專題05 利用軸對(duì)稱的特性解決問題壓軸題四種模型全攻略（解析版）2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略蘇科版

第第頁(yè)專題05利用軸對(duì)稱的特性解決問題壓軸題四種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一幾何圖形中的最小值問題】 1【類型二實(shí)際問題中的最短路徑問題】 9【類型三一次函數(shù)中線段和最小值問題】 15【類型三一次函數(shù)中線段差最大值問題】 24【典型例題】【類型一幾何圖形中的最小值問題】例題：（2023秋·重慶南川·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是等腰三角形，底邊的長(zhǎng)為6，面積是30，腰的垂直平分線分別交、于點(diǎn)E、F．若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是（

）A．11 B．13 C．18 D．24【答案】B【分析】連接，，由是等腰三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，可得，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長(zhǎng)，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出的長(zhǎng)為的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，，∵是等腰三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴，∴，解得，∵是線段的垂直平分線，∴∴，∵，∴的長(zhǎng)為的最小值，∴周長(zhǎng)的最小值為：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱—最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，中，，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在的平分線上運(yùn)動(dòng)，則的長(zhǎng)度最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用最短路徑直接將點(diǎn)對(duì)稱，然后連線求兩線段和的最小值即可．【詳解】將關(guān)于對(duì)稱至點(diǎn)，連接，∴，∴，∴，∵，，，且，∴是中點(diǎn)，∴．∴故選：B【點(diǎn)睛】此題考查最短路徑，解題關(guān)鍵是將一個(gè)定點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)線段之和最短．2．（2023秋·甘肅·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，M是邊上的一個(gè)定點(diǎn)，且，N，P分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．【答案】/厘米【分析】作M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)Q，過Q作于N，交于P，則此時(shí)的值最小，連接，得出，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可．【詳解】作M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)Q，過Q作于N，交于P，則此時(shí)的值最小，連接，則，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱—最短路徑問題，垂線段最短的應(yīng)用，確定點(diǎn)P、N的位置的解題的關(guān)鍵．3．（2023春·福建漳州·七年級(jí)福建省漳州第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在等邊三角形中，，垂足是D，且，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是.

【答案】【分析】根據(jù)等邊三角形的對(duì)稱性可得，根據(jù)垂線段最短即可求的最小值．【詳解】解：由等邊三角形的對(duì)稱性可得故過點(diǎn)作，如圖所示：

則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的對(duì)稱性、“垂線段最短”等知識(shí)點(diǎn)．熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．4．（2023春·廣東揭陽(yáng)·七年級(jí)惠來(lái)縣第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在等腰中，，，作于點(diǎn)D，，點(diǎn)E為邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．

【答案】【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使，連接，交于，此時(shí)的值最小，就是的長(zhǎng)，證明即可．【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使，連接，交于，此時(shí)的值最小，就是的長(zhǎng)，

，，，，，，，，是等邊三角形，點(diǎn)E為邊上的中點(diǎn)，，，即的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱，最短路徑問題和直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作出對(duì)稱點(diǎn)，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用．5．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，等邊（三邊相等，三個(gè)內(nèi)角都是的三角形）的邊長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)D和動(dòng)點(diǎn)E同時(shí)出發(fā)，分別以每秒的速度由A向B和由C向A運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，，和交于點(diǎn)F．

(1)在運(yùn)動(dòng)過程中，與始終相等嗎？請(qǐng)說明理由；(2)連接，求t為何值時(shí)，；(3)若于點(diǎn)M，點(diǎn)P為上的點(diǎn)，且使最短．當(dāng)時(shí)，的最小值為多少？請(qǐng)直接寫出這個(gè)最小值，無(wú)需說明理由．【答案】(1)與始終相等(2)5(3)7【分析】（1）證明即可；（2）根據(jù)，得到，即，求出即可；（3）作D點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)P，則，證明為等邊三角形，即可求的值．【詳解】（1）解：由已知可得，，∴，∵是等邊三角形∴，，∴，∴，∴與始終相等；（2）

解：∵是等邊三角形∴，∵，，∴，∵，∴，∴；（3）∵，∴平分，作D點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)P，

∵，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，∴，∵，∴，，∴，又，∴為等邊三角形，∴，∴的最小值為7．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)及等邊三角形的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱性確定線段，再由等邊三角形的性質(zhì)求解的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知≌，將沿所在的直線折疊至的位置，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連結(jié)．

