǒng)的簡稱，主要有分布式與集中式兩種方式.下面的圖表是近年來中國光伏市場發(fā)展

情況表，則下列結(jié)論中正確的是（）

我國光伏新增裝機情況（GW）我國光伏發(fā)電量情況（乙Wk>h)

603000

發(fā)電

5025001

40-0-占比

302000

201500

101000

50llnHrli

20132014201520162017201820192020.20132.01420132O0162017201820192020.

A.2013?2020年,年光伏新增裝機規(guī)模同比（與上年相比）增幅逐年遞減

B.2013?2020年,年光伏發(fā)電量與年份成負相關(guān)

C.2013?2020年,年新增裝機規(guī)模中，分布式的平均值大于集中式的平均值

D.2013?2020年,每年光伏發(fā)電量占全國發(fā)電總量的比重與年份成正相關(guān)

2

4.（5分）函數(shù)f（x）—1）sinx圖象的大致形狀是（）

l+ex

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5.（5分）若正實數(shù)x,y滿足「+丫,3,則z=2x+y的值不可能是（）

（x—y<3

A.3B.6C.9D.12

6.（5分）設(shè)工K是非零向量，滿足而一a=良a<a-b）=0,則U一^與力夾角大小為

（）

A.45°B.60°C.120°D.135°

7.（5分）若aE（-,IT）,cosa=（2-sina）tan2a,貝Utana=（）

2

A叵R_巫「亞n_匹

A.*B.15C.§D.3

8.（5分）記S“為等比數(shù)列｛“”｝的前〃項和.若公-的=12,“6-44=24,則1=（）

an

A.2n-1B.2-2「"C.2-2"7D.2lw-1

9.（5分）5名同學到甲、乙、丙3個社區(qū)協(xié)助工作人員調(diào)查新冠疫苗的接種情況，若每個

社區(qū)至少有1名同學，每名同學只能去1個社區(qū)，且分配到甲、乙兩個社區(qū)的人數(shù)不同，

則不同的分配方法的種數(shù)為（）

A.60B.80C.100D.120

10.（5分）已知F是拋物線C：f=2px的焦點，x=-2是拋物線C的準線，點N（0,力

（/#（））,連接FN交拋物線C于M點，MN+MF=O,則△OFN的面積為（）

A.6B.3C.2&D.472

11.（5分）已知函數(shù)/（x）=sin（（jix+<p）（a）>0,0<（p<Tr）的一條對稱軸與相鄰的一個

IT71

對稱中心的距離為7,將其向右平先后得到函數(shù)g（x）的圖象,若函數(shù)g（x）的圖象在

區(qū)間［如，司上單調(diào)遞增,

則<p的取值范圍為（）

4

71717T57r712兀7T37r

1B.1J

A—2W'TTD-『r

12.（5分）己知函數(shù)八x）=xlnx,若過一點（，〃，〃）可以作出該函數(shù)的兩條切線，則下

列選項一定成立的是（)

2

A.n<mlnmB.n>mlnmC.——e<h<^0D.mVl

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）某企業(yè)加工了一批新零件，其綜合質(zhì)量指標值X服從正態(tài)分布N（80,。2）,

且P（XW60）=0.2,現(xiàn)從中隨機抽取該零件500個，估計綜合質(zhì)量指標值位于（60,I00J

第2頁共25頁

的零件個數(shù)為.

14.（5分）兩個圓錐有等長的母線，它們的側(cè)面展開圖恰好拼成一個圓，若它們的側(cè)面積

之比為1：2,則它們的體積比是.

15.（5分）己知直線y=Ax+b是曲線y=/的一條切線，則A+6取值范圍是.

16.（5分）定義函數(shù)/（x）=[x[x]J,其中因表示不超過x的最大整數(shù)，例如=[-

1.5]=-2,[2]=2,當問0,〃）〃6N*時，/（x）的值域為A”，記集合A”中元素的個數(shù)

1111

為則~+~+~+--F的值為_______?

