2021年廣東省深圳市羅湖區(qū)布心中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試卷三（附答案詳解）

2021年廣東省深圳市羅湖區(qū)布心中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試卷

(3)

1.如圖1,在長方形4BCD中，AB=12cm,BC=10cm,點P從4出發(fā)，沿A-B1C7

。的路線運動，到。停止；點Q從。點出發(fā)，沿。路線運動，到4點停

止.若P、Q兩點同時出發(fā)，速度分別為每秒lc/n、2cm,a秒時P、Q兩點同時改變

速度，分別變?yōu)槊棵?cm、：cm(P、Q兩點速度改變后一直保持此速度，直到停止)，

如圖2是AAPD的面積S(cm2)和運動時間x(秒)的圖象.

(1)求出a值;

(2)設(shè)點P已行的路程為yi(cm),點Q還剩的路程為yz(si)，請分別求出改變速度后，

yI、和運動時間x(秒)的關(guān)系式；

(3)求P、Q兩點都在BC邊上，％為何值時P、Q兩點相距3cm?

S(c/)

2.甲、乙兩人從少年宮出發(fā)，沿相同的路線分別以不同的速度勻速跑向體育館，甲先

跑一段路程后，乙開始出發(fā)，當(dāng)乙超出甲150米時，乙停在原地等候甲，兩人相遇

后乙又繼續(xù)以原來的速度跑向體育館，如圖是甲、乙兩人在跑步的全過程中經(jīng)過的

路程y(米)與甲出發(fā)的時間x(秒)之間關(guān)系的圖象.

(1)在跑步的全過程中，甲共跑了米，甲的速度為米/秒；

(2)圖中標(biāo)注的a的值及乙跑步的速度分別是多少？

(3)乙在途中等候了多少時間？

3.2019年2月3日至2019年2月20日，”第十一屆成都

金沙太陽節(jié)”在金沙遺址博物館成功舉辦，用世界

文明展覽，主題燈展，園林花藝，美食演藝等一系

列文化活動，與瑪雅這一著名的中美洲文明結(jié)下不

解之緣，為成都人打造了一個博物館里的“文化年”，春節(jié)當(dāng)天，小杰于下午2點

乘車從家出發(fā)，當(dāng)天按原路返回，如圖，是小杰出行的過程中，他距家的距離y(千

米)與他離家的時間》(小時)之間的圖象.根據(jù)圖象，完成下面問題：

(1)小杰家距金沙遺址博物館千米，他乘車去金沙遺址博物館的速度是

千米/小時；

(2)已知晚上9點時，小杰距家5千米，請通過計算說明他何時才能回到家？

(3)請直接寫出小杰回家過程中y與x的關(guān)系式.

第2頁，共36頁

4.有一科技小組進行了機器人行走性能試驗，在試驗場地有4、BC三點順次在同一筆

直的賽道上，甲、乙兩機器人分別從A、B兩點同時同向出發(fā)，經(jīng)過7min同時到達C

點，乙機器人始終以的速度行走，如圖是甲、乙兩機器人之間的距離y(ni)

與他們的行走時間x(min)之間的圖象，請結(jié)合圖象，回答下列問題.

(1)月、B兩點之間的距離是m,甲機器人前2m譏的速度為m/min.

(2)若前3min甲機器人的速度不變，求出前3min,甲、乙兩機器人之間的距離y(m)

與他們的行走時間r(m譏)之間的關(guān)系式.

(3)求出兩機器人出發(fā)多長時間相距28nl.

7x（加）

5.如圖，已知NB4D=乙BCD=90°,AB=AD,點E在CD的延長線上,4B4C=Z.DAE.

(1)求證：ZMBC三

(2)設(shè)4F是△ABC的BC邊上的高，求證：EC=2AF.

■E'E

B'

D

6.如圖：小剛站在河邊的4點處，在河的對面(小剛的正北方向)的B處有一電線塔，他

想知道電線塔離他有多遠，于是他向正西方向走了20步到達一棵樹C處，接著再向

前走了20步到達。處，然后他左轉(zhuǎn)90。直行，當(dāng)小剛看到電線塔、樹與自己現(xiàn)處的

位置E在一條直線時，他共走了100步.

(1)根據(jù)題意，畫出示意圖;

(2)如果小剛一步大約50厘米,估計小剛在點4處時他與電線塔的距離，并說明理由.

7.如圖，在△ABC中，DM、EN分別垂直平分4c和BC,交AB于M、N兩點，DM與EN

相交于點心

(1)若ACMN的周長為15an,求4B的長；

(2)若NMFN=70°,求ZJWCN的度數(shù).

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8.在△ABC中，AB=AC,點。是線段BC上一點(不與B、C重合)，以力。為一邊在4。的

右側(cè)作AADE,使AD=4E,^DAE=ABAC,連接CE.

