2022年解析華東師大版八年級數(shù)學(xué)下冊第十九章矩形、菱形與正方形定向測評試題

八年級數(shù)學(xué)下冊第十九章矩形、菱形與正方形定向測評

考試時(shí)間：90分鐘；命題人：數(shù)學(xué)教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘

2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上

3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新

的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。

第I卷（選擇題30分）

一、單選題（10小題，每小題3分，共計(jì)30分）

1、如圖，點(diǎn)E在邊長為5的正方形A8CD的邊CQ上，將出繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到的位

置，連接EF,過點(diǎn)A作正的垂線，垂足為點(diǎn)”，與5c交于點(diǎn)G.若CG=2,則CE的長為（）

9

C.4D.-

2

2、順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是（）

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

3、已知在平行四邊形46切中，ZJ=90°,如果添加一個(gè)條件，可使該四邊形是正方形，那么這個(gè)

條件可以是（）

A.Ng90°B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CD

4、將一長方形紙條按如圖所示折疊，N2=55。，則4=（)

A.55°B.70°C.110°D.60°

5、下列四個(gè)命題中，真命題是（）

A.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.以一條對角線為對稱軸的四邊形是菱形

D.對角線相等的四邊形是矩形

6、在菱形4池中，對角線劭相交于點(diǎn)0,AB=5,AC=6,過點(diǎn)〃作/C的平行線交比的延長

線于點(diǎn)￡，則△6〃￡的面積為（）

D.44

7、如圖，以。為圓心，Q4長為半徑畫弧別交。河、ON于/、6兩點(diǎn)，再分別以4、6為圓心，以。4

長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)G分別連接AC、BC,則四邊形。4c8一定是（）

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

8、如圖，邊長為1的正方形力自力繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形48心〃，邊6心與切交于點(diǎn)

0,則四邊形48”〃的周長是（）

A.五B.2a1+V2

9、下列四個(gè)命題中，正確的是（

A.對角線相等的四邊形是矩形有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形

C.兩組對邊分別相等的四邊形是矩形D.四個(gè)角都相等的四邊形是矩形

10、如圖，矩形/版的對角線/C和曲相交于點(diǎn)0,若N4⑼=120°,AC=16,則的長為

第n卷（非選擇題70分）

二、填空題（10小題，每小題4分，共計(jì)40分）

1、如圖，正方形4靦中，AB=6,點(diǎn)6在邊口上，且8=3DE.將沿四對折至△AFE,延

長斯交邊比1于點(diǎn)G,連接/G、CF.則下列結(jié)論：①AABG絲”"；；②BG=CG；③AGHCF；④

S^FGC=2S△血；其中正確是______（填寫序號）

2、（1）有一個(gè)角是直角的是矩形.

幾何語言：

???四邊形45切是平行四邊形，/力=90°,

???四邊形4比、〃是矩形.

（2）相等的平行四邊形是矩形.

幾何語言：

四邊形5是平行四邊形，AC=BD?；騉A=OC=OB=OD）,

...四邊形46繆是矩形.

（3）有三個(gè)角是的四邊形是矩形.

幾何語言：

NA=NB=NC=90°,

二四邊形力8繆是矩形.

3、如圖，在一張矩形紙片力閱9中，18=30cm,將紙片對折后展開得到折痕跖點(diǎn)戶為a'邊上任意

一點(diǎn)，若將紙片沿著加折疊，使點(diǎn)。恰好落在線段跖的三等分點(diǎn)上，則回的長等于cm.

D

4、一個(gè)長方形的周長是22cm,若這個(gè)長方形的長減少2cm,寬增加3cm,就可以成為一個(gè)正方形,

則長方形的長是cm.

5、如圖，矩形4國力中，AC,初交于點(diǎn)0,必，1分別為6C,勿的中點(diǎn).若必華=4,則然的長為

6、如圖，〃'為正方形46繆的對角線，￡為〃'上一點(diǎn)，連接陽ED,當(dāng)N3E￡>=126。時(shí)，NED4的度

數(shù)為.

7、如圖所示，ABC。是長方形地面，長A8=16m,寬A￡)=9m,中間豎有一堵磚墻高M(jìn)V=lm.一只

螞蚱從B點(diǎn)爬到。點(diǎn)，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走m的路程.