(1)直接填空：與的位置關(guān)系是__________；(2)點(diǎn)P、Q分別是線段、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B、C重合），已知的面積為36，，求的最小值；(3)試探索：的內(nèi)角滿足什么條件時(shí)，是直角三角形？【答案】(1)(2)9(3)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可判斷；（2）根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，在上取點(diǎn)，使得，結(jié)合對(duì)稱性質(zhì)推出，確定三點(diǎn)共線且垂直于時(shí)，取得最小值，結(jié)合面積進(jìn)行計(jì)算即可；（3）分和兩種情況，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答．【詳解】（1）解：∵沿所在的直線折疊至的位置，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，∴，故答案為：；（2）解：如圖所示，在上取點(diǎn)，使得，連接，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，，

∴，要求的最小值，求的最小值即可，∴當(dāng)B、P、M三點(diǎn)共線，且時(shí)，取得最小值，此時(shí)，如圖所示，

由對(duì)稱的性質(zhì)，，∵取得最小值時(shí)，，∴，即：，解得：，∴的最小值為9；（3）解：①當(dāng)時(shí)，；∵由翻折變換的性質(zhì)可知，，∴，∵，∴，∴，∴；②由翻折的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、軸對(duì)稱-最短路徑問題、等腰三角形的性質(zhì)等，熟知折疊是一種對(duì)稱變換，屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題關(guān)鍵．【類型二實(shí)際問題中的最短路徑問題】例題：（2023春·廣東廣州·八年級(jí)華南師大附中?？计谥校┤鐖D，A、B兩個(gè)村子在筆直河岸的同側(cè)，A、B兩村到河岸的距離分別為，，，現(xiàn)在要在河岸上建一水廠E向A、B兩村輸送自來(lái)水，要求水廠E到A、B兩村的距離之和最短．(1)在圖中作出水廠E的位置（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求水廠E到A、B兩村的距離之和的最小值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）延長(zhǎng)，取，再連接，與交于點(diǎn)E即可；（2）作出以為斜邊的直角，求出直角邊，利用勾股定理求出結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖所示：點(diǎn)E即為水廠的位置；（2）如圖，作出以為斜邊的直角，由（1）可知：，由題意可得：，，，∴，，，∴水廠E到A、B兩村的距離之和的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，勾股定理，主要利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，找出點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是確定建水廠位置的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，A，B兩個(gè)村莊在河CD的同側(cè)，兩村莊的距離為a千米，，它們到河CD的距離分別是1千米和3千米．為了解決這兩個(gè)村莊的飲水問題，鄉(xiāng)政府決定在河CD邊上修建一水廠向A，B兩村輸送水．(1)在圖上作出向A，B兩村鋪設(shè)水管所用材料最省時(shí)的水廠位置M．（只需作圖，不需要證明）(2)經(jīng)預(yù)算，修建水廠需20萬(wàn)元，鋪設(shè)水管的所有費(fèi)用平均每千米為3萬(wàn)元，其他費(fèi)用需5萬(wàn)元，求完成這項(xiàng)工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為多少萬(wàn)元．【答案】(1)見解析；(2)50萬(wàn)元.【分析】（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于M點(diǎn)，即M為所求；（2）連接交于H點(diǎn)，過點(diǎn)B作，根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于M點(diǎn)，即M為所求.（2）解：如圖，連接交于H點(diǎn)，過點(diǎn)B作，由題意可知：，，，∴，∴在中，，∴在中，，由對(duì)稱性質(zhì)可知：，水管長(zhǎng)，完成這項(xiàng)工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為（萬(wàn)元）【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短路線問題，勾股定理，題目比較典型，是一道比較好的題目，考查了學(xué)生的動(dòng)手操作能力和計(jì)算能力．2．（2021秋·江蘇蘇州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，小區(qū)A與公路l的距離AC＝200米，小區(qū)B與公路l的距離BD＝400米，已知CD＝800米，(1)政府準(zhǔn)備在公路邊建造一座公交站臺(tái)Q，使Q到A、B兩小區(qū)的路程相等，求CQ的長(zhǎng)；(2)現(xiàn)要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B兩小區(qū)的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的長(zhǎng)度．【答案】(1)475米(2)1000米，米【分析】（1）根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可；（2）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交直線l于點(diǎn)P．則AP＝P，AP+BP＝P+BP，PA+PB的最小值為B．（1）解：如圖1，此時(shí)AQ＝BQ．設(shè)CQ＝x，則DQ＝800﹣x，∴，解得x＝475，即CQ的長(zhǎng)為475米；（2）解：如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交直線l于點(diǎn)P．則AP＝P，AP+BP＝P+BP，PA+PB的最小值為=1000米．∵，∴，∴，∴CP＝＝＝（米），即CP的長(zhǎng)度為米．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，確定出Q、P的位置是本題的關(guān)鍵．3．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）問題情境：老師在黑板上出了這樣一道題：直線同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A，B，在直線上是否存在點(diǎn)，使得的值最?。啃∶鞯慕夥ㄈ缦拢喝鐖D，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則與直線的交點(diǎn)即為，且的最小值為．問題提出：(1)如圖，等腰的直角邊長(zhǎng)為4，E是斜邊的中點(diǎn)，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．問題解決：(2)如圖，為了解決A，B兩村的村民飲用水問題，A，B兩村計(jì)劃在一水渠上建造一個(gè)蓄水池，從蓄水池處向A，B兩村引水，A，B兩村到河邊的距離分別為千米，千米，千米．若蓄水池往兩村鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米15000元，請(qǐng)你在水渠上選擇蓄水池的位置，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最少，并求出最少的鋪設(shè)水管的費(fèi)用．【答案】(1)(2)最少的鋪設(shè)水管的費(fèi)用是225000元【分析】(1)作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于P，此時(shí)的值最小，連接先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再判斷出，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；(2)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)確定水廠位置，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,根據(jù)矩形的性質(zhì)分別求出、，根據(jù)勾股定理求出，得到，結(jié)合題意計(jì)算即可．【詳解】（1）解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，此時(shí)的值最小，連接．因?yàn)榈妊闹苯沁呴L(zhǎng)為4，E是斜邊的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所以，所以．?）如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所選擇的位置，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．在中，千米，千米，所以（千米），所以最短路線（千米），最少的鋪設(shè)水管的費(fèi)用為（元）．答：最少的鋪設(shè)水管的費(fèi)用是元．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形綜合題，軸對(duì)稱最短路徑問題、勾股定理的應(yīng)用，掌握軸對(duì)稱的概念和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間，線段最短的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【類型三一次函數(shù)中線段和最小值問題】例題：（2023春·山東德州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，一次函數(shù)的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，以線段為邊在第二象限內(nèi)作等腰．（可能用到的公式：若，①中點(diǎn)坐標(biāo)為；②(1)求線段的長(zhǎng)；(2)過B、C兩點(diǎn)的直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．(3)點(diǎn)D是中點(diǎn)，在直線上是否存在一點(diǎn)P，使得有最小值？若存在，則求出此最小值；若不存在，則說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，最小值是【分析】（1）求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求解即可；（2）先證明，得出點(diǎn)C坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（3）作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)M，連接交直線于點(diǎn)P，則此時(shí)有最小值，即為的長(zhǎng)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式分別求出點(diǎn)D、M的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)距離公式求解．【詳解】（1）對(duì)于，令，則，令，則，解得，∴，∴；（2）作軸于點(diǎn)F，如圖，則，∵等腰，∴，，∴，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，則，解得，∴直線的解析式為；