(1)如圖1,如果NBAC=90。，則NBCE=

(2)如圖2,設(shè)NBAC=a,NBCE=￡,當(dāng)點D在線段BC上移動時，請寫出a,￡之間

的數(shù)量關(guān)系，請說明理由.

BD

圖1

備用圖備用國

9.已知：如圖，在等腰三角形40C中，AD=CD,旦AB“DC,CB1AB于B,CE1AD

交AD的延長線于E.

(1)求證：CE=CB；

(2)如果連結(jié)BE,請寫出BE與AC的關(guān)系并證明.

10.如圖，在^ABC^,AB=AC=2,=AC=40。，點。在線段BC上運動(0不與B、

C重合)，連接2D,作乙4OE=40。，OE交線段4C于￡

(1)當(dāng)4BDA=115。時，Z.EDC=°,乙DEC=°；點。從B向C運動

時，4BZM逐漸變(填“大”或“小”)；

(2)當(dāng)。。等于多少時，△ABDm^DCE,請說明理由;

(3)在點。的運動過程中，AAOE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出

/8D4的度數(shù).若不可以，請說明理由.

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11.如圖1,點P、Q分別是等邊AABC邊4B、BC上的動點(端點除外)，點P從頂點4、

點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的運動速度相同，連接ZQ、CP交于點M.

(1)求證：△4BQ三△(:?!「；

(2)當(dāng)點P、Q分別在48、BC邊上運動時，“MC變化嗎？若變化，請說明理由；若

不變，求出它的度數(shù).

(3)如圖2,若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交

點為M,則NQMC變化嗎？若變化，請說明理由：若不變，則求出它的度數(shù).

12.如圖，在RtA/lBC中，^ACB=90°,BC=30cm,4c=40czn,點。在線段4B上

從點8出發(fā)，以2cm/s的速度向終點4運動，設(shè)點。的運動時間為t.

c

(1)48=cm,4B邊上的高為cm；

(2)點。在運動過程中，當(dāng)ABC。為等腰三角形時一，求t的值.

13.如圖，在△4BC中，4B=90°,AB=16m,BC=12cm,

P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點4開始沿

4TB方向運動，且速度為每秒1cm；點Q從點B開始沿

BTCTA方向運動，且速度為每秒2cm,它們同時出

發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為t秒.

(1)若出發(fā)2秒時，則PQ的長為cm；

(2)當(dāng)點Q在邊BC上運動，出發(fā)幾秒鐘時，APQB能形成等腰三角形？

(3)當(dāng)點Q在邊C力上運動，出發(fā)幾秒鐘時，ABCQ是以BC為腰的等腰三角形?

14.如圖，在△ABC中，點。為線段上一點(不含端點)，AP平分NBAD交BC于E,PC

與4。的延長線交于點F,連接EF,且NPEF=4AED.

(1)求證：AB=AF-,

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(2)著△4BC是等邊三角形.

①求NAPC的大?。?/p>

②想線4P,PF,PC之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明.

B

15.在4人⑶。中，AD是aABC的角平分線.

(1)如圖1,過C作CE〃/1。交BA延長線于點E,若F為CE的中點，連接4F,求證：

AF1AD.

(2)如圖1,在(1)的條件下，若CD=2B。，S^ABD=10,求△BCE的面積.

(3)如圖2,M為BC的中點，過M作MN〃71。交AC于點N,猜想線段AB、AC.AN之

間的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并給予證明.

E

A

DDM

圖1圖2

16.如圖甲，在AABC中，UCB為銳角，點。為射線BC上一動點，連接4。，以40為一

邊且在4。的右側(cè)作正方形力DEF.解答下列問題：

(1)如果4B=4C,Z.BAC=90°,

①當(dāng)點。在線段BC上時(與點B不重合)，如圖乙，線段CF、8D之間的位置關(guān)系為

,數(shù)量關(guān)系為.

②當(dāng)點。在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？

(2)如果4BH4C,NB4C490。點。在線段BC上運動.試探究：當(dāng)aABC滿足一個

什么條件時，。尸18。(點。、F重合除外)？并說明理由.

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17.在正方形4BCD中，4MAN=45°,該角可以繞點4轉(zhuǎn)動，/MAN的兩邊分別交射線

CB,DC于點M,N.

(1)當(dāng)點M,N分別在正方形的邊C8和DC上時(如圖1),線段8M,DN,MN之間有

怎樣的數(shù)量關(guān)系？你的猜想是：,并加以證明.

(2)當(dāng)點M,N分別在正方形的邊CB和DC的延長線上時(如圖2),線段BM,DN,MN

之間的數(shù)量關(guān)系會發(fā)生變化嗎？證明你的結(jié)論.