8、將矩形紙片ABCD(ABVBC)沿過點(diǎn)6的直線折疊，使點(diǎn)4落在比邊上的點(diǎn)尸處，折痕為BE(如

圖1）；再沿過點(diǎn)￡■的直線折疊，使點(diǎn)〃落在瓦1上的點(diǎn)〃處，折痕為用（如圖2）：再展開紙片（如

圖3）,則圖3中/￡劣的大小是

圖1圖2圖3

9、在菱形ABC。中，ZA=60°,其所對的對角線長為2,則菱形ABC。的面積是

10、我們把寬與長的比為黃金比的矩形稱為黃金矩形，如圖，在黃金矩形ABC。中,

AB<BC,BC=2,ZABC的平分線交AD邊于點(diǎn)E,則DE的長為—

三、解答題（5小題，每小題6分，共計(jì)30分）

1、在長方形/靦中，46=4,BC=8,點(diǎn)只0為a'邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P位于點(diǎn)。的左側(cè)，P、Q

均不與頂點(diǎn)重合），PQ=2

⑴如圖①，若點(diǎn)￡為切邊上的中點(diǎn)，當(dāng)。移動(dòng)到比邊上的中點(diǎn)時(shí)，求證：AP=QE；

⑵如圖②，若點(diǎn)￡為切邊上的中點(diǎn)，在圖的移動(dòng)過程中，若四邊形心〃的周長最小時(shí)，求孤的

長；

（3）如圖③，若/、/V分別為力〃邊和切邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（必、/V均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)BP=3,且四邊

形必網(wǎng)”的周長最小時(shí)，求此時(shí)四邊形尸。慟的面積.

2、在正方形49中，點(diǎn)/在射線式1上(不與點(diǎn)反，重合)，連接DB,DE,將龐繞點(diǎn)￡逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90°得到跖，連接冊

(1)如圖1,點(diǎn)K在6C邊上.

①依題意補(bǔ)全圖1；

②若力6=6,比=2,求成的長；

(2)如圖2,點(diǎn)夕在6C邊的延長線上，用等式表示線段劭，BE,"之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2

3、將矩形力比》繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形FECG,其中點(diǎn)后與點(diǎn)6,點(diǎn)G與點(diǎn)〃分別是對應(yīng)

點(diǎn)，連接6G.

::

(1)如圖，若點(diǎn)4E,，第一次在同一直線上,用與◎'交于點(diǎn)"連接緲.

①求證：BE平■分乙AEC.

②取理的中點(diǎn)R連接PH,求證：PH//CG.

③若BC=2A42,求用的長.

(2)若點(diǎn)4,E,〃第二次在同一直線上，8c=246=4,直接寫出點(diǎn)〃到%的距離.

4、如圖，矩形/靦中，A8=8,BC=4,過對角線放中點(diǎn)。的直線分別交46,切邊于點(diǎn)反F.

(1)求證：四邊形應(yīng)明是平行四邊形.

(2)當(dāng)四邊形胸'是菱形時(shí)，求斯的長.

5、已知四邊形4靦是正方形，點(diǎn)P在直線8。上，點(diǎn)G在直線ADk(點(diǎn)只點(diǎn)G不與正方形頂點(diǎn)重

合，且在切的同側(cè))，PD^PG,DFLPG于點(diǎn)、H,交直線4?于點(diǎn)尸，將線段加繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

得到線段連接比1.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)G分別在線段8c與線段上時(shí)，

①求證：DF=PG-,

②請猜想四邊形必7”是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)G分別在線段比'與線段/〃的延長線上時(shí)，四邊形陽》的形狀是否發(fā)生了

變化？請寫出你的結(jié)論.

-參考答案-

一、單選題

1、B

【解析】

【分析】

連接EG,根據(jù)AG垂直平分EF,即可得出EG=FG,設(shè)CE=x,則￡>￡=5—x=

FG=EG=8-x,再根據(jù)RACEG中，CE1+CG2=EG2,即可得到CE的長.

