2.4絕對(duì)值與相反數(shù)（九大題型）原卷版

（蘇科版）七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第2章有理數(shù)》2.4絕對(duì)值與相反數(shù)知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一絕對(duì)值◆1、絕對(duì)值的定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|，讀作“a的絕對(duì)值”.【注意】任何數(shù)都有絕對(duì)值，并且只有一個(gè)，數(shù)a的絕對(duì)值是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，因?yàn)榫嚯x不可能是負(fù)數(shù)，所以數(shù)a的絕對(duì)值|a|為非負(fù)數(shù)，即|a|≥0.◆2、絕對(duì)值的性質(zhì)：（1）一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)；0的絕對(duì)值是0.（2）字母a表示一個(gè)有理數(shù)，則（3）在數(shù)軸上，表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)離原點(diǎn)越近，這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值越??；離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值越大.（4）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等；絕對(duì)值相等，符號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).（5）幾個(gè)非負(fù)式的和為0，則這幾個(gè)式子都為0.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二相反數(shù)◆1、相反數(shù)的定義：符號(hào)不同、絕對(duì)值相同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù).◆2、相反數(shù)的幾何意義：（1）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)分別位于原點(diǎn)的兩側(cè)(0除外)；（2）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)到原點(diǎn)的距離相等；（3）一般地，設(shè)a是一個(gè)正數(shù)，數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離是a的點(diǎn)有兩個(gè)，它們分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，表示數(shù)﹣a和a，我們說(shuō)這兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).◆3、相反數(shù)的性質(zhì)：任何一個(gè)數(shù)都有相反數(shù)，而且只有一個(gè)，正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)；0的相反數(shù)是0；負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù).◆4、求一個(gè)相反數(shù)的方法：求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只需改變這個(gè)數(shù)的符號(hào)，即可得到這個(gè)數(shù)的相反數(shù).求一個(gè)字母或一個(gè)式子相反數(shù)時(shí)，只需在這個(gè)字母或這個(gè)式子的前面加上“﹣”號(hào).知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三多重符號(hào)的化簡(jiǎn)◆1、多重符號(hào)化簡(jiǎn)的依據(jù)：相反數(shù)的定義是多重符號(hào)化簡(jiǎn)的依據(jù)．例如：﹣（﹣5）表示﹣5的相反數(shù)，所以﹣（﹣5）=5.◆2、多重符號(hào)的化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)多重符號(hào)時(shí)，只需數(shù)一下數(shù)字前面有多少個(gè)負(fù)號(hào)，若有偶數(shù)個(gè)，則結(jié)果為正；若有奇數(shù)個(gè)，則結(jié)果為負(fù).簡(jiǎn)稱(chēng)“奇負(fù)偶正”.知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四有理數(shù)的大小比較◆1、數(shù)軸比較法：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.◆2、法則比較法：（1）正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；（2）兩個(gè)正數(shù)，絕對(duì)值大的正數(shù)大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的負(fù)數(shù)小．題型一相反數(shù)的定義題型一相反數(shù)的定義【例題1】（2023?鳳城市模擬）﹣112A．﹣112 B．1.5 C．-23 解題技巧提煉只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，一般地，a和-a互為相反數(shù).【變式1-1】（2023?河北模擬）2023的相反數(shù)是（）A．2023 B．12023 C．﹣2023 D．?【變式1-2】下列說(shuō)法正確的是（）A．