18.如圖1,正方形4BCD的頂點C在線段EF上，BE_LEF于點E,DF_LE/于點F,

(1)求證：△BECGCFD；

(2)判斷線段EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

(3)如圖2,若將正方形4BC0四個頂點都置于一組平行線上，且平行線間的間距都

為1cm,求此時BD的長.

19.如圖1,點C為線段4B上任意一點(不與點4、B重合)，分別以4C、BC為一腰在48的

同側(cè)作等腰△4co和4BCE,CA=CD,CB=CE,/.ACD=乙BCE=30°,連接4E

交于點M,連接BD交CE于點N,4E與BD交于點P,連接CP.

(1)線段AE與DB的數(shù)量關(guān)系為；請直接寫出N4PD=；

(2)將^BCE繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，其他條件不變，探究線段4E與CB的數(shù)

量關(guān)系，并說明理由；求出此時乙4P。的度數(shù)；

(3)在(2)的條件下求證：Z.APC=乙BPC.

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20.如圖①，在Rt△ABC中，"=90。，兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c.如圖②，

現(xiàn)將與Rt△ABC全等的四個直角三角形拼成一個正方形EFMN.

(1)若RtAABC的兩直角邊之比均為2：3.現(xiàn)隨機向該圖形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落

在四個直角三角形區(qū)域的概率是多少？

(2)若正方形EFMN的邊長為8,Rt△4BC的周長為18,求ABC的面積.

圖①圖②

答案和解析

1.【答案】解：(1)由圖象可知，當(dāng)點P在BC上運動時，△4PD的面積保持不變，

則a秒時，點P在4B上.

1

1

Ax=30,

210AP

得AP=6cmf

則Q=6.

(2)由(1)知6秒后點P變速，則點P已行的路程為刈=6+2。—6)=2%-6；

VQ點路程總長為34cm,第6秒時已經(jīng)走12cm,點Q還剩的路程為丫2=34-12-1(x-

c595

6)=---

724X.

(3)當(dāng)P、Q兩點相遇前相距3cn時，

日一土一(2x-6)=3,

解得％=10,

當(dāng)P、Q兩點相遇后相距3cm時，

(2x-6)-(^-|x)=3,

解得x=詈，

.?.當(dāng)x=10或譽時，P、Q兩點相距3cm.

【解析】本題是雙動點問題，解答時應(yīng)注意分析圖象的變化與動點運動位置之間的關(guān)

系.列函數(shù)關(guān)系式時，要考慮到時間x的連續(xù)性才能直接列出函數(shù)關(guān)系式.

(1)根據(jù)圖象變化確定a秒時，P點位置，利用面積求a；

(2)P、Q兩點的函數(shù)關(guān)系式都是在運動6秒的基礎(chǔ)上得到的，因此注意在總時間內(nèi)減去6

秒.

(3)以(2)為基礎(chǔ)可知，兩個點相距3cm分為相遇前相距或相遇后相距，因此分情況列方

程求解即可.

2.【答案】9001.5

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【解析】解：(1)根據(jù)圖象可以得到：甲共跑了900米，用了600秒，則速度是：900+600=

1.5米/秒；

故答案為：900,1.5；

(2)甲跑500秒時的路程是：500X1.5=750米，貝必=750米；

段的長是900-750=150米，時間是：560-500=60秒，則乙跑步的速度是：150+

60=2.5米/秒；

(3)甲跑150米用的時間是：150+1.5=100秒，則甲比乙早出發(fā)100秒.

乙跑750米用的時間是：750+2.5=300秒，則乙在途中等候甲用的時間是：500-

300-100=100#.

(1)終點E的縱坐標(biāo)就是路程，橫坐標(biāo)就是時間；

(2)首先求得C點對應(yīng)的橫坐標(biāo)，即a的值，則CD段的路程可以求得，時間是560-500=

60秒，則乙跑步的速度即可求得；

B點時，所用的時間可以求得，然后求得路程是150米時，甲用的時間，就是乙出發(fā)的

時刻，兩者的差就是所求；

(3)8點時，所用的時間可以求得，然后求得路程是150米時，甲用的時間，就是乙出發(fā)

的時刻，兩者的差就是所求.

本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，識別函數(shù)圖象的能力，是一道較為簡單的題，觀察圖象提

供的信息是關(guān)鍵.

3.【答案】1812

【解析】解：⑴18+1.5=12(千米/小時),

小杰家距金沙遺址博物館18千米，他乘車去金沙遺址博物館的速度是12千米/小時；

故答案為：18；12；

(2)(18-5)+(9-2-5.7)=10(千米/時),

5+10=0.5(時)，

9+0.5=9.5,

所以小杰要在晚上9時30分才能回到家；

(3)根據(jù)圖象可得y=18-10(x-5.7),

即y=-10x+75.