-

。2-1a3-la4-l^2021l

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或清算步驟。第17~21題為必考

題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：

共60分。

17.（12分）在AABC中，內(nèi)角A,8,C所對的邊分別為a,b,c,若2-sii?C=

sirL4sinB+cos2/l+cos2B.

（1）求C；

（2）若△ABC為銳角三角形，且6=4,求AABC面積的取值范圍.

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18.(12分)為更好地提升身體素質(zhì)，某單位組織員工參與“健康步行”活動，規(guī)定日行步

數(shù)不足2千步的人為“運動欠佳”，不少于8千步的人為“運動達人”，其他人為“一般

運動”，現(xiàn)隨機抽取了部分員工，統(tǒng)計他們的日行步數(shù)，按步數(shù)分組，得到頻率分布直方

圖如圖所示.

(1)求頻率分布直方圖中a的值，并求抽的這部分員工日行步數(shù)的樣本平均數(shù)元(結(jié)果

四舍五入保留整數(shù)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；

(2)用樣本估計總體，將頻率視為概率.現(xiàn)從該單位員工中隨機抽取2人，抽取的兩人

中是“運動達人”的獎勵200元，是“一般運動”的獎勵100元，是“運動欠佳”的沒

有獎勵，求獎勵總金額X的分布列和數(shù)學期望.

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19.(12分)如圖所示的幾何體是由等高的半個圓柱和三個圓柱拼接而成，點G為弧前的中

4

點，且C、E、D、G四點共面.

(1)證明：平面平面5CG；

(2)若平面8。尸與平面4BG所成銳二面角的余弦值為等，求直線OF與平面ABF所

成角的大小.

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yz2

20.(12分)已知橢圓C：—^+77=1(q>Q0)的離心率為一，4，分別為橢圓C的

a2b23

左、右頂點，8為橢圓C的上頂點，F(xiàn)i為橢圓C的左焦點，且△4Q8的面積為日.

(I)求橢圓C的方程；

(II)設(shè)過點。(1,0)的動直線/交橢圓于E、F兩點、(點E在x軸上方)，M,N分

\OM\

別為直線4E,A2尸與y軸的交點，O為坐標原點，求情］的值.

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21.(12分)已知函數(shù)/(x)=ax+jrlnx.

(1)證明：當“W0時，函數(shù)/(X)有唯一的極值點；

(2)設(shè)”為正整數(shù)，若不等式f(x)〈，在(0,+8)內(nèi)恒成立，求”的最大值.

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［選修4-41坐標系與參數(shù)方程］

22.（10分）已知心形線是由一個圓上的一個定點，當該圓繞著與其相切且半徑相同的另外

一個圓周上滾動時，這個定點的軌跡，因為其形狀像心的形狀而得名.在極坐標系Ox

中，方程p=a（1-sin。）（“>0）表示的曲線Ci就是一條心形線，如圖，以極軸Ox所

在直線為x軸，極點。為坐標原點的直角坐標系xOy中，已知曲線C2的參數(shù)方程為

x=1+y/3t

百。為參數(shù)）.

廿=亍+1

（1）求曲線C2的極坐標方程；

（2）求曲線Ci與C2交點個數(shù).

/OoVx~

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［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)f(x)=|x-11.

(1)求不等式/(x)+f(2x+2)>3的解集M；

(2)設(shè)a,bEM,求證：

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2022年陜西省西工大附中高考理科數(shù)學一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.(5分)已知集合4={4^-》-2<0},B={x\y=lg(x-1)},則AAB=(

A.{x|-l<x<2}B.{x\l<x<2}C.{x|l?2}D.{x|0?2}

解：'：A={x\-\<x<2},B={4x>l},

：.ADB^[x\\<x<2}.

故選：B.

（5分）如果復數(shù)瑞（其中i為虛數(shù)單位,

2.匕為實數(shù)）為純虛數(shù)，那么6=（）

A.1B.2C.4D.-4

2—bi(2—2—2匕—4—b

解:,:--------+---------i是純虛數(shù),

l+2i(l+2i)(l-2i)55

叱渭。解得I

故選：A.

