2022年廣西玉林市高考理科數(shù)學(xué)二模試卷及答案解析

2022年廣西玉林市高考理科數(shù)學(xué)二模試卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合A={x€N|2x-7W0},B={x\x1-2x-3<0},則AC8=（）

7

A.{x|0VxW3}B.{0,1,2,3}C.{x|-1<%<^}D.{1,2,3}

2.（5分）復(fù)數(shù)z=N（i為虛數(shù)單位）的虛部是（）

3113

A.B.-iC.-D.

5555

3（5分）己知偶函數(shù)g（x）在（0,+oo）上是減函數(shù)，若a=g（-log26.1）,b—g（20,7）,

c=g（3）,貝Um兒c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.c>h>aC.h>a>cD.h>c>a

4.（5分）2020年，受新冠肺炎疫情的影響，在全國的許多地方都采取了在家線上學(xué)習(xí)的方

式，此種方式對學(xué)生的自制力、自覺性有極高的要求.某校某學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究“學(xué)生

線上學(xué)習(xí)時智能手機對學(xué)習(xí)成績的影響”，得到了如下樣本數(shù)據(jù)：

不使用使用合計

優(yōu)秀8412

不優(yōu)秀21618

合計102030

2

附：K2=（a+M黑溫）（b+d”n=a+b+c+d-

P（犬詼）0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列說法中正確的是（）

A.有99.5%的把握認為中學(xué)生使用手機對學(xué)習(xí)無影響

B.有99.5%的把握認為中學(xué)生使用手機對學(xué)習(xí)有影響

C.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為中學(xué)生使用手機對學(xué)習(xí)無影響

D.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為中學(xué)生使用手機對學(xué)習(xí)有影響

5.（5分）函數(shù)/（X）=一%s譏x的大致圖象可能是（）

第1頁共25頁

y

6.（5分）某校迎新晚會上有6個節(jié)目，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目

甲必須排在第三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起，則該校迎新晚會節(jié)目演出順序的編排

方案共有（）

A.36種B.48種C.72種D.120種

7.（5分）等差數(shù)列｛劭｝的前〃項和為S,”當(dāng)首項m和公差〃變化時，〃3+制+〃10是一個定

值，則下列選項中為定值的是（）

A.SiB.SsC.Si3D.S15

8.（5分）已知函數(shù)），=國稱為高斯函數(shù)，其中㈤表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，執(zhí)行如圖

程序框圖，則輸出的S值為（）

A.42B.43C.44D.45

第2頁共25頁

9.（5分）已知點P是邊長為2的正三角形A8C所在平面上一點，滿足PCXPA+PB）=0,

則I而I的最小值是（）

10.（5分）圓C：（x+2）2+（y-3）2=1上一動點M,拋物線＞2=8x上一動點N（刈，和），

則xo+|MN|的最小值為（）

A.2V5-1B.2C.3D.4

11.（5分）已知關(guān)于x的方程x-/〃“=2/〃國有三個不等的實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍是

（）

A.（嚴，+oo）B.Qe2/+oo）C.（e,+°°）D.（e2,+°°）

12.（5分）已知正方體ABC。-A1BC1O1的棱長為m點E,F,G分別為棱AB,AA”C\D\

的中點，下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（）

①過E,F,G三點作正方體的截面，所得截面為正六邊形.

②用。1〃平面EFG.

③異面直線EF與BD\所成角的正切值為位.

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卷的橫線上，

13.（5分）正項等比數(shù)列｛%｝中，s=l,06＞記為｛斯｝的前〃項和.若品產(chǎn)127,

則m=.

14.（5分）如圖所示，在邊長為1的正方形。4BC中任取一點P,則點尸恰好取自陰影部

分（由對角線OB及函數(shù)y=f圍成）的概率為.

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15.（5分）已知尸為球0球面上一點，點M滿足。、=2詁，過點M與0P成30°的平

面截球。，截面的面積為16m則球。的表面積為.