（3）∵D是中點(diǎn)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)M，連接交直線于點(diǎn)P，則此時(shí)有最小值，且，即的最小值是的長(zhǎng)，∵，∴C、A、M三點(diǎn)共線，且A是中點(diǎn)，設(shè)，則，解得，∴，∴，故存在最小值，是．

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、全等三角形的判定和性質(zhì)、利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求線段和的最小值以及兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)，具有一定的綜合性，熟練掌握相關(guān)知識(shí)、明確求解的方法是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河北石家莊·八年級(jí)石家莊市第四十一中學(xué)?？计谥校┮淮魏瘮?shù)的圖像經(jīng)過兩點(diǎn)，．點(diǎn)在這個(gè)函數(shù)圖像上(1)求這個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式；(2)求的值；(3)點(diǎn)C為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)(2)2(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）將代入一次函數(shù)解析式求解即可；（3）作C與C'關(guān)于直徑y(tǒng)軸對(duì)稱，連接C'D交y軸于P，則PC+PD的最小值就是線C'D的長(zhǎng)度，再求出最小值即可．【詳解】（1）將，代入得，，解得∴；（2）將代入得，解得；（3）解：如圖，由平面坐標(biāo)系中的對(duì)稱性可知，C與關(guān)于直徑y(tǒng)軸對(duì)稱，連接交y軸于P，則的最小值就是線的長(zhǎng)度，∵，，∴，，∵C與關(guān)于直徑y(tǒng)軸對(duì)稱，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)函數(shù)綜合題，主要考查了軸對(duì)稱性，一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是找到使距離之和最小時(shí)的點(diǎn)P位置．2．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，直線經(jīng)過點(diǎn)，與直線：交于點(diǎn)．