帶“+”的和帶“﹣”的數(shù)互為相反數(shù) B．和一個(gè)點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)一定互為相反數(shù) C．?dāng)?shù)軸上原點(diǎn)兩旁的兩個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù) D．一個(gè)數(shù)的前邊添上“﹣”所得的數(shù)是這個(gè)數(shù)的相反數(shù)【變式1-3】（2023?中山市校級(jí)一模）下列各組數(shù)中的兩個(gè)數(shù)，互為相反數(shù)的是（）A．3和13 B．3和﹣3 C．﹣3和13 D．﹣3【變式1-4】（2023?南關(guān)區(qū)校級(jí)模擬）下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的是（）A．3和|﹣3| B．﹣|﹣3|和﹣（﹣3） C．﹣3和-13 D．﹣3和【變式1-5】在數(shù)軸上分別用點(diǎn)A，B，C，D表示﹣4.5，3，﹣1.5，0各數(shù)，并用點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H在數(shù)軸上表示它們的相反數(shù)．題型二利用相反數(shù)的概念求值題型二利用相反數(shù)的概念求值【例題2】（2023?隆昌市校級(jí)三模）如果數(shù)a與2互為相反數(shù)，那么a是（）A．2 B．0 C．﹣2 D．-解題技巧提煉求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只需改變這個(gè)數(shù)的符號(hào)，即可得到這個(gè)數(shù)的相反數(shù).【變式2-1】（2022?睢陽(yáng)區(qū)二模）若m與-(-13)A．﹣3 B．-13 C．13 【變式2-2】若a＝﹣a，則a＝．【變式2-3】（2022秋?裕華區(qū)校級(jí)月考）當(dāng)﹣a＝﹣9時(shí)，﹣a的相反數(shù)是（）A．9 B．﹣9 C．±9 D．不能確定【變式2-4】已知a是﹣[﹣（﹣5）]的相反數(shù)，b比最小的正整數(shù)大4，c是相反數(shù)等于它本身的數(shù)，則3a+2b+c的值是．【變式2-5】（2022秋?惠民縣校級(jí)月考）已知+（-73）的相反數(shù)是x，﹣（+3）的相反數(shù)是y，z相反數(shù)是z，求x+y+題型三多重符號(hào)的化簡(jiǎn)題型三多重符號(hào)的化簡(jiǎn)【例題3】（2022秋?衡陽(yáng)縣期中）化簡(jiǎn)：﹣[+（﹣3）]＝．解題技巧提煉多重符號(hào)的化簡(jiǎn)：與“+”個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)，有奇數(shù)個(gè)“﹣”號(hào)結(jié)果為負(fù)，有偶數(shù)個(gè)“﹣”號(hào)，結(jié)果為正．【變式3-1】化簡(jiǎn)下列各數(shù)：﹣（+1）＝；﹣（﹣5）＝，﹣[+（﹣113）]＝【變式3-2】下列表示﹣5的“相反數(shù)”的是（）A．﹣（﹣5） B．﹣（+5） C．﹣[﹣（﹣5）] D．﹣[+（+5）]【變式3-3】（2022秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期中）化簡(jiǎn)-(-(-(-?(-1)?)))︸A．﹣1 B．1 C．±1 D．2022【變式3-4】化簡(jiǎn)下列各數(shù)：（1）﹣（-1（2）﹣（+3.5）；（3）+（﹣1）；（4）﹣[+（﹣7）]；（5）﹣[﹣（﹣9）]．【變式3-5】化簡(jiǎn)下列各數(shù)：①+（﹣3）；②﹣（+5）；③﹣（﹣3.4）；④﹣[+（﹣8）]；⑤﹣[﹣（﹣9）]．化簡(jiǎn)過(guò)程中，你有何發(fā)現(xiàn)？化簡(jiǎn)結(jié)果的符號(hào)與原式中的“﹣”號(hào)的個(gè)數(shù)有什么關(guān)系？題型四題型四相反數(shù)與兩點(diǎn)之間的距離的應(yīng)用【例題4】一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與它的相反數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離是5個(gè)單位長(zhǎng)度，那么這個(gè)數(shù)是（）A．5或﹣5 B．5或-52 C．52或-52 解題技巧提煉如果一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與它的相反數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離是a個(gè)單位長(zhǎng)度,那么這兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就等于a÷2，再根據(jù)點(diǎn)的位置確定對(duì)應(yīng)的數(shù).【變式4-1】（2022秋?榮昌區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)是互為相反數(shù)，且點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，則點(diǎn)A表示的數(shù)是．【變式4-2】（2022秋?乳山市期中）在單位長(zhǎng)度為1的數(shù)軸上，點(diǎn)A，B表示的數(shù)互為相反數(shù)，點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)且到點(diǎn)A的距離為5個(gè)單位長(zhǎng)度，那么點(diǎn)C所表示的數(shù)是（）A．7 B．3 C．﹣2 D．﹣3【變式4-3】如圖，四個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M，P，N，Q．