八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元題型精練（基礎(chǔ)題型+強(qiáng)化題型）（北師大版）：最短路徑模型（強(qiáng)化）（解析版）

專題1.4最短路徑模型1．如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)是24，高是5，一只在點(diǎn)的螞蟻想吃到點(diǎn)的食物，沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑是13．【解答】解：展開(kāi)圓柱的半個(gè)側(cè)面是矩形，矩形的長(zhǎng)是圓柱的底面周長(zhǎng)的一半，即為12，矩形的寬是圓柱的高5．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，知最短路程是矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)，即，故答案為：13．2．如圖，長(zhǎng)方體的高為，底面是正方形且邊長(zhǎng)為，現(xiàn)有一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面到達(dá)點(diǎn)，螞蟻行走的最短路程為5．【解答】解：如圖1所示，，如圖2所示，，，它爬行的最短路程為．故答案為：5．3．如圖，長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)為5，寬為4，高為3．在頂點(diǎn)處有一滴蜂蜜，一只螞蟻在頂點(diǎn)處，要沿著長(zhǎng)方體盒子的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要爬行的最短距離是．【解答】解：第一種情況：如圖1，把我們所看到的前面和右面組成一個(gè)平面，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是9和3，則所走的最短線段；第二種情況：如圖2，把我們看到的左面與底面組成一個(gè)長(zhǎng)方形，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是23和10，所以走的最短線段；第三種情況：如圖3，把我們所看到的前面和底面組成一個(gè)長(zhǎng)方形，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是15和18，所以走的最短線段；三種情況比較而言，第三種情況最短．故答案為：．4．如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為，是底面圓的直徑，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，且，．一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)最短路程是．A．17 B．16 C．15 D．13【解答】解：如圖所示，圓柱的底面周長(zhǎng)為，．，，在中，．故選：．5．如圖，矩形為圓柱體的橫截面，是上底的直徑，其中為，底面圓周長(zhǎng)為，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)，則爬行的最短路程是A． B． C． D．【解答】解：底面周長(zhǎng)為，半圓弧長(zhǎng)為，畫展開(kāi)圖形如下：由題意得：，，根據(jù)勾股定理得：．故選：．6．如圖，圓柱形玻璃杯，高為，底面周長(zhǎng)為．在杯內(nèi)離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為．A．15 B． C．12 D．18【解答】解：如圖所示，將圓柱沿過(guò)的母線剪開(kāi)，由題意可知，需在杯口所在的直線上找一點(diǎn)，使最小，故先作出關(guān)于杯口所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接與杯口的交點(diǎn)即為，此時(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即可得到此時(shí)最小，并且最小值為的長(zhǎng)度，如圖所示，延長(zhǎng)過(guò)的母線，過(guò)作垂直于此母線于，由題意可知，，，由勾股定理得：，故螞效到達(dá)蜂蜜的最短距離為，故選：．7．如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為，底面周長(zhǎng)為，在容器內(nèi)壁離容器底部的點(diǎn)處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿的點(diǎn)處，則該螞蟻要吃到飯粒需爬行的最短路徑長(zhǎng)是A． B． C． D．【解答】解：如圖：高為，底面周長(zhǎng)為，在容器內(nèi)壁離容器底部的點(diǎn)處有一飯粒，此時(shí)螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿與飯粒相對(duì)的點(diǎn)處，，，將容器側(cè)面展開(kāi)，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則即為最短距離，．故選：．8．如圖，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿棱柱外表面到點(diǎn)處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)是A． B． C． D．【解答】解：當(dāng)沿著平面、平面爬行時(shí)，如圖所示，，當(dāng)沿著平面、平面爬行時(shí)，，因?yàn)?，所以螞蟻需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)是，故選：．9．如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是6、3、5，一只螞蟻要從點(diǎn)爬行到點(diǎn)，則爬行的最短距離是A． B． C．10 D．【解答】解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個(gè)平面，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是8和6，則所走的最短線段是；第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個(gè)長(zhǎng)方形，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是11和3，所以走的最短線段是；第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個(gè)長(zhǎng)方形，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是9和5，所以走的最短線段是；，三種情況比較而言，第一種情況最短，最短路程，故選：．10．葛藤是一種多年生草本植物，為獲得更多的雨露和陽(yáng)光，其常繞著附近的樹(shù)干沿最短路線盤旋而上．現(xiàn)有一段葛藤繞樹(shù)干盤旋2圈升高為，如果把樹(shù)干看成圓柱體，其底面周長(zhǎng)是，如圖是葛藤盤旋1圈的示意圖，則這段葛藤的長(zhǎng)是．