3.（5分）為達成“碳達峰、碳中和”的目標，我們需堅持綠色低碳可持續(xù)發(fā)展道路，可再

生能源將會有一個快速發(fā)展的階段.太陽能是一種可再生能源，光伏是太陽能光伏發(fā)電

系統(tǒng)的簡稱，主要有分布式與集中式兩種方式.下面的圖表是近年來中國光伏市場發(fā)展

A.2013?2020年,年光伏新增裝機規(guī)模同比（與上年相比）增幅逐年遞減

B.2013?2020年,年光伏發(fā)電量與年份成負相關(guān)

C.2013?2020年,年新增裝機規(guī)模中，分布式的平均值大于集中式的平均值

D.2013?2020年,每年光伏發(fā)電量占全國發(fā)電總量的比重與年份成正相關(guān)

解：A,2013-2020年，年光伏新增裝機規(guī)模同比（與上年相比）增幅逐年遞減，前兒

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年遞增，后面遞減，故A錯誤；

B,2013?2020年，年光伏發(fā)電量與年份成正相關(guān)，故B錯誤；

C,由圖表可以看出，每一年裝機規(guī)模，集中式都比分布式大，因此分布式的平均值小于

集中式的平均值，故C錯誤；

D,根據(jù)圖表可知，2013~2020年，每年光伏發(fā)電量占全國發(fā)電總量的比重隨年份逐年

增加,

故每年光伏發(fā)電量占全國發(fā)電總量的比重與年份成正相關(guān)，故。正確.

故選：D.

2

4.（5分）函數(shù)/（x）=（1右-1）sinx圖象的大致形狀是（）

,21—PX

解：f(x)=(斗聲-Dsinx=1/sinA，

則-x)=￡_x，sin(-x)-sinx)=^^'sinx=f(x),

則/(x)是偶函數(shù)，則圖象關(guān)于y軸對稱，排除B,D,

由f(x)=0,得1-，=0或sinx=0,

得工=內(nèi)1,kWZ,即當x>0時，第一個零點為7T,

當％=1時，/（1）=露?sinlV0,排除A,

故選：C.

5.（5分）若正實數(shù)x,y滿足儼+、>3,則z=2x+y的值不可能是（）

1%—y<3

A.3B.6C.9D.12

解：由約束條件作出可行域如圖，

由圖可知，A（0,3）,由z=2r+y,得y=-2x+z,

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由圖可知，當直線y=-2x+z過A時?，z有最小值為3,

但A不在可行域中，結(jié)合選項可得，z=2x+y的值不可能是3.

故選：A.

6.(5分)設(shè)Zb是非零向量,滿足/一設(shè)=而,a<a-b)=0,則2-b與b夾角大小為

()

A.45°B.60°C.120°D.135°

解：a,b是非零向量，滿足而一。|=而，a9(a-b)=0,

可得—2Q?b+=Q2,Q2—Q?b=0,

可得魚而=|b|,

TTT—2TTT2T2

Z-b與b夾角為e,可得cos8=(二一笑=—R=■gzF^~=—￥

\a-b\\b\|a-b||b|\a\\b\

所以Z-%與］夾角大小為：135°.

故選：D.

71

(5分)若ae(?TC),cosa=(2-sina)tan2a,則tana=()

A/15/I5V575

A.——B.C.D.

15IT3T

解：由cosa=(2-sina)tan2a,得tan2a=2-shia,

-sin2acosa2sinacosacosa

即-----=----:-,-----——=---：—,

cos2a2-sinal-2sin^a2-sina

71

VaG(一,TT),'cosaWO,

2

則2sina(2-sina)=1-2sin2a,解得sina=4,

cosa=—V1—sin2a=-4^,

q

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mil.sina^15

則tana=------=—丁一

cosa15

故選：B.

S

8.(5分)記S"為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和.若“5-43刁2,06-44=24,則上=()

an

A.2n-1B.2-2「"C.2-2"7D.2lz,-1

解：設(shè)等比數(shù)列的公比為夕，

Vas--3=12,

1?。6-Q4=q（。5-。3），

.?q=2,

.?aiq-a\q=12,

*??12al=12,

??m=1,

nn

：.Sn=^-=2-\,an=2',

1—z

a"?-"

an2"T

故選:B.