若P到N的距離小于P到M的距離，且點(diǎn)M，N表示的有理數(shù)互為相反數(shù)，則圖中的點(diǎn)表示正數(shù)的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【變式4-4】數(shù)軸上A點(diǎn)表示﹣3，B、C兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，且點(diǎn)B到點(diǎn)A的距離是2，則點(diǎn)C表示的數(shù)應(yīng)該是．【變式4-5】如圖所示，已知A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)在一條沒(méi)有標(biāo)明原點(diǎn)的數(shù)軸上．（1）若點(diǎn)A和點(diǎn)C表示的數(shù)互為相反數(shù)，則原點(diǎn)為；（2）若點(diǎn)B和點(diǎn)D表示的數(shù)互為相反數(shù)，則原點(diǎn)為；（3）若點(diǎn)A和點(diǎn)D表示的數(shù)互為相反數(shù)，則在數(shù)軸上表示出原點(diǎn)O的位置．題型五題型五相反數(shù)與點(diǎn)的移動(dòng)【例題5】一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到它的相反數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則這個(gè)數(shù)是．解題技巧提煉互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)應(yīng)位于原點(diǎn)兩側(cè)，且到原點(diǎn)的距離相等。點(diǎn)在數(shù)軸上的移動(dòng)要明確移動(dòng)的方向和移動(dòng)的距離.【變式5-1】一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向左移動(dòng)2020個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到它的相反數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則這個(gè)數(shù)是．【變式5-2】如圖所示，把數(shù)軸上的點(diǎn)A先向左移動(dòng)3個(gè)單位，再向右移動(dòng)7個(gè)單位得到點(diǎn)B，若A與B表示的數(shù)互為相反數(shù)，則點(diǎn)A表示的數(shù)是（）A．0.5 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【變式5-3】已知A為數(shù)軸上的一點(diǎn)，將A先向右移動(dòng)7個(gè)單位，再向左移動(dòng)4個(gè)單位，得到點(diǎn)B，若A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)恰好互為相反數(shù)，求A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)．【變式5-4】在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示數(shù)8，點(diǎn)B，C表示互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，且點(diǎn)C和點(diǎn)A之間的距離為3，求點(diǎn)B，C所表示的數(shù)．【變式5-5】有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示．（1）在數(shù)軸上分別用A、B兩點(diǎn)表示﹣a，﹣b．（2）若數(shù)b與﹣b表示的點(diǎn)相距20個(gè)單位長(zhǎng)度，則b與﹣b表示的數(shù)分別是什么？（3）在（2）的條件下，若數(shù)a表示的點(diǎn)與數(shù)b的相反數(shù)表示的點(diǎn)相距5個(gè)單位長(zhǎng)度，則a與﹣a表示的數(shù)是多少？題型六求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值題型六求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值【例題6】（2023?宛城區(qū)校級(jí)四模）-7A．-72 B．72 C．-2解題技巧提煉利用絕對(duì)值的性質(zhì)求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)；0的絕對(duì)值是0.【變式6-1】（2023?沅江市校級(jí)模擬）﹣|﹣0.4|＝．【變式6-2】化簡(jiǎn)：|－eq\f(3,5)|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______．【變式6-3】（2023?肇東市校級(jí)二模）一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是5，這個(gè)數(shù)是（）A．5 B．﹣5 C．5和﹣5 D．0【變式6-4】（2023?道里區(qū)三模）﹣|﹣2023|的結(jié)果是（）A．2023 B．﹣2023 C．12023 D．【變式6-5】（2022秋?寧津縣校級(jí)月考）寫(xiě)出下列各數(shù)的絕對(duì)值．（1）﹣1.5；（2）83；（3）﹣6；（4）-83；（5【變式6-6】在數(shù)軸上，表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)A在原點(diǎn)的左邊，且距離原點(diǎn)4個(gè)單位長(zhǎng)度（1）這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是多少？（2）寫(xiě)出這個(gè)數(shù)的相反數(shù)；（3）求這個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與它的相反數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離．