16.（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線/：y=fcc+8上存在點P,過點尸作圓O：

/+9=4的切線，切點分別為A（XI，＞?!）,B（X2,”），且xiX2+yi”=-2,則實數(shù)k的

取值范圍為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考

題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：

共60分。

17.（12分）ZVIBC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知函數(shù)/（%）=sin（2x+尹）（0＜（p＜

*）的一條對稱軸為x=看，且/'（A）=

（1）求A的值；

（2）若a=2,求BC邊上的高的最大值.

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18.（12分）為了了解游客對景區(qū)的滿意度，市旅游部門隨機對景區(qū)的100名游客進行問卷

調(diào)查（滿分100分），這100名游客的評分分別落在區(qū)間[50,60）,[60,70）,[70,80）,

[80,90）,[90,100]內(nèi)，且游客之間的評分情況相互獨立，得到統(tǒng)計結(jié)果如頻率分布直

方圖所示.

（1）求這100名游客評分的平均值（同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間數(shù)據(jù)的中點值為代表）；

（2）視頻率為概率，規(guī)定評分不低于80分為滿意，低于80分為不滿意，記游客不滿意

的概率為p.

①若從游客中隨機抽取，"人，記這，"人對景區(qū)都滿意的概率為物”求數(shù)列｛〃,"｝的前4

項和；②為了提高游客的滿意度，市旅游部門對景區(qū)設(shè)施進行了改進，游客人數(shù)明顯增

多，旅游部門隨機抽取了3名游客進行了繼續(xù)旅游的意愿調(diào)查，若不再去旅游記-1分，

繼續(xù)去旅游記1分，假設(shè)每位游客有繼續(xù)旅游意愿的概率均為p,記調(diào)查總得分為X,求

X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

八組距

0.026

0.024

藐06()60100左責(zé)/分

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19.（12分）如圖，三棱錐S-ABC中，底面48c和側(cè)面SBC都是等邊三角形，BC=2,

SA=V6.

（1）若P點是線段S4的中點，求證：平面P8C；

（2）點。在線段SA上且滿足AQ=/1S,求8。與平面SAC所成角的正弦值.

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20.（12分）己知橢圓C：—+^-=1（a>fe>0）經(jīng)過一點（1,芋），左、右焦點分別為

F\,Fi，P是橢圓上一動點，當(dāng)尸放垂直于x軸時，|P&I另.

（1）求橢圓C的標(biāo)準方程.

（2）過點Q,斜率為后的直線/交橢圓于A,8兩點，且N408為鈍角（。為坐標(biāo)原點），

求左的取值范圍.

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21.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx+^—4x-a(?GR).

(1)當(dāng)4=-3時，求/(x)的極值.

(2)若對任意x>l,都有/G)+4x+l>l恒成立，求整數(shù)。的最大值.

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［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為為參數(shù)).以

廣-2+多

坐標(biāo)原點。為極點，X軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為pcose

=2atan0(a>0).

(1)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程.

(2)設(shè)P(-4,-2),直線/與曲線C相交于M,N兩點，若|PM，|MN|，|尸加成等比

數(shù)列，求實數(shù)。的值.

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［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)f(x)=|x-4|+k+3|.

(1)求不等式/(x)212的解集；

(2)若關(guān)于x的不等式/Q)-(31-3。+220恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

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2022年廣西玉林市高考理科數(shù)學(xué)二模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合4={淤1>13-7W0},8={川/-2x-3W0},則4CB=()

7

A."|0Vx<3}B.{0,1,2,3}C.{x|-1<%<^}D.{1,2,3}

7

解：Vi4={xe/V|x<^}={0,L2,3},5={x|-l?},

???AnB={0,1,2,3}.

故選：B.

2.(5分)復(fù)數(shù)Z=y1第(i為虛數(shù)單位)的虛部是()

3113

A.-niB.-iC.-D.一卷

5555

砧z_2i_2i(l+3i)_3^1.

解：-~(l-30(l+3i)-+

**.z的虛部是，，

故選：C.

3.(5分)已知偶函數(shù)g(x)在(0,+°°)上是減函數(shù)，若a=g(-log26.1),b=g(20,7),

c=g(3),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.c>h>aC.h>a>cD.h>c>a

解：因為偶函數(shù)g(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，

又log26.1€(2,3),2076(0,1),

a=g(-log26.1)=g(log26.1),b=g(20-7),c=g(3),

則3>log26.1>20-7,

所以g(3)<g(log26.1)<g(2%,

則c<a<b.