9.（5分）5名同學到甲、乙、丙3個社區(qū)協(xié)助工作人員調(diào)查新冠疫苗的接種情況，若每個

社區(qū)至少有1名同學，每名同學只能去1個社區(qū)，且分配到甲、乙兩個社區(qū)的人數(shù)不同，

則不同的分配方法的種數(shù)為（）

A.60B.80C.100D.120

解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

①將5人分為1、1、3的三組，

3

此時5人分三組有C5=10種分組方法，

分配到甲、乙兩個社區(qū)的人數(shù)不同，有C2%22=4種情況，

則此時有10X4=40種分配方法；

②將5人分為1、2、2的三組,

此時5人分三組有生竽■

=15種分組方法,

分配到甲、乙兩個社區(qū)的人數(shù)不同，有C2%2?=4種情況,

則此時有15X4=60種分配方法;

則有40+60=100種分配方法,

第13頁共25頁

故選：c.

10.(5分)已知F是拋物線C：b=2px的焦點，x=-2是拋物線C的準線，點N(0,f)

(/#0),連接尸N交拋物線C于朋點，MN+MF=0,則△OFN的面積為()

A.6B.3C.2V2D.4或

解：???x=-2是拋物線C的準線，

/.一岑=-2,即p=4,

則拋物線C：V=8x,焦點F(2,0),

'：MN+MF=0,M,N,尸三點共線，

為NF的中點，

又,：F(2,0),N(0,力，

AM(1,1),

將點”(1,1)代入拋物線)2=8X,

可得依4V2,

11

所以△。尸N的面積為TOF|」CW|=5X2X4V2=472.

故選：D.

11.(5分)已知函數(shù)/(%)=sin(a)x+(p)(a)>0,0<(p<n)的一條對稱軸與相鄰的一個

7171

對稱中心的距離為一，將其向右平移一后得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(X)的圖象在

46

區(qū)間[如，TT]上單調(diào)遞增，則中的取值范圍為()

4

7TnTC5?rn2n7137r

A**I1B.勺，-1C.y]D.[“y]

71

解：???/(%)的一條對稱軸與相鄰的一個對稱中心的距離為一，

4

TJi27r

:?———得T=n,即—=1T得3=2,

44O)

即/(x)=sin(2x+(p),

71

將其向右平移一后得到函數(shù)g(X)的圖象，

6

77TT

即g(尤)=sin[2(]—召)+(p]=sin(2x+(p—

由為<2x+(p—42日+}ZEZ,

第14頁共25頁

得kn—卷一號4〈丘+普一冬kEZ,

即的單調(diào)遞增區(qū)間為阿一卷一冬匕r+需一為，依Z,

37r

?.?函數(shù)g(X)的圖象在區(qū)間［7,71］上單調(diào)遞增，

［―,71歸伙71—蔡一冬日+答一號］,kEZ,

40zizz

即丘一圻肄竽且^+11-2-K,

□1-1757T-_(0.7TT

即ku—To45z^krc-iz

即2ATT——g~,kCZ,

V0<q)<n,

.??當k=1時，m<<p<^

n57r

則(p的取值范圍為匚，

36

故選：B.

12.(5分)已知函數(shù)/G)=xlnx,若過一點(〃7,〃)可以作出該函數(shù)的兩條切線，則下

列選項一定成立的是()

2

A.n<mlnmB.n>mlnmC.——e<n<T0D.m<1

e

解：設(shè)切點為(tint),對函數(shù)/(無)求導得，(%)=加+1,則切線斜率為/⑺

=/nr+l,

所以，切線方程為丁-〃加=(to+l)(x-r),即》=(lnt+1)X-t,

所以，n=m(Z/if+l)-t,可得/-〃?/加+〃-機=0,

令g(f)=/-mlnt^n-m,其中/>0,由題意可知，方程g(r)=0有兩個不等的實根.