【詳解】

解：如圖所示，連接EG,

由旋轉(zhuǎn)可得，^ADEAABF,

：.AE-AF,DE=BF,

又?.?AG_L￡F,

為E尸的中點(diǎn)，

AG垂直平分EF,

EG=FG,

設(shè)CE=x,貝l]DE=5—x=B尸，F(xiàn)G=8—x,

EG=8-x,

-.-ZC=90°,

??.R/ACEG中，CE2+CG2=EG2,即V+22=(8-X)2,

解得x=3，

4

.??CE的長為

4

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題時(shí)注意：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)

與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

2、C

【解析】

【分析】

如圖，矩形A5CD中，利用三角形的中位線的性質(zhì)證明

EF//BD,￡F=1BD,GH//BD,GH=^BD,FG=^AC,再證明四邊形ABC。是平行四邊形，再證明

EF=FG,從而可得結(jié)論.

【詳解】

解：如圖，矩形ABCD中，

:.AC=BD,

-：EEG,4分別為四邊的中點(diǎn)，

\EF〃BD，EF=、BD,GH〃BD,GH^-BD,FG^-AC,

222

\EF〃GH,EF=GH,

四邊形ABC。是平行四邊形,

■：AC=BD,EF=-BD,FG=-AC,

22

EF=FG,

四邊形EFGH是菱形.

故選C.

【點(diǎn)晴】

本題考查的是矩形的性質(zhì)，菱形的判定，三角形的中位線的性質(zhì)，熟練的運(yùn)用三角形的中位線的性質(zhì)

解決中點(diǎn)四邊形問題是解本題的關(guān)鍵.

3、D

【解析】

略

4、B

【解析】

【分析】

從折疊圖形的性質(zhì)入手，結(jié)合平行線的性質(zhì)求解.

【詳解】

解：由折疊圖形的性質(zhì)結(jié)合平行線同位角相等可知，2/2+4=180。，

?.?/2=55°,

.■.Zl=70°.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查折疊的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形靈活解決問題.

5、A

【解析】

【分析】

根據(jù)平行四邊形、菱形、矩形的判定定理即可判斷.

【詳解】

解：A、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故原命題是真命題；

B、對角線互相垂直的平行四邊形才是菱形，故原命題是假命題；

C、以兩條對角線為對稱軸的四邊形是菱形，以一條對角線為對稱軸的四邊形可能是“箏”形，故原

命題是假命題；

D、對角線相等的平行四邊形才是矩形，故原命題是假命題；

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查平行四邊形、菱形、矩形的判定，掌握平行四邊形、菱形、矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

6、B

【解析】

【分析】

先判斷出四邊形Z物是平行四邊形，從而得出龍的長度，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出劭的長度，利用勾

股定理的逆定理可得出△6%是直角三角形，計(jì)算出面積即可.

【詳解】

解：；菱形ABCD,AC=6,

\A￡)〃8C,OA=OC=3,8O=28O,A8=8C=AO=5,ACABD,

在應(yīng)△68中，BOZBC'-OC。=4,即可得8廬8,

QAC〃OE,

...四邊形4儂是平行四邊形,

：.AC-DE=6,CE=AD=5,

B&B創(chuàng)CB=10,

\BE2=100=BD2+DE2,

...△核是直角三角形，NBDE=90。,

：.SABD*DE*BF24.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理及三角形的面積，平行四邊形的判定與性質(zhì)，求出血的

長度，判斷△覦'是直角三角形，是解答本題的關(guān)鍵.

7、B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意得到OA=OB=AC=BC,然后根據(jù)菱形的判定方法求解即可.

【詳解】

解：由題意可得：OA=OB=AC=BC,

???四邊形QACB是菱形.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題考查了菱形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定方法.菱形的判定定理：①四條邊都相等

四邊形是菱形；②一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；③對角線垂直的平行四邊形是菱形.

8、B

【解析】

【分析】

連接4G由邊長為1的正方形力"力繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形先求B￡,再根據(jù)

等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理可求反0,0D,從而可求四邊形力反陽的周長.