故選：C.

4.(5分)2020年，受新冠肺炎疫情的影響，在全國的許多地方都采取了在家線上學(xué)習(xí)的方

式，此種方式對學(xué)生的自制力、自覺性有極高的要求.某校某學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究“學(xué)生

線上學(xué)習(xí)時智能手機對學(xué)習(xí)成績的影響”，得到了如下樣本數(shù)據(jù)：

第11頁共25頁

不使用使用合計

優(yōu)秀8412

不優(yōu)秀21618

合計102030

2

附：H=(a+b)(L)(a+)c)(b+d)，n=a+b+c+d.

P（犬2用）0.100.050.0250.0100.0050.001

如2.7063.8415.0246.6357.87910,828

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列說法中正確的是（）

A.有99.5%的把握認為中學(xué)生使用手機對學(xué)習(xí)無影響

B.有99.5%的把握認為中學(xué)生使用手機對學(xué)習(xí)有影響

C.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為中學(xué)生使用手機對學(xué)習(xí)無影響

D.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為中學(xué)生使用手機對學(xué)習(xí)有影響

2

解：由題意可得：片=%等需緇-=10>7.879；

1UXZUX1ZX1O

故在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，有99.5%的把握認為中學(xué)生使用手機對學(xué)習(xí)有

影響.

故選：B.

5.（5分）函數(shù)/（x）=一百譏x的大致圖象可能是（）

C.

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解：y(-x)=i,v2-(-x)sin(-x)=2工2-xsinx=/(x),

則/(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，排除A,B,

TC17Tyr71171Tl..

f(-)=4x(-)2-^xsin-=-x-(--1)<0,排除D,

J62666266

故選：C.

6.(5分)某校迎新晚會上有6個節(jié)目，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目

甲必須排在第三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起，則該校迎新晚會節(jié)目演出順序的編排

方案共有()

A.36種B.48種C.72種D.120種

解：甲排在第三位，

此時丙丁相鄰的位置有3個，考慮兩者的順序，有2種情況，

將剩下的3個節(jié)目全排列，安排在其他三個位置，有A33=6種安排方法，

則此時有3X2X6=36種編排方法；

故選：A.

7.(5分)等差數(shù)列｛加｝的前〃項和為S”當(dāng)首項m和公差”變化時，。3+倘+00是一個定

值，則下列選項中為定值的是()

A.SiB.S8C.S13D.S15

解：由等差數(shù)列的通項公式可得：43+48+410=341+18d=3(671+6J)=3。7，

而513=13(。1金。13)=13&7為一個定值，

故選：C.

8.(5分)已知函數(shù)、=團稱為高斯函數(shù)，其中印表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，執(zhí)行如圖

程序框圖，則輸出的S值為()

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解：當(dāng)0V/V3時，log3i=0;

3WiV9時，log3i=l；

9這i<27時,log3i=2；

i=27時，log3i=3,

所以5=6X1+18X2+3=45.

故選：D.

9.（5分）已知點P是邊長為2的正三角形ABC所在平面上一點，滿足而?（屬1+而）=0,

則|而|的最小值是（）

V5-V2<2-1V7-V3

A.------B.-----C.1D.------

222

解：根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則點A(0,V3),8(-1,0),C(1,0),

設(shè)點P(x,y),PA=(-x,>/3—y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y),

第14頁共25頁

PA+PB=(-1-2x,V3-2y),

PC<PA+PB)=(1-x)(-1-2x)-y(V3-2y)=0,

可轉(zhuǎn)化為(x-1)2+(y-普)2=I，

所以點P的軌跡是以例(7,—)為圓心，口厚為半徑的圓,

所以I病I的最小值是：

\PB\min=\BM\-r=j(-l-1)2+(0-^)2-f=與回

故選：D.