(1)根據(jù)函數(shù)圖象進行解答：。4段、4B段、BC段分別表示去參觀燈展去的途中，參觀

燈展，參觀后回家的函數(shù)圖象：

(2)先求出小杰回家的速度，再根據(jù)“路程=速度x時間”列式計算即可；

(3)根據(jù)圖象解答即可.

本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，已知函數(shù)值求

自變量，準(zhǔn)確識圖，理解轉(zhuǎn)折點的坐標(biāo)的意義是解題的關(guān)鍵.

4.【答案】7095

【解析】解：(1)由題意，可得4、B兩點之間的距離是70m.

設(shè)甲機器人前2m譏的速度為譏，

根據(jù)題意，得2(%-60)=70,解得久=95.

故答案為70,95；

(2)若前3m譏甲機器人的速度不變，由(1)可知，前3小譏甲機器人的速度為95僧/伍譏,

則尸點縱坐標(biāo)為:(3-2)x(95-60)=35,即F(3,35).

設(shè)線段EF所在直線的函數(shù)解析式為y=kx+b,

將E(2,0),“3,35)代入，

12k+b=0貂俎-35

l3k+b=35,解侍也=一70，

則線段EF所在直線的函數(shù)解析式為y=35%-70；

(3)如圖，設(shè)。(0,70),H(7,0).

???0(0,70),E(2,0),

???線段DE所在直線的函數(shù)解析式為y=

—35%+70,

vG(4,35),”(7,0),

???線段GH所在直線的函數(shù)解析式為y=

35,245

Xd,

3---3

設(shè)兩機器人出發(fā)￡加九時相距28m,

由題意，可得一35%+70=28,或35x-70=28,或一m工+等=28,

解得t=1.2,或t=2.8,或t=4.6.

第16頁，共36頁

即兩機器人出發(fā)1.2或2.8或4.6m譏時相距28m.

⑴根據(jù)圖象結(jié)合題意，即可得出4、B兩點之間的距離是70m.設(shè)甲機器人前的速

度為:CTH/TH譏，根據(jù)2分鐘甲追上乙列出方程，即可求解；

(2)先求出F點的坐標(biāo)，再設(shè)線段EF所在直線的函數(shù)解析式為y=kx+b,將E、F(3,35)

兩點的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法即可求解；

(3)設(shè)0(0,70),“(7,0),根據(jù)圖象可知兩機器人相距28m時有三個時刻(0?2,2?3,4-7)

分別求出DE所在直線的解析式、GH所在直線的解析式，再令y=28,列出方程求解即

可.

本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利

用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答.

5.【答案】(1)證明：???乙BAD=ABCD=90°,

???/.ABC+/.ADC=180°,

又「AADE+AADC=180°,

???Z-ABC=Z-ADE,

Z.BAC=Z.DAE

在△ABC與△ACE中，\AB=AD,

zABC=Z.ADE

三△4DE(4S4)；

(2)證明：過點/作4MleE,垂足為M,如圖所示:

???△ABC=^ADE,

:.AC=AE,Z-BCA=乙E,

???Z,ACD=匕E,

???乙BCA=Z.ACDy

-AM1CD,AF1CF,

???4F=4M,

又???ABAC=Z.DAE,

???/.CAE=Z.CAD+Z-DAE=/.CAD+/.BAC=乙BAD=90°,

-AC=AE,Z.CAE=90°,

/.Z-ACE=Z.AEC=45°,

???AM1CE,

/-ACE=4CAM=4MAE=zF=45°,

???CM=AM=ME,

又,??斯=4M,

???EC=2AF.

【解析】（1）先求出=再根據(jù)三角形的判定定理4sA即可證得.

（2）過點4作AM1CE,垂足為M；通過三角形全等求得AC=4E,/.BCA=zE,進而根

據(jù)等邊對等角求得NA。。=/E,從而求得NBC4=乙4cD,再根據(jù)角的平分線的性質(zhì)求

得4F=4M,然后證得ACHE和△ACM是等腰直角三角形，進而得出EC=24F.

此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角的平分線的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定

與性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

6.【答案】解：（1）所畫示意圖如下:

（2）在DEC中，

Z.D=Z.A

DC=AC,

Z.DCE=Z.ACB

*,?△DEC^ASA'）,

???AB=DE,

又?.?小剛共走了100步，其中4。走了40步，

???走完DE用了60步，

一步大約50厘米，即DE=60x50=3000（厘米）=30（米）.

答：小剛在點4處時他與電線塔的距離為30米.

【解析】本題考查全等三角形的應(yīng)用，像此類應(yīng)用類的題目，一定要仔細審題，根據(jù)題

意建立數(shù)學(xué)模型，難度一般不大，細心求解即可.