//、,mt—m

g⑺=1一下=下

①當機W0時，對任意的r>0,g'(r)>0,此時函數(shù)g(r)在(0,+~)上單調(diào)遞增，

則方程g(?)=0至多只有一個根，不合乎題意；

②當機>0時，當0<7<〃?時，g'(/)<0,此時函數(shù)g(f)單調(diào)遞減，

當時，g'(力>0,此時函數(shù)g(f)單調(diào)遞增.

由題意可得g(t)min—g(〃?)—m-mlnm+n-m—n-mlnm<0,可得

故選：A.

第15頁共25頁

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)某企業(yè)加工了一批新零件，其綜合質(zhì)量指標值X服從正態(tài)分布N(80,。2),

且P(XW60)=0.2,現(xiàn)從中隨機抽取該零件500個，估計綜合質(zhì)量指標值位于(60,100]

的零件個數(shù)為300.

解：服從正態(tài)分布N(80,。2),

正態(tài)曲線的對稱軸為X=80,

'：P(XW60)=0.2,

：.P(60VXW80)=0.5-P(XW60)=0.5-0.2=0.3,

：.P(60<X^100)=2X03=0.6,

估計綜合質(zhì)量指標值位于(60,100]的零件個數(shù)為500X0.6=300.

故答案為：300.

14.(5分)兩個圓錐有等長的母線，它們的側(cè)面展開圖恰好拼成一個圓，若它們的側(cè)面積

之比為1：2,則它們的體積比是I：VTU.

解：設(shè)圓錐母線長為/,側(cè)面積較小的圓錐半徑為r,側(cè)面積較大的圓錐半徑為R,它們

的高分別為鼠H,則

nr/：TVRI=1：2,得R=2r

兩圓錐的側(cè)面展開圖恰好拼成一個圓，

27TT

=-X2n,得/=3r.再由勾股定理，得h=庇彳=2&r

3I

同理可得，H=國次=回

11—

???兩個圓錐的體積之比為(-汗?(一兀?4尸?追廠)=1：V10

33

故答案為：1：Vio

15.(5分)已知直線丁=履+。是曲線y=，的一條切線，貝I」k+b取值范圍是(-8,封.

解：設(shè)切點為(出,靖。)，

xxx

由y=",得=，，.\k=e°,b=e°—kx()=e°(l—x0).

xxx

/.k+h=e°+e°(l—x0)=e°(2—x0).

令g(x)(2-x),則g'(x)="(2-x)-(1-x).

當xW(-°°,1)時，gf(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；當xW(1,+°°)時，g'(x)<

0,g(x)單調(diào)遞減.

又g⑴=e,

第16頁共25頁

?,?％+b取值范圍是(-8,e].

故答案為：（-8,0.

16.（5分）定義函數(shù)/（x）=[x[x]],其中印表示不超過x的最大整數(shù)，例如[1.3]=1,[-

1.5]=-2,⑵=2,當碼0,n）怔N*時，/G）的值域為4,記集合4中元素的個數(shù)

11114040

為a,則-+-+-+…+的值為?

n-

a2T。3Ta4Ta2021-l2021—

’0,0<%<l

x,1<x<2

解：根據(jù)題意，[幻表示不超過x的最大整數(shù)，則/（X）=以印]={2%，2<%<3

<（n—1）%/n—1<x<n

則函數(shù)=[玨幻]中在各區(qū)間中的元素個數(shù)是：1,1,2,3,…，n-1；

則有斯=1+1+2+3+.......+(?-1)

1111222

則十十十…+-=十十1--L/N

。2-1。3-104—1a2021-12X13x22021X2020

、11111、4040

1(,1-1)（一一一）(一

2++.....+)]=2X2

2320202021■2021―2021,

4040

故答案為:

2021

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或清算步驟。第17~21題為必考

題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題:

共60分。

17.(12分)在△48C中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若2-sin2c=

sinAsinA?+cos2/4+cos25.

(1)求C；

(2)若△ABC為銳角三角形，且人=4,求△A3C面積的取值范圍.