題型七題型七比較有理數(shù)的大小【例題7】（2023?朔州模擬）在-113，﹣5，0，A．-113 B．﹣5 C．0 D解題技巧提煉1、有理數(shù)的大小比較比較有理數(shù)的大小可以利用數(shù)軸，他們從右到左的順序，即從大到小的順序（在數(shù)軸上表示的兩個(gè)有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大）；也可以利用有理數(shù)的性質(zhì)比較異號(hào)兩數(shù)及0的大小，利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大?。?、有理數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個(gè)正數(shù)，絕對(duì)值大的正數(shù)大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的負(fù)數(shù)?。咀兪?-1】（2023?姑蘇區(qū)三模）在10，﹣3，0，﹣12這四個(gè)數(shù)中，絕對(duì)值最大的是（）A．10 B．﹣3 C．0 D．﹣12【變式7-2】（2022秋?臨洮縣期中）比較下面兩個(gè)數(shù)的大?。ㄓ谩埃肌?，“＞”，“＝”）（1）1﹣2；（2）-13﹣0.3；（3）|﹣3|﹣（﹣【變式7-3】（2022秋?武漢期末）a，b是有理數(shù)，它們?cè)跀?shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示．把a(bǔ)，﹣a，b，﹣b按照從小到大的順序排列應(yīng)是（用“＜”號(hào)連接）．【變式7-4】（2022秋?棲霞市期中）將下面直線(xiàn)補(bǔ)充成一條數(shù)軸，將﹣2.5，﹣|﹣1|，12，﹣（﹣3【變式7-5】比較下列各組數(shù)的大小．（1）-38和（2）﹣3.14與-22（3）﹣|﹣1.2|與0；（4）﹣（﹣0.76）和|-58【變式7-6】（2022秋?寶應(yīng)縣期中）（1）在數(shù)軸上分別畫(huà)出表示下列3個(gè)數(shù)的點(diǎn)：﹣（﹣1），﹣|+3.5|，+（﹣2）．（2）有理數(shù)x、y在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示：①在數(shù)軸上表示﹣y、|x|；②試把x、y、﹣y、|x|這四個(gè)數(shù)從小到大用“＜”號(hào)連接．題型八題型八絕對(duì)值的非負(fù)性【例題8】（2022秋?利州區(qū)校級(jí)期末）若|a﹣1|與|b﹣2|互為相反數(shù)，則a+b的值為．解題技巧提煉1、數(shù)a的絕對(duì)值|a|為非負(fù)數(shù)，即|a|≥0.2、幾個(gè)非負(fù)式的和為0，則這幾個(gè)式子都為0.【變式8-1】若|a﹣1|+|b﹣3|＝0，則b﹣a-1A．﹣412 B．﹣212 C．﹣112 D【變式8-2】（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）若|a﹣1|+|b﹣3|＝0，則ab＝（）A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3【變式8-3】如果a是有理數(shù)，那么|a|+2020的最小值是．【變式8-4】（2022秋?花垣縣月考）若有理數(shù)a，b滿(mǎn)足|a﹣20|+|b+19|＝0，則|a|﹣|b|＝．【變式8-5】（2022秋?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）已知|a?12|+|b+13|+|c+25|＝0，求a﹣|題型九題型九利用絕對(duì)值解決實(shí)際問(wèn)題【例題9】有四包真空包裝的火腿腸，每包以標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量450g為基準(zhǔn)，超過(guò)的克數(shù)記作正數(shù)，不足的克數(shù)記作負(fù)數(shù)．下面的數(shù)據(jù)是記錄結(jié)果，其中與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量最接近的是（）A．+2 B．﹣3 C．+4 D．﹣1解題技巧提煉本題中用絕對(duì)值的大小表示產(chǎn)品直徑與標(biāo)準(zhǔn)直徑的接近程度，由絕對(duì)值的幾何意義，可知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值越小，其在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)距離原點(diǎn)越近，在這個(gè)實(shí)際問(wèn)題中，絕對(duì)值越小表示產(chǎn)品直徑的尺寸與標(biāo)準(zhǔn)直徑的尺寸偏差越小.【變式9-1】如圖，檢測(cè)排球的質(zhì)量，其中質(zhì)量超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的克數(shù)記為正數(shù)，不足的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，下面已檢測(cè)的四個(gè)排球中其中質(zhì)量最接近標(biāo)準(zhǔn)的是（）A． B． C． D．【變式9-2】某鋼鐵廠(chǎng)承擔(dān)了為奧運(yùn)場(chǎng)館生產(chǎn)某種鋼材零件的任務(wù)．其中一個(gè)車(chē)間生產(chǎn)一批圓形機(jī)器零件，從中抽取6件進(jìn)行驗(yàn)證，比規(guī)定直徑長(zhǎng)的毫米數(shù)記作正數(shù)，比規(guī)定直徑短的毫米數(shù)記作負(fù)數(shù)，檢查記錄如下：123456+0.2﹣0.3﹣0.2+0.3+0.4﹣0.