(1)求的值和直線的解析式；(2)直線與軸交于點(diǎn)，求的面積；(3)在軸上是否存在點(diǎn)，使得的值最小，若存在，請(qǐng)求出的最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，直線的解析式為(2)(3)存在，的最小值為【分析】（1）由直線：經(jīng)過點(diǎn)即可求得，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；（2）由直線的解析式求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式求得即可；（3）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，則此時(shí)的值最小，的最小值為，利用兩點(diǎn)之間的距離公式求解即可得．【詳解】（1）解：點(diǎn)代入得：，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，代入得：，解得，則直線的解析式為．（2）解：對(duì)于直線：，當(dāng)時(shí)，，即，則的面積=．（3）解：存在，求解過程如下：如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，則此時(shí)的值最小，的最小值為，

，，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·重慶萬(wàn)州·九年級(jí)重慶市萬(wàn)州第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖1，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，直線與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)，兩直線相交于點(diǎn)P，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．(1)直接寫出點(diǎn)A、P的坐標(biāo)，并求出直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2，過點(diǎn)A作x軸的垂線，交直線于點(diǎn)M，點(diǎn)Q是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)和周長(zhǎng)的最小值．(3)在第（2）問的條件下，若點(diǎn)N是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以D，Q，N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】(1)，；(2)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,周長(zhǎng)的最小值(3)或或或【分析】（1）對(duì)于，令，求出可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)代入，求出x的值即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，再運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線的解析式即可；（2）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再運(yùn)用勾股定理求出，過點(diǎn)D作的對(duì)稱點(diǎn)，得，連接，交于占M，由兩點(diǎn)之間，線段最短可知的最小值為的長(zhǎng)，從而可得周長(zhǎng)的最小值，再運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線的解析式，進(jìn)一步可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）設(shè)，分別求出的長(zhǎng)，再分，，三種情況討論求解即可．【詳解】（1）對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，解得，，，∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，；設(shè)直線的解析式為把代入得，，解得：，∴直線的解析式為；（2）對(duì)于直線，當(dāng)時(shí)，∴過點(diǎn)作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知，的最小值為的長(zhǎng)，∵，∴又∴，∴的周長(zhǎng)最小值為：設(shè)的解析式為：把，代入得，，解得，∴直線的解析式為當(dāng)時(shí)，∴；（3）設(shè)，∵，，∵當(dāng)時(shí)，有∵，解得，∴；當(dāng)時(shí)，有∴，解得，，（不符合題意，舍去）∴當(dāng)時(shí)，有∴，解得，，，∴或，綜上,點(diǎn)N的坐標(biāo)為:或或或【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合題、三角形的面積、等腰三角形的性質(zhì)和判定、最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用對(duì)稱解決最值問題．【類型三一次函數(shù)中線段差最大值問題】例題：（2023秋·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，求出滿足條件且異于點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)為軸上一定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的最大值．【答案】(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)(3)【分析】（1）根據(jù)直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的特點(diǎn)即可求解，聯(lián)立兩條直線的解析式，解二元一次方程組即可求解；（2）根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，求出的面積，設(shè)，用含的式子表示的面積，根據(jù)即可求解；（3）如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交直線于，求的最大值轉(zhuǎn)換為求，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵直線與軸交于點(diǎn)，∴令，則，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)立直線與直線得，，解得，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）解：如圖，直線與軸交于點(diǎn)，直線，令，則，∴點(diǎn)的坐標(biāo)，直線，令，則，∴點(diǎn)的坐標(biāo)，且點(diǎn)，∴，∴，∵，∵點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P只能在點(diǎn)C的左下方，∴設(shè)，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴當(dāng)時(shí)，；∴滿足條件且異于點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交直線于，∴，，設(shè)直線交x軸于E，由（2