解：(1)因為2-sin2c=sinAsin3+cos2A+cos2B,

所以2-sin2C=siii4sinB+(1-sin2A)+(1-sin2/?),

可得sin2A+sin2^-sin2C=sin/4sinB,由正弦定理知化簡得/十從_

由余弦定理知，cosC=4需2=篇=發(fā)

因為C6(0,n),

所以C=不

（2）由（1）知，C=5

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所以A+B=等

0<B<^n

又△ABC是銳角三角形，可得解得"a苴

b

由正弦定理知I-.，

smBsinC

又6=4,可得c=號罄=碧,

117叵27rs譏(4一8)_6

所以SAA8C二招csinA=5x4xxsin(——B)=4^/3+2V3,

/NSliiD3xsinB-tanB

因為所以tanB>紈

6/$

所以2V5<SAABCV8次,

故△ABC面積的取值范圍為(2V3,8V3).

18.(12分)為更好地提升身體素質(zhì)，某單位組織員工參與“健康步行”活動，規(guī)定日行步

數(shù)不足2千步的人為“運動欠佳”，不少于8千步的人為“運動達人”，其他人為“一般

運動”，現(xiàn)隨機抽取了部分員工，統(tǒng)計他們的日行步數(shù)，按步數(shù)分組，得到頻率分布直方

圖如圖所示.

(1)求頻率分布直方圖中“的值，并求抽的這部分員工日行步數(shù)的樣本平均數(shù)元(結(jié)果

四舍五入保留整數(shù)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);

(2)用樣本估計總體，將頻率視為概率.現(xiàn)從該單位員工中隨機抽取2人，抽取的兩人

中是“運動達人”的獎勵200元，是“一般運動”的獎勵100元，是“運動欠佳”的沒

有獎勵，求獎勵總金額X的分布列和數(shù)學期望.

解：(1)V2X(0.04+0.08+4+0.16+0.06+0.04)=1,：.a=QA2,

抽的這部分員工日行步數(shù)的樣本平均數(shù)元=0.04X2X1+0.08X2X3+0.12X2X5+0.16X2

X7+0.06X2X9+0.04義2X11=5.96.

(2)由題意，是“運動達人”的概率為2X(0.06+0.04)=0.2,

是“一般運動”的概率為2X(0.08+0.12+0.16)=0.72,

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是“運動欠佳”的概率為2X0.04=0.08,

由已知可得X的所有可能取值為0,100,200,300,400,

則尸(X=0)=0.08X0.08=0.0064,

P(X=100)=6x0.72X0.08=0.1152,

P(X=200)=0.72X0.72+屐X0.2X0.08=0.5504,

P(X=300)=6x0.2X0.72=0.288,

P(X=400)=0.2X0.2=0.04,

所以獎勵總金額X的分布列為：

X0100200300400

P0.00640.11520.55040.2880.04

數(shù)學期望砍X)=0X0.0064+100X0.1152+200X0.5504+300X0.288+400X0.04=146.24

i

19.(12分)如圖所示的幾何體是由等高的半個圓柱和一個圓柱拼接而成，點G為弧前的中

4

點，且C、E、D、G四點共面.

(1)證明：平面BFD_L平面BCG；

V15

(2)若平面8。尸與平面ABG所成銳二面角的余弦值為《一,求直線。F與平面4B尸所

成角的大小.

(1)證明：連接CE,因為NEC￡>=N3CG=45°,所以NECG=90°,即CE_LCG.

因為8C〃EF,且BC=EF,所以四邊形8CEF為平行四邊形，所以B尸〃EC,

因此，BFLCG.

因為8C_L平面ABF,8Fu平面ABF,所以8C_L8F.

又因為8CnCG=C,所以8凡L平面8CG,

又因為BFu平面BFD,所以平面BF￡)J_平面BCG.

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(2)解：以4為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)AF=2,AD=t,

則A(0,0,0),B(0,2,0),F(2,0,0),D(0,0,f),G(-1,1,t),

于是4B=(0,2,0),AG=(-1,1,t),FB=(-2,2,0),FD=(-2,0,t).

