專題6.7 平面向量、復(fù)數(shù)和解三角形綜合練（解析版）備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型突破精練（新高考專用）

第第頁(yè)專題6.7平面向量、復(fù)數(shù)和解三角形綜合練題號(hào)一二三四總分得分練習(xí)建議用時(shí)：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2023春·黑龍江雞西·高一雞西市第四中學(xué)?？计谥校┮阎蛄烤鶠槿我庀蛄浚琺為任意實(shí)數(shù)，則下列等式不一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用向量加法結(jié)合律判斷A；利用數(shù)量積運(yùn)算律判斷B；利用數(shù)乘向量分配律判斷C；利用數(shù)量積的意義判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，由向量加法結(jié)合律知，成立，A正確；對(duì)于B，由數(shù)量積的分配律知，成立，B正確；對(duì)于C，由數(shù)乘向量的分配律知，成立，C正確；對(duì)于D，表示一個(gè)與共線的向量，表示一個(gè)與共線的向量，而是任意的，因此與不一定相等，D錯(cuò)誤.故選：D2．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)乘法計(jì)算法則計(jì)算即可.【詳解】，所以的共軛復(fù)數(shù)為故選：C3．（2023·新疆喀什·校考模擬預(yù)測(cè)）已知，，若與模相等，則=（

）.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】利用坐標(biāo)求出的模長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)已知條件可以得到一個(gè)關(guān)于的方程，問(wèn)題即可得到解決.【詳解】因?yàn)?，所以，故，而又已知，且，所以，解?故選：C4．（2023春·吉林·高三東北師大附中?？计谥校┰谥校堑膶?duì)邊分別為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，利用正弦定理求得，再利用余弦定理求得，即可求解.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，又因?yàn)?，可得，又由余弦定理，可得，因?yàn)?，所?故選：B.5．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）在中，平分，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】記，在中，，在中，，由平分，得到或，當(dāng)時(shí)，求得；當(dāng)時(shí)，得，再由，結(jié)合基本不等式求得結(jié)果．【詳解】如圖，記，

在中，，則，在中，，則,∵平分，∴，∴，∴，∴∴，∴∴，∴，∴或，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，∴，，∴；當(dāng)時(shí)，，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∵，∴的最小值為.故選：C.6．（四川省2023屆名校聯(lián)考高考仿真測(cè)試（四）文科數(shù)學(xué)試題）已知向量，，則下列命題不正確的是（

）A． B．若，則C．存在唯一的使得 D．的最大值為【答案】D【分析】由向量模的計(jì)算公式，可判定A正確；由向量共線的坐標(biāo)表示，可判定B正確；根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，求得，得到，可判定C正確；根據(jù)向量的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到，求得的最大值，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】由向量，，對(duì)于A中，由，所以A正確；對(duì)于B中，若，可得且，可得，所以B正確；對(duì)于C中，若，可得，整理得，所以，可得，因?yàn)?，可得，所以C正確；對(duì)于D中，由，因?yàn)?，所以，可得，所以的最大值為，即的最大值為，所以D錯(cuò)誤.故選：D.7．（云南三校2023屆高三高考備考實(shí)用性聯(lián)考卷（八）數(shù)學(xué)試題）已知，是方程的兩個(gè)復(fù)根，則（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】利用求根公式求出兩個(gè)復(fù)根，然后利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及模的公式直接計(jì)算即可.【詳解】已知，是方程的兩個(gè)復(fù)根，所以，則設(shè)，，所以，故選：B.8．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，.若為的中點(diǎn)，則的值為（

）A．-3 B． C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)余弦定理得到，確定為圓的直徑，為等邊三角形，建立坐標(biāo)系，確定點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算向量的數(shù)量積得到答案.【詳解】連接，由余弦定理知，所以.由正弦定理得，所以為圓的直徑，所以，所以，從而，又，所以為等邊三角形，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.則，所以.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分9．（2023·遼寧·朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考三模）△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律一一判斷求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所?所以，所以，A錯(cuò)誤；因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以的夾角為，即的夾角為，所以，所以，B正確；，C正確，D錯(cuò)誤；故選:BC.10．（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）關(guān)于x的方程的復(fù)數(shù)解為，，則（

）A．B．與互為共軛復(fù)數(shù)C．若，則滿足的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限D(zhuǎn)．若，則的最小值是3【答案】BD【分析】根據(jù)給定條件，求出，再逐項(xiàng)計(jì)算、判斷作答.【詳解】因?yàn)椋虼瞬环亮罘匠痰膹?fù)數(shù)解，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，與互為共軛復(fù)數(shù)，B正確；對(duì)于C，，由，得，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，由，得，顯然有，由選項(xiàng)A知，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：BD11．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，角所對(duì)的邊為，若，且，則的可能取值為（