（1）根據(jù)題意所述畫出示意圖即可.

第18頁，共36頁

(2)根據(jù)4s4可得出△ABC^LDEC,即求出DE的長度也就得出了48之間的距離.

7【答案】解：⑴???DM、EN分別垂直平分AC和BC,

AAM=CM,BN=CN,

??.△CMN的周長=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB,

???△CMN的周長為15cm,

???AB=15cm；

(2)???乙MFN=70°,

:.乙MNF+乙NMF=180°-70°=110°,

v/-AMD=乙NMF,乙BNE=乙MNF,

???Z,AMD+乙BNE=乙MNF+乙NMF=110°,

???4/+ZB=90°-LAMD+90°-乙BNE=180°-110°=70°,

-AM=CM,BN=CN,

:.Z-A=匕ACM,Z-B=Z-BCN,

???乙MCN=180°-2(44+48)=180°-2x70°=40°.

【解析】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)、等邊對等

角的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得4M=CM,BN=CN,然

后求出△CMN的周長=AB；

(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出4MNF+4NMF,再求出4+NB,根據(jù)等邊對

等角可得41=^ACM,NB=乙BCN,然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解.

8.【答案】900

【解析】解：(1)90°.

理由：???NBWZX4E,

Z.BAC-乙DAC=/.DAE-Z.DAC.^Z.BAD=/.CAE.

在△4BD與aaCE中，

AB=AC

乙BAD=/.CAE,

AD=AE

48。三△4CE(S4S),

???乙B=Z.ACE.

???乙B+Z-ACB=Z-ACE4-乙ACB,

???乙BCE=Z-B+Z.ACB,

又???Z.BAC=90°

???乙BCE=90°；

(2)Q+0=180°,

理由：vLBAC=Z.DAE,

???Z.BAD+Z.DAC=Z-EAC+Z.DAC,

即4840=/.CAE.

在△ABD與△力CE中，

(AB=AC

\z.BAD=/.CAE,

(AD=AE

???△4BOwz\4CE(S4S),

:.乙B=Z.ACE.

*,.乙B+Z-ACB=Z-ACE+Z.ACB.

:.乙B+Z.ACB=B,

va++Z,ACB=180°,

???a+S=180°.

(1)問要求NBCE的度數(shù)，可將它轉(zhuǎn)化成與已知角有關(guān)的聯(lián)系，根據(jù)已知條件和全等三角

形的判定定理，得出448。三△4CE,再根據(jù)全等三角形中對應(yīng)角相等，最后根據(jù)直角

三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；

(2)問在第(1)間的基礎(chǔ)上，將a+/7轉(zhuǎn)化成三角形的內(nèi)角和.

本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，涉及到三角形全等的判定，以及全等三角形的性質(zhì);

兩者綜合運用，促進角與角相互轉(zhuǎn)換，將未知角轉(zhuǎn)化為已知角是關(guān)鍵.

9.【答案】(1)證明：???4D=CD,

:.Z.DAC=乙DCA,

?:AB//CD,

/.Z.DCA=/-CAB,E

:.Z.DAC=乙CAB,/

.?.4C是血8的角平分線，7

第20頁，共36頁

???CELAE,CB14B,

???CE=CB；

(2)4C垂直平分BE,

證明：由(1)知，CE=CB,

???CELAE,CBLAB,

???/.CEA=Z.CBA=90°,

在RMC瓦4和RtZkCBA中，

(CE=CB

\AC=AC'

???Rt△CEA=Rt△CBA(HL),

:.AE=AB,CE=CB,

???點4、點C在線段BE的垂直平分線上，

???4C垂直平分BE.

【解析】(1)根據(jù)題意，平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可以證明結(jié)論成立；

(2)先寫出BE與4C的關(guān)系，再根據(jù)題意和圖形，利用線段的垂直平分線的判定即可證明.

本題考查等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵

是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

10.【答案】解：(1)25,115,?。?/p>

(2)當(dāng)CC=2時，

理由：vZC=40°,

4DEC+乙EDC=140°,

又：AADE=40°,

???Z.ADB+Z.EDC=

140°,

Z.ADB=Z.DEC,

又?：AB=DC=2,

???△48。三△OCEQ44S）；

A

E

(3)當(dāng)“D4的度數(shù)為110?；?0。時，△4DE的形狀是等腰三角形，

理由：???ZBDA=110。時，

???^ADC=70°,

vZC=40°,

???ADAC=70°,Z.AED=ZC+Z-EDC=30°+40°=70°,

???Z-DAC=Z.AED,

：?△4DE的形狀是等腰三角形；

???當(dāng)N8ZZ4的度數(shù)為80。時，

???Z,ADC=100°,

???乙C=40°,

???Z.DAC=40°,

???Z.DAC=Z-ADE,

4DE的形狀是等腰三角形.