【詳解】

?.?四邊形46（力為正方形,

，/。6=45°,

?.,正方形4比9繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,

/8歷6=45°,

.?.點(diǎn)8在線段/C上,

在Rt△耽中，AC=4AB-+BC2=Vl2+12=V2

/.BiC—>/2-1

在等腰Rt△陽。中，0B,=B,C=41-\,

在直角三角形如C中，0C=6(V2-1)=2-?,

：.0D=\-0C=\~(2-V2)=T+應(yīng)，

...四邊形切的周長是：AD^AB,+B,C+OD=A￡M-AC+Ol^l+y/2-i+y[2=242.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)，做題的關(guān)鍵是連接

力C構(gòu)造等腰Rt△。氏C是解題的關(guān)鍵，注意旋轉(zhuǎn)中的對應(yīng)關(guān)系.

9、D

【解析】

【分析】

根據(jù)矩形的判定定理判斷即可.

【詳解】

解：A.對角線相等的平行四邊形是矩形，原選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；

B.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，原選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；

C.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，原選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意;

D.四個(gè)角都相等的四邊形是矩形，原選項(xiàng)說法正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查矩形的判定定理，熟記矩形的判定定理是解題關(guān)鍵.

10、C

【解析】

【分析】

由題意可得/gBgCkRng,可證△48。是等邊三角形，可得力8=8.

【詳解】

解：???四邊形48口是矩形，

：.AC=2AO=2CO,BD=2BO=2DO,AC=BD=16,

：.OA=OB=8,

'：AAOD=\^,

，/加6=60°,

.?.△/I仍是等邊三角形，

：.AB=AO=BO=^,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

二、填空題

1、①②③

【解析】

【分析】

由折疊得/。刃'NAFG=N8=90：即可判斷①正確；證明加=必法，CG=6-x,求出座=2,得到

C層4,防二〃后2；借助勾股定理得到(x+2)2=(6-x)2+42,求出x,即可判斷②正確；根據(jù)CG=GE

得到N凡如2NC7吐180°,由ZX/WG/zMFG,推出/人辦2//67口80°,由此推出片/研7,

判斷③正確；由G43,止2,根據(jù)同高三角形判斷④錯(cuò)誤.

【詳解】

解：：四邊形力版是正方形，

:.AB=AD=6,/斤/氏90°,

由折疊得4修F，/AFE=/D=90°,則/月陷180°-90°=90°,

"：AG=AG,

/.A4BG^Z\4FG；故①正確；

，：4AB曜XAFG,

：.BG=GF,

設(shè).BG=GF=x,CG=6-x,

?.?C9三4廬6,CD-3DE,

:?DB2?4,EF=DB-^

由勾股定理得：G族CG+CE,

即（x+2）2=（6-才）2+42,

解得：尸3,

????6-3=3,

：.BG=CG.故②正確；

■:BG=CG=GF,

:"GFO/GCF,

：.ZFGC+2ZGF（=180°,

?.?A^BG^AAFG,

:./AG斤/AGF,

???NR；小2乙467M80。,

：.4AG六4GFC,

：.AG//CF,故③正確；

V67^3,小2,

???qJ4FGC=_1519△產(chǎn)EC，

故④錯(cuò)誤，

故答案為：①②③.

【點(diǎn)睛】

此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定定理，同高三角形面

積的關(guān)系，熟練掌握各知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

2、平行四邊形對角線直角

【解析】

略

3、20石或竺正

2

【解析】

【分析】

分為將紙片沿縱向?qū)φ?，和沿橫向?qū)φ蹆煞N情況，利用折疊的性質(zhì)，以及勾股定理解答即可

【詳解】

如圖：當(dāng)將紙片沿縱向?qū)φ?/p>

根據(jù)題意可得：AB=EF=DC=DC=30

?.?C'為EF的三等分點(diǎn)

22

???EC=-EF=-x30=20

33

在Rt/\DEC中有OE=dDC?-EC°=>/302-202=KX/5

AD=2DE=20后

BC=AD=204

如圖：當(dāng)將紙片沿橫向?qū)φ?/p>

根據(jù)題意得：AB=DC=DC'^30,DF=-￡>C=-x30=15

22

在Rt^XDFC中有CT?=^DC'2-DF2=屈=IF=15百

???c’為E尸的三等分點(diǎn)

C'F=-EF

3

.?斤=，156=竺叵

22

故答案為：20石或也叵

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，以及勾股定理解直角三角形，解題關(guān)鍵是分兩種情況作出折痕

EF,考慮問題應(yīng)全面，不應(yīng)丟解.

