新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破講義 第1部分 專題突破 專題2　培優(yōu)點(diǎn)5　平面向量“奔馳定理”（含解析）

培優(yōu)點(diǎn)5平面向量“奔馳定理”平面向量是高考的必考考點(diǎn)，它可以和函數(shù)、三角、數(shù)列、幾何等知識(shí)相結(jié)合考查．平面向量的“奔馳定理”，對(duì)于解決平面幾何問(wèn)題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問(wèn)題，更加有效快捷，有著決定性的基石作用．考點(diǎn)一平面向量“奔馳定理”定理：如圖，已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則有S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.例1已知O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋meq\o(OC,\s\up6(→))＝0，且eq\f(S△AOB,S△ABC)＝eq\f(4,7)，則實(shí)數(shù)m等于()A．2B．3C．4D．5答案C解析由奔馳定理得S△BOC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△AOC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△AOB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，又eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋meq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.∴eq\f(S△AOB,S△ABC)＝eq\f(m,1＋2＋m)＝eq\f(4,7)，解得m＝4.易錯(cuò)提醒利用平面向量“奔馳定理”解題時(shí)，要嚴(yán)格按照定理的格式，注意定理中的點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)；定理中等式左邊三個(gè)向量的系數(shù)不是三角形的面積，而是面積之比．跟蹤演練1設(shè)點(diǎn)O在△ABC內(nèi)部，且eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(S△OAB,S△OBC)＝________.答案eq\f(3,5)解析由eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，得－12eq\o(OA,\s\up6(→))＝4(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋3(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，整理得5eq\o(OA,\s\up6(→))＋4eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以eq\f(S△OAB,S△OBC)＝eq\f(3,5).考點(diǎn)二“奔馳定理”和三角形的“四心”(四心在三角形內(nèi)部)(1)O是△ABC的重心?S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶1∶1?eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(2)O是△ABC的內(nèi)心?S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝a∶b∶c?aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(3)O是△ABC的外心?S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝sin2A∶sin2B∶sin2C?sin2A·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sin2B·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sin2C·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(4)O是△ABC的垂心?S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝tanA∶tanB∶tanC?tanA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋tanB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋tanC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.考向1“奔馳定理”與重心例2已知在△ABC中，G是重心，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且56aeq\o(GA,\s\up6(→))＋40beq\o(GB,\s\up6(→))＋35ceq\o(GC,\s\up6(→))＝0，則B＝________.答案eq\f(π,3)解析依題意，可得56a＝40b＝35c，所以b＝eq\f(7,5)a，c＝eq\f(8,5)a，所以cosB＝eq\f(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)a))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)a))2,2a×\f(8,5)a)＝eq\f(1,2)，因?yàn)?<B<π，所以B＝eq\f(π,3).考向2“奔馳定理”與外心例3已知點(diǎn)P是△ABC的外心，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋λeq\o(PC,\s\up6(→))＝0，C＝eq\f(2π,3)，則λ＝________.答案－1解析依題意得，sin2A∶sin2B∶sin2C＝1∶1∶λ，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π(舍)，∴A＝B，又C＝eq\f(2π,3)，∴A＝B＝eq\f(π,6)，又eq\f(sin2B,sin2C)＝eq\f(1,λ)，∴λ＝eq\f(sin2C,sin2B)＝eq\f(sin\f(4π,3),sin\f(π,3))＝－1.考向3“奔馳定理”與內(nèi)心例4在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，O為△ABC的內(nèi)心，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，則3λ＋6μ的值為()A．1B．2C．3D．4答案C解析eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))可化為eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))－λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))－μeq\o(OB,\s\up6(→))＝0，整理得(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(λ－μ)eq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以(1－λ)∶(λ－μ)∶μ＝4∶3∶2，解得λ＝eq\f(5,9)，μ＝eq\f(2,9)，所以3λ＋6μ＝3×eq\f(5,9)＋6×eq\f(2,9)＝3.考向4“奔馳定理”與垂心例5已知H是△ABC的垂心，若eq\o(HA,\s\up6(→))＋2eq\o(HB,\s\up6(→))＋3eq\o(HC,\s\up6(→))＝0，則A＝________.答案eq\f(π,4)解析依題意，可得tanA∶tanB∶tanC＝1∶2∶3，代入tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC，可得6tanA＝6tan3A，因?yàn)閠anA≠0，所以tanA＝±1.又因?yàn)閠anA<tanB<tanC，所以tanA＝1，所以A＝eq\f(π,4).規(guī)律方法涉及三角形的四心問(wèn)題時(shí)，內(nèi)心和重心一定在三角形內(nèi)部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推論中的點(diǎn)都在三角形內(nèi)部，解題時(shí)，要注意觀察題目有無(wú)這一條件．跟蹤演練2(1)設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，且2eq\o(IA,\s\up6(→))＋3eq\o(IB,\s\up6(→))＋eq\r(7)eq\o(IC,\s\up6(→))＝0，則角C＝________.答案eq\f(π,3)解析由2eq\o(IA,\s\up6(→))＋3eq\o(IB,\s\up6(→))＋eq\r(7)eq\o(IC,\s\up6(→))＝0，可得a∶b∶c＝2∶3∶eq\r(7)，令a＝2k，b＝3k，c＝eq\r(7)k，則cosC＝eq\f(4k2＋9k2－7k2,2·2k·3k)＝eq\f(1,2)，又C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,3).