）A． B．2 C． D．【答案】ACD【分析】由面積公式及余弦定理求出，再由正、余弦定理將角化邊，即可求出，再由正弦定理及三角恒等變換公式將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)，最后由三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】在銳角中，由余弦定理及三角形面積定理得：，即有，而，則，又，由正弦定理、余弦定理得，，化簡(jiǎn)得：，由正弦定理有：，即，，又是銳角三角形且，有，，解得，因此，由得：，，所以，結(jié)合選項(xiàng)，的可能取值為，，.故選：ACD12．（2023·安徽合肥·合肥一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1，記，則（

）

A．B．C．D．在方向上的投影向量為【答案】BC【分析】根據(jù)題意，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得到結(jié)果.【詳解】，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋蔅正確；，又，所以，故C正確；在方向上的投影向量為，故D錯(cuò)誤.故選：.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.13．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，某中學(xué)某班級(jí)課外學(xué)習(xí)興趣小組為了測(cè)量某座山峰的高度，先在山腳處測(cè)得山頂處的仰角為，又利用無(wú)人機(jī)在離地面高的處（即），觀測(cè)到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，則山高_(dá)________m．

【答案】【分析】確定，，，在中，利用正弦定理求出，再由銳角三角函數(shù)計(jì)算得到答案.【詳解】依題意，則，,，故，，在中，由正弦定理得，即，解得，則.

故答案為：14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）計(jì)算________.【答案】【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則求解計(jì)算.【詳解】原式故答案為：.15．（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，則________．【答案】2【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的加法和除法運(yùn)算求得，進(jìn)而得到，求得，即可求得答案.【詳解】，所以，得，所以.故答案為：216．（2023·浙江溫州·樂(lè)清市知臨中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)是平面內(nèi)的兩條互相垂直的直線，線段AB，CD的長(zhǎng)度分別為2，10，點(diǎn)A，C在a上，點(diǎn)B，D在b上，若M是AB的中點(diǎn)，則的取值范圍是___________．【答案】【分析】設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，由條件確定點(diǎn)的軌跡，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算求的取值范圍.【詳解】設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，因?yàn)镸是AB的中點(diǎn)，，所以，故點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，設(shè)線段的中點(diǎn)為，，所以，故點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，因?yàn)椋?，所以，又，所以，所以的取值范圍?故答案為：.

四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（2023春·福建廈門·高三廈門一中?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)z滿足，且z的虛部為-1，z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．(1)求z；(2)若z，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求∠OAB．【答案】(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用復(fù)數(shù)幾何意義設(shè)出，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)定義寫出，再運(yùn)用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算求得結(jié)果.（2）運(yùn)用復(fù)數(shù)幾何意義、兩點(diǎn)間距離公式及勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知，設(shè)（），則，所以，解得：，所以.（2）由（1）知，，所以，所以，，如圖所示，

所以，，，，所以.所以.18．（2023春·河南洛陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）已知平行四邊形中，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，與交于點(diǎn)M，，設(shè)，且．(1)用表示；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求得答案；（2）求得，,根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】（1）由題意得，，故；（2）為向量和的夾角，且,而，所以,同理,，,而，所以.19．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求角的大?。?2)若邊，邊的中點(diǎn)為，求中線長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)(2).【分析】（1）由余弦定理結(jié)合正弦定理，可得出角的正切即可求出角；（2）由，結(jié)合正弦定理應(yīng)用輔助角公式，根據(jù)銳角三角形中角的范圍，即可應(yīng)用三角函數(shù)值域求出范圍【詳解】（1）由余弦定理得，即，由正弦定理得，，即，.（2）由余弦定理得：，則.由正弦定理得所以，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，即，則.中線長(zhǎng)的取值范圍是.20．（2023·廣東深圳·校考二模）記的內(nèi)角A?B?C的對(duì)邊分別為a?b?c，已知.(1)證明：；(2)若角B的平分線交AC于點(diǎn)D，且，，求的面積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用余弦定理結(jié)合條件即得；（2）利用余弦定理結(jié)合條件可得，然后利用角平分線定理及余弦定理即得.【詳解】（1）由正弦定理得：所以可化為,因?yàn)?，所以所以，所以，即，所以；（2）角B的平分線交AC于點(diǎn)D，且，,由角平分線定理可得，,,又，由余弦定理得：，，在中，由余弦定理得：，所以.所以.21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知在等腰中，，．(1)；(2)若點(diǎn)是外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，為圓心，求的取值范圍．【答案】(1)2(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由平面向量的數(shù)量積的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，將轉(zhuǎn)化為，然后結(jié)合數(shù)量積的定義，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】（1）等腰中，，，則，.（2）

等腰中，，，點(diǎn)是外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，為圓心，，設(shè)，，，，，最大值為，最小值為．故的取值范圍：.22．（2023·上海松