4、8

【解析】

【分析】

設(shè)這個(gè)長方形的長為xcvw,則長方形的寬為(ll-x)cm,由題意得長-2=寬+3.進(jìn)而得到方程

x-2=U-x+3,解方程即可得到答案.

【詳解】

解：設(shè)這個(gè)長方形的長為xcm,

由題意得：x-2=ll-x+3,

2x—l6,

解得：x=8,

答：這個(gè)長方形的長為8c7".

故答案為：8

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，抓住關(guān)鍵語句，表示出正方形的邊長,

進(jìn)而利用正方形邊長相等得到方程.

5、16

【解析】

略

6、18°##18度

【解析】

【分析】

由“S4S”可證△“比△比瓦可得/儂=/◎廬眄=63°,由三角形的外角的性質(zhì)可求解.

【詳解】

證明：???四邊形4?必是正方形，

：.AD=CD=BC=AB,ZDAE=ZBAE=ZDCA=ZBCA=45°,

在△頗1和△腔■中,

CD=BC

<ZBCE=NDCE,

CE=CE

二△比儂△腔（必S）,

：.乙C盼三乙BEF63°,

'：ACED=ACADIAADE,

：.AADE=QV-45°=18°,

故答案為：18°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明△比陛△旌是本題的關(guān)鍵.

7、975

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，將長方形底面和中間墻展開為平面圖，并連接物，根據(jù)兩點(diǎn)之間直線段最短和勾股定理

的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案.

【詳解】

將長方形底面和中間墻展開后的平面圖如下，并連接BD

AMNB

根據(jù)題意，展開平面圖中的AB=16+2=18m

一只螞蚱從B點(diǎn)爬到。點(diǎn)，最短路徑長度為展開平面圖中如長度

：ABC。是長方形地面

AZA=90°

BD=ylAB^AD2=7405=9石m

故答案為：9石.

【點(diǎn)睛】

本題考查了立體圖形展開圖、矩形、兩點(diǎn)之間直線段最短、勾股定理的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握

立體圖形展開圖、勾股定理的知識，從而完成求解.

8、22.5°

【解析】

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，/A=/EFB=90°,AB=BF,以及紙片加/9為矩形可得，N4EF為直角,進(jìn)而可

以判斷四邊形力加正為正方形，進(jìn)而通過//項(xiàng)，/闞的角度計(jì)算出/9的大小.

【詳解】

解：由折疊可知△/項(xiàng)且△儂，

:.NA=NEFB=9G,AB=BF,

?.?紙片46m為矩形，

J.AE//BF,

...N曲口80°—NBF層90°,

,:AB=BF,NMNAEF=NEFF9Q°,

四邊形/孫X"為正方形，

：.ZAE&=450,

；.N8EA18Q°-45°=135°,

班仁135°4-2=67.5°,

：.ZFEG=Q7.5°-45°=22.5°.

【點(diǎn)睛】

本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，以及平行的相關(guān)性質(zhì)，能夠?qū)⒄叫闻c矩

形的性質(zhì)相結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

9、2G

【解析】

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)證得劭是等邊三角形，得到0B,利用勾股定理求出0A,由菱形的性質(zhì)求出菱形

的面積.

【詳解】

解：如圖所不：

???在菱形ABCD中，440=60。，其所對的對角線長為2,

:.AD=AB,AC1BD,BO=DO,AO=CO,

二4的是等邊三角形，

則A8=AO=2,

故30=00=1,

則A0=>/AB2—BO1==y/3,故AC=2\/3，

則菱形ABCD的面積=gx2x=26.

故答案為：2后.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理，正確得出菱形的另一條對角線的長是解題關(guān)鍵.

10、3-石##-6+3

【解析】

【分析】

根據(jù)黃金矩形438,得出寬與長的比為黃金比,AD//BC,AD=BO2,可求力生BC=

延工2=小-1,根據(jù)跖為ZABC的平分線，證出力后4廬百-1即可.

