大學(xué)《微積分》課件5 定積分的應(yīng)用z

§6.7定積分的應(yīng)用三、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題舉例二、旋轉(zhuǎn)體的體積一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積

定積分的幾何意義

由連續(xù)曲線y=f(x)與直線x=a、x=b(a<b)、

x軸所圍成的平面圖形的面積S為1、公式一：解:如圖所示=2(1-1/e)

解

設(shè)橢圓在第一象限的面積為S1

則橢圓的面積為S

4S1

例2.例3.解:于是例4.解:則求平面圖形面積的步驟:1畫草圖,求交點(diǎn).2確定積分變量，確定積分區(qū)間.原則：盡量少分割圖形3確定被積函數(shù)若以為積分變量，則用上邊界減下邊界；若以為積分變量，則用右邊界減左邊界.4求定積分，計(jì)算面積.練習(xí)：求由xy=1,y=x,x=2及

x軸圍成的圖形的面積.二、旋轉(zhuǎn)體的體積

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.

這條直線叫做旋轉(zhuǎn)軸.

圓柱圓錐圓臺(tái)任取x

[a,b]，在[a,b]上選取小區(qū)間[x,x+dx].0xyay=f(x)bxx+dx設(shè)想過x點(diǎn)及x+dx點(diǎn)而垂直于x軸切下厚度為dx的薄片,由于dx很小,則該薄片的體積可近似于一個(gè)以

f2(x)為底，以dx為高的圓柱體的體積.

旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線y

f(x)、直線x

a、x

b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.

繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積微元例5.

連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)P(h,

r)的直線、直線x

h及x軸圍成一個(gè)直角三角形.

將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為h的圓錐體.

計(jì)算這圓錐體的體積.

解:

繞x軸旋轉(zhuǎn)：

繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積

橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積為

解

轉(zhuǎn)體的體積

例6.例7.計(jì)算由曲線y=x2

與x=y2

所圍成的平面圖形繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積.解：如圖所示：V2V11y=x31y1xy=x31練習(xí)：求下列旋轉(zhuǎn)體的體積柱殼法——三、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題舉例1、已知總量的變化率求總量的改變量已知某產(chǎn)品的總產(chǎn)量

的變化率是

,則從到

這段時(shí)間內(nèi)的產(chǎn)量為：

例8

設(shè)某產(chǎn)品在時(shí)刻t總產(chǎn)量的變化率為f(t)

100

12t

0.6t2(單位/小時(shí))

求從t

2到t

4這兩小時(shí)的總產(chǎn)量

解：

設(shè)總產(chǎn)量為P(t)

則t

2到t

4這兩小時(shí)的總產(chǎn)量為2、已知邊際函數(shù)求總量函數(shù)▲已知邊際成本

，求總成本C(x):移項(xiàng)，得▲

已知邊際收益

，求總收益R(x):移項(xiàng)，得又

R(0)=0,得固定成本解：總成本總收入利潤(rùn)由故知：當(dāng)

q=5時(shí)，利潤(rùn)有唯一的極大值，即最大利潤(rùn)為L(zhǎng)(5)=30.5(萬元).例9.某產(chǎn)品生產(chǎn)q噸產(chǎn)品的邊際成本為固定成本為2萬元，又邊際收入為試求利潤(rùn)函數(shù)與最大利潤(rùn).練習(xí)：

設(shè)某種商品每天生產(chǎn)x單位時(shí)固定成本為20元

邊際成本函數(shù)為C

(x)

0.4x

2(元/單位)

求總成本函數(shù)C(x)

如果這種商品規(guī)定的銷售單價(jià)為18元

且產(chǎn)品可以全部售出

求總利潤(rùn)函數(shù)