A

0cX

10.（5分）圓C：（x+2）2+（y-3）2=1上一動點M,拋物線y2=8x上一動點N（X0,為）,

則xo+|MM的最小值為（）

A.2V5-1

解：由題意可知圓C的圓心（-2,3）,半徑為r=l,

由拋物線的方程可得，焦點尸（2,0）,所以準線方程x=-2,

由拋物線的性質(zhì)，到焦點的距離等于到準線的距離，

\NF\=xo+2,所以xo=|NF|-2,

所以x（）+|MN|=WF|+|MN卜2,

而附川冽CF|-\NF\-r=\CF\-|NF1-1,

所以xo+|MN]2|CF|-3,

而|CP='（2+2）2+32=5,

所以xo+|MN|的最小值5-3=2,

故選：B.

11.（5分）已知關(guān)于x的方程x-/w=2/mx|有三個不等的實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍是

第15頁共25頁

()

11

A.(,e，4-oo)B.Qu?,+oo)C.(e，+°°)D.(e2,+°°)

c%

解：Vx-Ina=2ln\x\=>lna=x-2ln\x\=x-lw?=ln—z,

x2

即a=/，

故關(guān)于x的方程x-/加=2加|x|有三個不等的實數(shù)根,即丫=。與方=聶有3個不同的交點，

令g(x)=||,(x20)

則/5)=也守，

；.x>2或xVO時，g'(x)>0原函數(shù)遞增，

0VxV2時，g'(x)VO原函數(shù)遞減，

又g(x)>0且極小值為g(2)=上，

故y=a與>=%有3個不同的交點時〃〉*?，

故選:B.

12.(5分)已知正方體ABC。-AIBICIOI的棱長為“，點E,F,G分別為棱AB,A4i，C1D1

的中點，下列結(jié)論中正確的個數(shù)是()

①過E,F,G三點作正方體的截面，所得截面為正六邊形.

②平面EFG.

③異面直線EF與BDi所成角的正切值為VL

④四面體ACBIDI的體積等于工.

A.1B.2C.3D.4

解：延長EF分別與Bi4，B18的延長線交于N,Q,連接GN交4。于H,

設(shè)4G與B\C\的延長線交于P,連接PQ交CCi于/,交5c于

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連FH,HG,GI,IM,ME,則截面六邊形EF//G/M為正六邊形，故①正確;

8|￡>1與HG相交，故81。與平面EFG相交，所以②不正確；

取AD\的中點K,連接FK,EK,則KE//BD\,

所以NKEF就是異面直線EF與BQi的夾角，

設(shè)正方體的棱長為2,可得：FK=\,FE=V2,KE=V3,

所以△KEF是直角三角形，可得tan/KE/三孝.

可得異面直線EF與BD\的夾角的正切值為半，故③錯誤；

四面體ACB\D\的體積等于正方體的體積減去四個正三棱錐的體積，

即為_4X=1（3,故④正確.

故選：B.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卷的橫線上，

13.（5分）正項等比數(shù)列｛〃”｝中，ai=l,“6=4.4,記S為｛?,｝的前"項和.若S”=127,

貝I]m—7.

解：根據(jù)題意，設(shè)正項等比數(shù)列｛如｝的公比為,則q>0,

若〃6=4〃4，即/=4,解可得4=2,

S”=127,即Sm=。葉二；）=2'"-1=127,

解可得m=l,

故答案為：7.

14.（5分）如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P,則點尸恰好取自陰影部

分（由對角線08及函數(shù)y=/圍成）的概率為

4

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解：根據(jù)題意，正方形OABC的邊長為1,則其面積S=l,

陰影部分的面積S'（x-?）dx=|J=1,

則點尸恰好取自陰影部分的概率P=p

,,…,1

故答案為：—.

4

15.（5分）已知P為球。球面上一點，點M滿足血=2詁，過點M與0P成30°的平

面截球O,截面的面積為16n,則球O的表面積為72n.

解：如圖，設(shè)截面為圓Oi，依題意，/OMOi=30°,設(shè)OOi=/z,貝ij0M=2/z,

又向=2MP,則0P=3h,即球。的半徑為3/?,則0N=3h,

因為截面的面積為16TT,故兀?（。/）2=16兀，解得0}N=4,

在Rt^OOiN中，由勾股定理有（3〃）2=/?2+16,解得％=

所以球。的半徑為3VL則其表面積為47r-（3V2）2=727r.

故答案為：72n.