【詳解】

解：：黃金矩形

寬與長的比為黃金比,AD〃BC,AD=B俏2,

.,.可陷^=^x2=囪-l,

?.?應(yīng)■為ZABC的平分線，

：./AB氏/CBE,

,:AD〃BC,

:.NAEB=4CBE=NABE,

AE—AI^2-y/s—1>

:,DFAD~A拄2-(75-1)=3-75.

故答案為3-括.

【點(diǎn)睛】

本題考查黃金矩形的性質(zhì)，角平分線定義，平行線性質(zhì)，等腰三角形判定，線段和差，掌握黃金矩形

的性質(zhì)，角平分線定義，平行線性質(zhì)，等腰三角形判定，線段和差是解題關(guān)鍵.

三、解答題

1、(1)見解析

(2)4

(3)4

【解析】

【分析】

(1)由"S4S”可證龍也△。圓可得力RQA

(2)要使四邊形4&族的周長最小，由于與閭都是定值，只需4a制的值最小即可.為此，先在

況■邊上確定點(diǎn)入。的位置，可在力〃上截取線段加^游2,作廠點(diǎn)關(guān)于況1的對稱點(diǎn)G,連接比與比

交于一點(diǎn)即為。點(diǎn)，過4點(diǎn)作內(nèi)。的平行線交比1于一點(diǎn)，即為尸點(diǎn)，則此時(shí)/人給比最小，然后過

G點(diǎn)作a'的平行線交火的延長線于〃點(diǎn)，那么先證明/面滬45°,再由緇%即可求出征的長

度；

(3)要使四邊形閭M7的周長最小，由于國是定值，只需制介物件QV的值最小即可，作點(diǎn)P關(guān)于4。

的對稱點(diǎn)凡作點(diǎn)0關(guān)于切的對稱點(diǎn)"連接掰交助于必，交切于M連接/W,QN,此時(shí)四邊形

/泡慟的周長最小，由面積和差關(guān)系可求解.

(1)

解：證明：???四邊形4?口是矩形，

：.CD=AB=4,B(=AD=8,

?.?點(diǎn)￡是切的中點(diǎn)，點(diǎn)0是比'的中點(diǎn)，

:.B年C84,行2,

:.A*CQ,

,:PF2,

:?B42,

:.BP=CE,

又TN廬Ne90°,

:、XABP^XQCE(弘S),

：.AP=QE；

(2)

如圖②，在段上截取線段力片除2,作尸點(diǎn)關(guān)于理的對稱點(diǎn)G,連接及與回交于一點(diǎn)即為。點(diǎn),

過力點(diǎn)作卻的平行線交小于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過G點(diǎn)作回的平行線交火的延長線于〃點(diǎn).

■:GWD芹6,盼2+4=6,N廬90°,

：.ZGEH=45°,

???/4?845°,

設(shè)B片x,則CQ-BC-BPP9R-卜2二6-x,

在夕中，?:/QC&90。,N/045°,

???CBEC,

/.6-A=2,

解得尸4,

...於4；

(3)

如圖③，作點(diǎn)夕關(guān)于4。的對稱點(diǎn)E作點(diǎn)0關(guān)于切的對稱點(diǎn)從連接7%交49于〃，交CD千N,

連接用/,QN,此時(shí)四邊形PQW的周長最小，連接即交4。于7,

:.PAFH,。孤叱冊做=8-3-2=3=CH,

:.P六8,PH=8,

：.Pf^PH,

又,：/FPH=90。，

.?./月/斤45°,

'：PFLAD,CDLQH,

:.N氏NTM啟45°,/斤NG年45°,

:.F戶TM=4,C種時(shí)3,

,四邊形PM渺的面積X用X勿xTM-^XQIMCN^X8X8-yX8X4-|X6X3=7.

【點(diǎn)睛】

本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱求最短距離，直角三角

形的性質(zhì)；通過構(gòu)造平行四邊形和軸對稱找到點(diǎn)尸和點(diǎn)0位置是解題的關(guān)鍵.

2、(1)①見解析；②BF=2垃;(2)BF+BD=-JlBE

【解析】

【分析】

(1)①根據(jù)題意作圖即可；

②過點(diǎn)-作加J_6S,交"的延長線于〃，證明△2%必△日也得到比三萬仁？，CD=BC=EH=6,則

HB=EC=2,在RtAFHB中,利用勾股定理即可求解；

(2)過點(diǎn)尸作"J_",交CB于H,先證明△應(yīng)緇△￡?"得到￡。=勿，CD=BC=EH,則物=酌=

HF,方和△即都是等腰直角三角形，由此利用勾股定理求解即可.