設(shè)平面BDF的一個法向量為/=(x,y,z),

lljn?FB=-2x+2y=0

(n-FD=-2x+￡z=0

令z=2,得￡=(3t,2).

f

設(shè)平面ABG的一個法向量為肅=Q',z)f

,(m-AB=yf=0

由TT，

m-AG=—x'+y'+￡z'=0

令z'=l,得藐=(如0,l)cos{m,.)=TJ=_LJ"彳一.

阿m5訪T

由平面BDF與平面ABG所成的銳二面角的余弦值為叵，得甘以鼻==—,

解得f=2,即AO=2.

因為D4L平面ABF,所以吊就是直線DF與平面ABF所成的角，

在△ACF中，因為ND4尸=90°,AD=AF=2,所以NDE4=45°,

因此直線OF與平面A8F所成的角為45°.

X2y22

20.(12分)已知橢圓C：—+—=1(a>b>0)的離心率為一，Ai，A2分別為橢圓C的

a2b23

V5

左、右頂點，3為橢圓C的上頂點，為為橢圓C的左焦點，且△4Q8的面積為］■.

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（I）求橢圓C的方程；

（II）設(shè)過點D（1,0）的動直線/交橢圓于E、尸兩點（點E在x軸上方），M,N分

別為直線4E,上尸與y軸的交點，O為坐標原點，求器的值.

解：（I）設(shè)橢圓C的左焦點Fi（-c,0）,

則e=g=.，則。器呢

4

b22

+-Q

又=b2+C29

所以爐="2①，

V5

又△4F1B的面積為工~,

所以工xM/1Ixb==―,即ab=3相②,

222

由①②可得〃2=9,廬=5,

x2y2

所以橢圓C的標準方程為B+彳=1；

（II）由題意，點E在x軸上方且過點。（1,0）,則直線/的斜率不等于0,

設(shè)直線/的方程為4=〃7>1,設(shè)E（xi，yi）,F（必”），

X=my+1

聯(lián)立方程組%2產(chǎn)_,可得（僧2+耳）y2+2my-8=0,

V+T=11

g

所以/=4m24-4x8（m2+耳）》0,

—2zn—8

…二詞‘內(nèi)2=詞,

則--------,即myiy2=4（yi+”）,

力以4-7

由4（-3,0）,A2（3,0）,

所以心述=用，則直線AiE的方程為'=曰0+3）,

1%］十D%］十<3

令x=0,可得y=篇，所以M（。，焉），

同理用得，N（0,劣）,

?3yl?

mriQM|'xi+311%（％2一3）|\myy-Zy^\|4（y+y）-2y|\2y+4y\

所以----=:以小-=--------=----x-2-----=----1---2----1-=---r----2

\ON\|丫2（%1+3）|\myy+4y\|4（y+y）+4y||4y1+8y2I

42一§122122

2|y1+2y2I_1

4|Vi+2y2I-2,

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(1)證明：當aWO時，函數(shù)f(x)有唯一的極值點；

(2)設(shè)〃為正整數(shù)，若不等式/(x)Vd在(0,+8)內(nèi)恒成立，求。的最大值.

(1)證明：函數(shù)/(x)的定義域為(0,+8),/(X)=a+x+2xlnx,

設(shè)g(x)=a+x^-2xlnx,

則g'(x)=2仇r+3,…2分

3

①當尤(eY,+8)時，因為/(x)>0,

3

所以g(x)在(e-2,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

33333

又因為g(e-2)="+e-2+2e2〃e-2=。-2。-2<0,

3

g(/")=a+e'a+2e'alne'a=a+ea-2aea=ea+a(1-2/")>0,所以存在xoW(?一2,e

3

使g(沏)=0,對于在(e-2,xo),都有g(shù)(x)<0,對于在(刈，+8),都有g(shù)

(x)>0；…4分

3

②當(0,?一2)時，g(x)=a+x(I+2/HX)<。-2xV0,…5分

因為屋(x)>0,

3

所以g(x)在(e-2,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

33333

又因為g(e~2)=。+；+2e一右〃?-2=。-2?一2<0,

綜上可得，ff(xo)=0,當W(0,xo)時，f(x)<0,當在(xo,+8)時，f(x)

>0,因此，當時，函數(shù)/(x)有唯一的極值點；…6