16.（5分）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，已知直線/：y=fcr+8上存在點P,過點尸作圓0：

f+y2=4的切線，切點分別為A（XI，yi）,B（X2,"），且X|X2+yi）'2=-2,則實數(shù)Z的

取值范圍為（-8,一次］“8，+8）.

解：根據(jù)題意，設(shè)NA0B=。，圓O：/+）2=4的圓心為（0,0）.半徑r=2；

又由A（xi，yi）、B（孫”），則辦=（X1，巾），0B=（必”），|&|=|辦|=r=2,

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OAOB-21

則COS0=—~三一=丁=一可

\OA\\OB\-/

又由0°wewi80°,則e=i20°,

則NAQP=60°，則有|OP|=2|OA|=4,

若直線/：y=fci+8即履-y+8=0上存在點尸，必有。到直線/的距離d<4,

8

即工<4,解可得心尚或右-國,

則實數(shù)4的取值范圍為(-8,-V3]U[V3,+8),

故答案為：(-00,—V3]U[V3>+°°).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考

題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：

共60分。

17.(12分)△A8C的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,匕,c,已知函數(shù)/(x)=sin(2x+<p)(0<ip<

芻的一條對稱軸為廣名且f(A)=|.

(1)求A的值；

(2)若a=2,求BC邊上的高的最大值.

解：(1),函數(shù)/(x)=sin(2x+(p)(OVcpV.)一條對稱軸為x=*

7TTV7TTTTT

??./(&)=sin(2'6+叩)=±1,+(P=^TT+2，，(p=/m+g,kEZ,

???OVcpVa，*,?(p=f(x)=sin(級+小),

rr\

：.f(A)=sin(2A+京)VA6(0,IT),

第19頁共25頁

?。.I7T57r?.TT

??2A+d=-g-,??A=w?

(2)由余弦定理得：4=?+2-2bccosA22bc-bc=bc,當(dāng)且僅當(dāng)6=c時取等號,

11TC/一

:?bc〈A,又S^ABC=abcsinAW2、4義sin-=y3

△ABC的面積最大值為

故對應(yīng)高的最大值為：-=V3.

2X2

18.(12分)為了了解游客對景區(qū)的滿意度，市旅游部門隨機對景區(qū)的100名游客進行問卷

調(diào)查(滿分分0分),這100名游客的評分分別落在區(qū)間[50,60),[60,70),[70,80),

[80,90),[90,100]內(nèi)，且游客之間的評分情況相互獨立，得到統(tǒng)計結(jié)果如頻率分布直

方圖所示.

(1)求這100名游客評分的平均值(同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間數(shù)據(jù)的中點值為代表)；

(2)視頻率為概率，規(guī)定評分不低于80分為滿意，低于80分為不滿意，記游客不滿意

的概率為p.

①若從游客中隨機抽取，〃人，記這，“人對景區(qū)都滿意的概率為m”求數(shù)列｛的,｝的前4

項和；②為了提高游客的滿意度，市旅游部門對景區(qū)設(shè)施進行了改進，游客人數(shù)明顯增

多，旅游部門隨機抽取了3名游客進行了繼續(xù)旅游的意愿調(diào)查，若不再去旅游記-1分,

繼續(xù)去旅游記1分，假設(shè)每位游客有繼續(xù)旅游意愿的概率均為p,記調(diào)查總得分為X,求

X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

55X0.01+65X0.24+75X0.35+85X0.26+95X0.14=77.8.

(2)①由題意得游客不滿意的概率為：

3

P=(0.001+0.024+0.035)X10=0.6=

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Q2

?,?而=(1-辨=(7〃'，

J□

,_、1《)5406

，數(shù)列｛麗｝的刖4項和為：----=.

1飛625

②由題意X的可能取值為-3,-1,1,3,

P(X=-3)=?3=運,

P(X=7)=C式|)2。)=需，

P(X=1)=盤(|)鼾假，

P(X=3)=(|)3=品

.?.X的分布列為：

X-3-113

P8365427

125125125125

o[ACA272

?**E(X)=(-3)x,彳+(―1)x彳+1xTnr4-3x誦匕—F.

19.(12分)如圖，三棱錐S-A8C中，底面A8C和側(cè)面S8C都是等邊三角形，BC=2,

SA=V6.