【詳解】

解(1)①如圖所示，即為所求；

②如圖所示，過點(diǎn)尸作梃龍，交/的延長線于〃,

?.?四邊形48c〃是正方形,

:.CD=AB=6,NC=90°,

?:/DEF=/C=90°，

:?/DEO/FEH=9G,/DEC+/EDC=9C,

:?/FEH=/EDC,

在△功%和△"7/中，

Z//=ZC=90°

,NFEH=Z.EDC,

EF=DE

:.△DESAEFHQAAS),

:?EC=FH=2,CD=BC=EH=6,

:,HB=EC=2,

:.RtAFHB中,BF=y/FH^BH2=722+22=272.

(2)結(jié)論：BRBD=應(yīng)BE.

理由：過點(diǎn)少作7%1%,交％于〃

?.?四邊形ABCO是正方形,

:?CD=AB,N〃喈=90°,

*：4DEF=4DCE=9C,

:?/DEg/FEH=9G,/DEC'/EDC=9S,

:?/FEH=/EDC,

在△龍。和△右吻中，

NFHE二NDCE=90。

<NFEH=ZEDC,

EF=DE

:?△DESXEFHQAAS),

：.EC=FH,CD=BC=EH,

:.HB=EC=HF,

...△〃（力和△即都是等腰直角三角形，

BD=yjBC2+CD2=CBC=y[2EH，BF=BH2+HF2=垃BH，

■:HE+BH=BE,

：.BF+BD=42BE.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠正確作出

輔助線，構(gòu)造全等三角形.

3、(1)①見解析；②見解析；③不

⑵處+酒

77

【解析】

【分析】

(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CB=CE,求得/=N，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到

/=/,于是得到結(jié)論；

②如圖1,過點(diǎn)B作慮的垂線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到=，求得=，根據(jù)

全等三角形的性質(zhì)得到=,根據(jù)三角形的中位線定理即可得到結(jié)論；

③如圖2,過點(diǎn)G作BC的垂線，解直角三角形即可得到結(jié)論.

(2)如圖3,連接。8,,過G作1交8c的延長線于P,1交。。的延長線

于N,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到==4,==2,解直角三角形得到=1,

=y[3,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

(1)

解：①證明：???矩形ABC。繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形，

:?—，

:?N=N

又?.?AO//3C,

:、N=N

:,N=N

平分/

②證明：如圖1,過點(diǎn)8作CE的垂線

1

?:N=/=90°,N=/

:.△=A())

即點(diǎn)”是BG中點(diǎn),

又???點(diǎn)尸是8c中點(diǎn)，

???//；

③解：如圖2,過點(diǎn)G作8C的垂線

=2=2,

解：如圖3,連接03,，過G作1交3C的延長線于P,1交。C的延長線于

N,

圖3

,:=2=4,

:,—2,

???將矩形ABCD繞著點(diǎn)、C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形,

—―4,—=2,

???點(diǎn)A,E,。第二次在同一直線上，

???N=90°,

,——1

,,一2'

???N=30°,

:.N=60°，

:.N=30°，=2,

=1,=y/-3i

?,?△—△+△+△=5+2\T3y=1=2\/~79

2A5/7,2/21

:.=----------=-----I-------.

77

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理,

解直角三角形，解題的關(guān)鍵是正確地作出輔助線.

4、(1)證明見解析；(2)=2>J~5

【解析】

【分析】

(1)由題意知II,OD=OB,通過△￡△得到=,證明四邊形砥戶

平行四邊形.

(2)四邊形施M為菱形，1,=4^5-,設(shè)==,==8—；

在△中用勾股定理，解出8尸的長，在△中用勾股定理，得到的長，由

=2得到EF的值.

【詳解】

(1)證明：,?四邊形月6繆是矩形，0是9的中點(diǎn)

?.||,OD=OB

:.N=/

在4和^中

2=/

**,_

=/

/.△△CASA)