【解析】

【分析】

此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定等知識，熟練地應(yīng)用等腰三角

形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)NBD4=115。以及乙4DE=40°,即可得出NEDC=180°-Z.ADB-Z.ADE,進

而求出NDEC的度數(shù)，

(2)當(dāng)。C=2時，利用ZDEC+4EDC=140。，^ADB+/.EDC=140°,求出=

/.DEC,再利用4B=DC=2,即可得出△4BD三△DCE,

(3)當(dāng)NBD2的度數(shù)為110。或80。時，AADE的形狀是等腰三角形.

【解答】

解：(1”EDC=180°-/.ADB-/.ADE=180°-115°-40°=25°,

乙DEC=180°-乙EDC-ZC=180°-40°-25°=115°,

NBZM逐漸變?。?/p>

故答案為:25。，115°,小;

第22頁，共36頁

(2)見答案；

(3)見答案.

11.【答案】⑴證明：???△ABC是等邊三角形

???Z.ABQ=/.CAP,AB=CA,

又?.?點P、Q運動速度相同，

???AP=BQ,

在△4BQ與中，

(AB=CA

???4/BQ=ZLC/P,

UP=BQ

???△4BQwZkC/P(S/S)；

(2)解：點P、Q在運動的過程中，々QMC不變.

理由：CAP,

???Z-BAQ=Z-ACP,

v4QMC=Z-ACP+乙MAC,

???Z.QMC=Z-BAQ+乙MAC=ABAC=60°

(3)解：點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線4B、BC上運動時，“MC不變.

理由：TA2BQ三△CAP,

???Z.BAQ=Z-ACP,

■■Z.QMC=Z.BAQ+Z.APM,

???“MC=乙4cp+乙APM=180°-Z.PAC=180°-60°=120°.

【解析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用S4S證明AASQ三△C4P；

(2)由4ABQ*CAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得NB4Q=乙4CP,從而得到乙QMC=60°；

⑶由△ABQaC4P根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得NB4Q=乙4CP,從而得到“=

120°.

此題是一個綜合性題目，主要考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識.

12.【答案】解：(1)50,24；

(2)分三種情況：

①當(dāng)BD=BC=30cm時，2t=30,

t=15(s)；

②當(dāng)CD=CB=30c?n時，作CE14B于E,如圖2所示：

c

圖2

則BE=DE=：BD=t,

由(1)得：CE=24,

在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE=y/BC2—CE2=V302—242=18(cm)，

-t=18s；

③當(dāng)DB=DC時，乙BCD=^B,

vZ-A=90°-z^,Z.ACD=90°-乙BCD,

:.Z.ACD=

???DA=DC,

i

二AD=DB=-AB=25(cm),

:.2t=25,

:.t=12.5(s)；

綜上所述：t的值為15s或18s或12.5s.

【解析】解：(1)???在RtAABC中，44cB=90。，BC=30cm,AC=40cm,

AB=y/BC2+AC2=V302+402=50(cm);

作4B邊上的高CE,如圖1所示:

圖1

11

VRt△ABC的面積=-AB-CE=-AC-BC,

,?"=若=甯=24("

故答案為:50,24；

(2)見答案.

⑴在RMABC中，由勾股定理即可求出28；由直角三角形的面積即可求出斜邊上的高;

(2)分三種情況:

①當(dāng)BD=BC=30cm時；②當(dāng)CD=CB=30czn時；③當(dāng)DB=DC時，分別分析即可

第24頁，共36頁

得出結(jié)果.

本題考查了勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積的計算；本題綜合性強,

有一定難度，特別是(2)中，需要進行分類討論，運用勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)才

能得出結(jié)果.

13.［答案］2V53

【解析】解：(1)當(dāng)t=2時，如圖1,Q在BC上,

BPA

圖1

???AP—2,BQ—4,

-AB=16,

???BP=16—2=14,

Rt△BPQ中，PQ=[BQ2+BP2=V42+142=2原cm;

故答案為：2V^;

(2)當(dāng)點Q在邊8c上運動時，

乙B=90°,

.?.當(dāng)BQ=BP時，△PQB能形成等腰三角形,

即2t=16-t,

t=T'

答：當(dāng)點Q在邊8c上運動，出發(fā)竽秒鐘時，△PQB能形成等腰三角形;

(3)分兩種情況：

①當(dāng)=時，如圖2,過B作于G,則CG=GQ,

由勾股定理得：AC=V122+162=20,

CG__BC_12

cosZ-C=~BC~'AC'20,

“36

???CG=y

???CQ=《=2t—12,

t=13.2；

②當(dāng)BC=CQ時，如圖3,

t=12；

綜上，當(dāng)點Q在邊CA上運動，出發(fā)12秒或13.2秒鐘時,△8CQ是以BC為腰的等腰三角形.