(1)若尸點是線段SA的中點，求證：SA，平面PBC；

(2)點。在線段SA上且滿足AQ=%S,求BQ與平面SAC所成角的正弦值.

A

(1)證明：因為aABC和aSBC均為正三角形，

所以AB=BC=4C,SB=BC=SC,

所以48=BC=SB,AC=BC=SC,即△ABC和AACS為等腰三角形,

因為P為AS中點，所以8PLs4,CP±SA,

又因為P8nPC=P,所以SA_L平面PBC；

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(2)解：取BC中點0,連接40、SO,則A0±BC,S0±BS,AO=AB?sinNOBA=2sin60°

=y/3=S0,

因為AS2=AC>2+SO2,所以AAOS為直角三角形，

因為/SOA=90°,所以AO_LS。，

故以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA為x軸，08為y軸，OS為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

則4(V3,0,0),C(0,-1,0),S(0,0,遮)，B(0,1,0),

TTTTfQT

CA=(V3,1,0),CS=(0,1,呵,AS=(一%,0,遮),僅=(一￡,0,￡),B4=

(V3,-1,0),BQ=BA+AQ=,-1,亭)，

設(shè)平面SAC的一個法向量為n=(x,y,z),

；日=0,即愣意I：不妨令I(lǐng)則尸一后z=L

則

n-CS=0

所以九=(L-y/3,1),

TT

攀+同字3710

所以cos<n，BQ>="B&-

芯X4To

經(jīng)過一點(1,坐)，左、右焦點分別為

20.

Fl,Fi,P是橢圓上一動點，當(dāng)PF2垂直于x軸時，尸尸2|=發(fā)

(1)求橢圓C的標(biāo)準方程.

(2)過點尸i，斜率為A的直線/交橢圓于A,B兩點，且NAOB為鈍角(。為坐標(biāo)原點),

求&的取值范圍.

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l4二

+1

一=

戶

2al

解：(1)根據(jù)題意可得＜C2

混+i1

一

一

2b

a2=2h+C

解得〃=2,b=l,c=V3,

所以橢圓的方程為手+/=1.

4

(2)由(1)得Fi(-V3,0),則直線/的方程為＞=左(x+V3),設(shè)A(制，yi),B(如

”），

y=k（x+V3）

聯(lián)立丫2，得（1+4F）x+88FX+12F-4=0,

4+y2=i

所以△=（8V3）2-4（1+4必）（12必-4）=9+1>0成立,

則XI，X2為方程的兩個根,

所以R+X2=—嚼’12必-4

X1X2=

l+4/c

因為/AOB為鈍角,

所以易?余＜0,且％#0,

所以—x\X2+y\y2=x\X2+!c（xi+V3）（X2+V3）

=（必+1）X1X2+8F（X1+X2）+3S

12k2-4+--”必

=（必+1）

l+4fc2

（d+1）（12d-4）24k4

+3必<0,即11^<4,

4fc2+l4/+1

所以一答霧，且上W0,

所以k的取值范圍為(一袈，0)U2VH）

（0,

11,

21.（12分）已知函數(shù)/（X）=lnx+^—4x-a（aGR）.

(1)當(dāng)〃=-3時，求/(%)的極值.

(2)若對任意x＞l,都有f(x)+4x+l＞平恒成立，求整數(shù)a的最大值.

□

解：(1)當(dāng)a=-3時，/(x)=/nx-：-4x+3,定義域為(0,+°0),

f(x)=1+、-4=(4X+32(A1),令/a)=o,可得》=1.

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列表:

X(0,1)1(1,+°°)

fa)+0-

/(X)增函數(shù)極大值減函數(shù)

所以，函數(shù)f(x)的極大值為/(I)=-4,無極小值.

(2)f(x)+4x+l?—―,即HX—a+1,x>1,

Jx/+—XX

分離參數(shù)可得a<""+?一1，令g(x)=型”號二1,

則/(工)-("％+3)(x—1)一(工伍工+2x-1)_一m%+x-2

'gX_(x-1)2(x-1)2

令/1(》)=-.+廠2,//'(尤)=-9+1=9>0，

所以〃(X)在(1,+8)上單調(diào)