A．1.3 B．2.5 C．2.6 D．2.8【解答】解：葛藤繞樹(shù)干盤旋2圈升高為，葛藤繞樹(shù)干盤旋1圈升高為，如圖所示：．這段葛藤的長(zhǎng)．故選：．11．如圖，在長(zhǎng)為3，寬為2，高為1的長(zhǎng)方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)出發(fā)沿著長(zhǎng)方體的表面爬行到頂點(diǎn)，那么它爬行的最短路程是A． B． C． D．【解答】解：因?yàn)槠矫嬲归_(kāi)圖不唯一，故分情況分別計(jì)算，進(jìn)行大、小比較，再?gòu)母鱾€(gè)路線中確定最短的路線．（1）展開(kāi)前面右面由勾股定理得；（2）展開(kāi)前面上面由勾股定理得；（3）展開(kāi)左面上面由勾股定理得．所以最短路徑的長(zhǎng)為．故選：．12．如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為3，寬為2，高為4，點(diǎn)離點(diǎn)的距離為1，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要爬行的最短路程是A． B．5 C． D．【解答】解：只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖長(zhǎng)方體的寬為2，高為4，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是1，；只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖長(zhǎng)方體的寬為2，高為4，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是1，；只要把長(zhǎng)方體的上表面剪開(kāi)與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖長(zhǎng)方體的寬為2，高為4，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是1，；，螞蟻爬行的最短距離是5．故選：．13．如圖，圓柱的底面半徑為，是底面圓的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)的最短距離是A． B． C． D．【解答】解：側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示：圓柱的底面半徑為，圓柱的底面周長(zhǎng)為，．在中，．故選：．14．如圖，三級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為、、．和是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)處有一只螞蟻，想到點(diǎn)處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)的最短路程為A．15 B．17 C．20 D．25【解答】解：三級(jí)臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為，寬為，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)．可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到點(diǎn)最短路程為，由勾股定理得：，解得．故選：．15．如圖，長(zhǎng)方體長(zhǎng)為8，寬為10，高為6，已知點(diǎn)與點(diǎn)距離為2，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要爬行的最短距離是．【解答】解：如圖（1）；（2）；（3）．，需要爬行的最短距離是，故答案為：．16．如圖，一個(gè)正方體木箱子右邊連接一個(gè)正方形木板，甲螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿，，三個(gè)面走最短路徑到點(diǎn)；同時(shí)，乙螞蟻以相同的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿，兩個(gè)面走最短路徑到點(diǎn)．請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算判斷哪只螞蟻先到達(dá)目的地？【解答】解析展開(kāi)，，與在同一平面內(nèi)，如圖所示．由題意可知，甲螞蟻?zhàn)叩穆窂綖?，．乙螞蟻?zhàn)叩穆窂綖?，．因?yàn)?，所以，故乙螞蟻先到達(dá)目的地．17．如圖，圓柱形容器的高為，底面周長(zhǎng)為，在容器內(nèi)壁離容器底部的點(diǎn)處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿與蚊子相對(duì)的點(diǎn)處，求壁虎捕捉蚊子的最短距離．【解答】解：如圖，將容器側(cè)面展開(kāi)，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，則即為最短距離．高為，底面周長(zhǎng)為，在容器內(nèi)壁離容器底部的點(diǎn)處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿與蚊子相對(duì)的點(diǎn)處，，，在直角△中，．故壁虎捕捉蚊子的最短距離為．18．如圖所示是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別等于、、，和是這兩個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，則一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過(guò)臺(tái)階爬到點(diǎn)的最短路線有多長(zhǎng)？【解答】解：將臺(tái)階展開(kāi)，如下圖，因?yàn)?，，所以，所以，所以螞蟻爬行的最短線路為．答：螞蟻爬行的最短線路為．19．如圖，是放在地面上的一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方形盒子，長(zhǎng)、寬、高分別是，，．一只螞蟻想從盒底的點(diǎn)沿盒的表面爬到盒頂?shù)狞c(diǎn)，你能幫螞蟻設(shè)計(jì)一條最短的路線嗎？螞蟻要爬行的最短行程是多少？【解答】解：（1）如圖1所示：，如圖2所示：．，螞蟻沿著正面和右面爬行即可；螞蟻爬行的最短路程是．20．（1）如圖1，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為，寬為，高為．求該長(zhǎng)方體中能放入木棒的最大長(zhǎng)度；（2）如圖2，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為，寬為，高為．現(xiàn)有一只螞蟻從點(diǎn)處沿長(zhǎng)方體的表面爬到點(diǎn)處，求它爬行的最短路程．（3）若將題中的長(zhǎng)方體換成透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為，底面周長(zhǎng)為，在容器內(nèi)壁離底部的點(diǎn)處有一飯粒，此時(shí)