(1)如圖1,先根據(jù)時間和速度表示路程：AP和BQ的長，根據(jù)勾股定理可得PQ的長；

(2)根據(jù)等腰三角形腰相等：BQ=BP,列方程可解答；

(3)分情況討論：根據(jù)等腰三角形：BQ=BC或BC=CQ,列方程可得結(jié)論.

本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思

想等知識.用時間t表示出相應(yīng)線段的長，化“動”為“靜”是解決這類問題的一般思

路，注意方程思想的應(yīng)用.

14.【答案】(1)證明：：4「E尸=乙4后。,

180°-乙PEF=180°-Z.AED,

???Z.AEB=Z-AEFj

???4P平分NBA。，

???乙BAP=Z-FAP,

ABAP=/.FAP

在△AEB和△/￡/中，4E=4E,

Z-AEB=Z-AEF

???△4EBwMEFG4Sq),

:.AB=AF；

(2)解：①MaBC是等邊三角形，

???AB=AC=BC,Z,BAC=60°,

第26頁,

???AB=AF,

?.AF=AC,

設(shè)NB4P=Z,FAP=%,則乙尸4c=60°-2x,

在44c尸中,Z.AFC=|[180°-(60°-2x)]=x+60°,

又???Z.AFC=乙FAP+Z.APC=x+Z.APC,

：.^APC=60°；

@AP=PF+PC,理由如下：

延長CP至點M,使PM=PF,連接BM、BP,如圖所示:

(AB=AF

在AAPB和AAPF中，\/_BAP=Z.FAP，

14P=AP

...△APB三△4PF(S4S),

Z.APC=乙4PB=60°,PB=PF,

Z.BPM=60°,PM=PB,

???△BPM是等邊三角形，

???BP=BM,Z.ABP=乙CBM=60°+乙PBC,

AB=CB

在和ACBM中，,乙ABP=4CBM，

BP=BM

:.△ABPwACBM(SAS),

AP=CM=PM+PC=PF+PC.

【解析】(1)由已知證出NAEB=N4EF,乙BAP=4FAP,證明AAEB三△4EF,即可得

出ZB=AF；

(2)①由等邊三角形的性質(zhì)得出48=AC=BC,乙BAC=60°,證出AF=AC,設(shè)NBAP=

AFAP=x,則4FAC=60。一2x,求出NAFC=x+60。，由三角形的外角性質(zhì)得出

AAFC=/.FAP+Z.APC=x+Z.APC,即可得出結(jié)果；

②延長CP至點M,使PM=PF,連接BM、BP,^cW^APB^^APF,得出乙4PC=

N4PB=60。，PB=PF,得出NBPM=60。，PM=PB,得出△BPM是等邊三角形，得

出BP=BM,AABP=ACBM=60°+APBC,再證明△4BP三△CBM,即可得出結(jié)論.

本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、

三角形的外角性質(zhì)等知識;本題綜合性強,有一定難度，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】(1)證明：???4。為A4BC的角平分線,

:.Z-BAD=Z.CAD,

???CE//AD,

:.乙BAD=乙E,Z.CAD=Z.ACE,

：?乙E=Z-ACE,

:.AC=AE,

???F為EC的中點，

???AF1EC,

-ADHEC.

???/.AFE=Z-FAD=90°,

：.AFLAD；

(2)解：???CD=2BD,

-BC=3BD,

:.ADIRE,

ABDs〉EBC,

：.=的2=&2=1

S&EBCKBCJW9'

,,,S&BCE=9s△AB。=9x10=90；

(3)解：AC=AB+2AN；理由如下：

延長84與MN延長線于點E,過8作“〃4C交NM延長線于點F,

如圖2所示：

工乙MBF=AC,ZF=ZM/VC,

???M為BC的中點，

???BM=CM,

ZF=乙MNC

在和ACNM中，1/.MBF=ZC,

BM=CM

/.△BFM=LCNM(44S),

???BF=CN,

vMN//AD,

???/.BAD=乙E,乙CAD=Z.MNC=(ANE,

???(E=Z-ANE=zF,

：.AE=ANfBE=BF,

???8F=Z8+4N,

第28頁，共36頁

AC=AN+CN=AN+BF=AB+2AN.

【解析】(1)角平分線的定義得出NB4D=^CAD,由平行線的性質(zhì)得出4840=乙E,

乙4CE,則NE=4ACE,由等腰三角形的性質(zhì)得出AC=AE,AF1EC,推出

Z.AFE=/.FAD=90°,即可得出結(jié)論；

(2)求出8C=3BD,證出△4BDQEBC,則鬻=登下=:即可得出結(jié)果；

(3)延長B4與MN延長線于點E,過B作BF〃AC交NM延長線于點凡則NMBF=NC,

乙F=LMNC,由中點得出8M=CM,由44S證得ABFM三△CNM得出BF=CN,由

MN//AD,得出4B4D=AE,/.CAD=乙MNC=乙ANE,則4E=UNE=NF,得出AE=

AN,BE=BF,推出8F=4B+4N,即可得出結(jié)論.

本題是三角形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、

平行線的性質(zhì)、角平分線定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積計算等知識，熟

練掌握平行線的性質(zhì)，證明三角形全等與三角形相似是解題的關(guān)鍵.

16.【答案】解：(1)①垂直，相等；

(2)成立，理由如下：

/.FAD=^BAC=90°

乙BAD=/.CAF,

在4840與4CAF中，

BA=CA

,:4BAD=Z.CAF

.AD=AF

BZDwACAF(SAS),

???CF=BD,乙ACF=乙ACB=45°,

乙BCF=90°,

:.CFLBD；

(2)當(dāng)乙4cB=45。時可得CF1BC,理由如下:

過點4作AC的垂線與CB所在直線交于G,

貝代乙4cB=45°,

AG=AC,LAGC=/.ACG=45°,

-AG=AC9AD=AFf

v/-GAD=Z.GAC-Z.DAC=90°-^DAC,Z.FAC=Z-FAD-Z-DAC=90°一乙DAC,

:.Z-GAD=Z-FAC,

???△GADNACAF(SAS)f

???Z,ACF=乙AGD=45°,

???乙GCF=Z.GCA+Z.ACF=90°,

???CF1BC.

【解析】

解：(1)①CF_LBD,CF=BD,

故答案為：垂直，相等；

②見答案；

(2)見答案.

【分析】

(1)當(dāng)點。在BC的延長線上時①的結(jié)論仍成立.由正方形4DEF的性質(zhì)可推出△DAB=^

FAC,所以CF=BD,Z.ACF=Z_ABD.結(jié)合4BAC=90°,AB=AC,得至Ij/BCF=4ACB+

N4CF=90度.即CFJLBD.

(2)當(dāng)/4CB=45。時，過點4作AG_L4C交CB或CB的延長線于點G,貝lj4GAe=90。，可

推出N4C8=NAGC,所以4c=4G,由(1)①可知CF_LBD.

本題考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS,4S4A4S、HL,判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定

三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法,看缺什么條件，再去證什么條件.

17.【答案】BM+DN=MN

【解析】證明：(1)猜想：BM+DN=MN.

證明如下：

n如圖1,在MB的延長線上，截匚取BE=DN,連接4E,

[

:r

圖1圖2

第30頁，共36頁

在和△4DN中

AB=AD

乙48E=ZD,

BE=DN

???△A8Ewzk4DN(S4S),

匕乙

???AE=ANfEAB=NAD,

???/.BAD=90°,乙MAN=45°,

???乙BAM+Z.DAN=45°,

:./.EAB+乙BAM=45°,

???4EAM=乙NAM,

在Zk/EM和AANM中

AE=AN

Z.EAM=乙NAM,

AM=AM

???△AEM三△4NM(S4S),

:.ME=MN,

又ME=BE+BM=BM+DN,

???BM+DN=MN；

故答案為：BM+DN=MN；

(2)DN-BM=MN.

證明如下：

如圖2,在OC上截取。尸=BM,連接AF,

△ABM和△ADF中

AB=AD

乙ABM=乙D,

BM=DF

三△4DF(S4S),

???4M=4F,ABAM=Z.DAF,

???乙BAM+乙BAF=Z,BAF+/LDAF=90°,^MAF=乙BAD=90°,

???乙MAN=45°,

???乙MAN=乙FAN=45°,

在AMAN和△凡4N中

AM=AF

乙MAN=乙FAN,

AN=AN

???△MANdF4N(S4S),

???MN=NF,

:.MN=DN-DF=DN—BM,

DN—BM=MN.

(1)在MB的延長線上，截取BE=DN,連接4E,則可證明△ABE三△ADN,可得到AE=

AN,進一步可證明△AEMwZkANM,可得結(jié)論BM+DN=MN；

(2)在。C上截取DF=BM,連接/F,可先證明^ABM=LADFf進一步可證明△MAN三A

FAN,可得到MN=NF,從而可得到DN-BM=MN.

本題為四邊形的綜合應(yīng)用，涉及知識點有正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂

直平分線的判定和性質(zhì)等.在(1)、(2)中構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵.本題考查知識

點不多，但三角形全等的構(gòu)造難度較大.

18.【答案】(1)證明：如圖1,,?,四邊形4BCD是正方形，

:?BC=CD,Z.BCD=90°