(2)設(shè)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部且為△ABC的外心，∠BAC＝eq\f(π,6)，如圖．若△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為eq\f(1,2)，x，y，則x＋y的最大值是______．答案eq\f(\r(3),3)解析方法一據(jù)奔馳定理得，eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))＋xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))＝0，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝2xeq\o(PB,\s\up6(→))＋2yeq\o(PC,\s\up6(→))，平方得eq\o(AP,\s\up6(→))2＝4x2eq\o(PB,\s\up6(→))2＋4y2eq\o(PC,\s\up6(→))2＋8xy|eq\o(PB,\s\up6(→))|·|eq\o(PC,\s\up6(→))|·cos∠BPC，又因?yàn)辄c(diǎn)P是△ABC的外心，所以|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|，且∠BPC＝2∠BAC＝eq\f(π,3)，所以x2＋y2＋xy＝eq\f(1,4)，(x＋y)2＝eq\f(1,4)＋xy≤eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2，解得0<x＋y≤eq\f(\r(3),3)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(\r(3),6)時(shí)取等號(hào)，所以(x＋y)max＝eq\f(\r(3),3).方法二S△PBC∶S△PCA∶S△PAB＝sin2A∶sin2B∶sin2C，sin2A∶sin2B∶sin2C＝eq\f(1,2)∶x∶y，又∠BAC＝eq\f(π,6)，∴sin2A＝eq\f(\r(3),2)，∵x＝eq\f(\r(3),3)sin2B，y＝eq\f(\r(3),3)sin2C，∴x＋y＝eq\f(\r(3),3)(sin2B＋sin2C)＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin2B＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)－2B))))＝eq\f(\r(3),3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f(π,3))).又∵B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,6)))，∴2B－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(4π,3)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f(π,3)))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1))，∴x＋y∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))，∴(x＋y)max＝eq\f(\r(3),3).專題強(qiáng)化練1．點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，則S△ABC∶S△APC為()A．2∶1 B．3∶2C．3∶1 D．5∶3答案C解析根據(jù)奔馳定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.所以S△ABC∶S△APC＝3∶1.2．點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，設(shè)eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ和μ的值分別為()A.eq\f(2,9)，eq\f(4,9) B.eq\f(4,9)，eq\f(2,9)C.eq\f(1,9)，eq\f(2,9) D.eq\f(2,9)，eq\f(1,9)答案A解析根據(jù)奔馳定理，得3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋4(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，整理得eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→))，故λ＝eq\f(2,9)，μ＝eq\f(4,9).3．△ABC的重心為G，AB＝6，AC＝8，BC＝2eq\r(13)，則△BGC的面積為()A．12eq\r(3) B．8eq\r(3)C．4eq\r(3) D．4答案C解析cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(36＋64－52,2×6×8)＝eq\f(1,2)，又A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×6×8×sineq\f(π,3)＝12eq\r(3)，又G為△ABC的重心，∴eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，即S△AGB∶S△AGC∶S△BGC＝1∶1∶1，∴S△BGC＝eq\f(1,3)S△ABC＝4eq\r(3).4.如圖所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝60°，M為△ABC的外心，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，λ，μ∈R，則4λ＋3μ等于()A.eq\f(3,4) B.eq\f(5,3)C.eq\f(7,3) D.eq\f(8,3)答案C解析在△ABC中，由余弦定理，可得BC＝eq\r(82＋62－2×8×6cos60°)＝2eq\r(13)，所以圓M的半徑R＝eq\f(2\r(13),2sin60°)＝eq\f(2\r(39),3)，所以S△AMB＝eq\f(1,2)×8×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(39),3)))2－42)＝eq\f(8\r(3),3)，S△BMC＝eq\f(1,2)×2eq\r(13)×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(39),3)))2－\r(13)2)＝eq\f(13\r(3),3)，S△CMA＝eq\f(1,2)×6×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(39),3)))2－32)＝5eq\r(3).由eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，可得eq\o(MA,\s\up6(→))＋λeq\o(MB,\s\up6(→))－λeq\o(MA,\s\up6(→))＋μeq\o(MC,\s\up6(→))－μeq\o(MA,\s\up6(→))＝0，整理得(1－λ－μ)eq\o(MA,\s\up6(→))＋λeq\o(MB,\s\up6(→))＋μeq\o(MC,\s\up6(→))＝0，所以S△AMB∶S△BMC∶S△CMA＝μ∶(1－λ－μ)∶λ＝8∶13∶15，解得λ＝eq\f(5,12)，μ＝eq\f(2,9)，所以4λ＋3μ＝eq\f(7,3).5.(多選)如圖，設(shè)P，Q為△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，則()A.eq\f(S△ABP,S△ABC)＝eq\f(1,5) B.eq\f(S△ABQ,S△ABC)＝eq\f(1,3)C.eq\f(S△ABP,S△ABQ)＝eq\f(4,5) D.eq\f(S△ABP,S△ABQ)＝eq\f(3,4)答案AC解析由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，可得eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\f(2,5)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\f(1,5)eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，整理得eq\f(2,5)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，所以2eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，eq\f(S△ABP,S△ABC)＝eq\f(1,2＋2＋1)＝eq\f(1,5).由eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，可得eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(QB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(QC,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(QA,\s\up6(→))＝0，整理得eq\o(QA,\s\up6(→))＋8eq\o(QB,\s\up6(→))＋3eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，所以eq\f(S△ABQ,S△ABC)＝eq\f(3,1＋8＋3)＝eq\f(1,4)，eq\f(S△ABP,S△ABQ)＝eq\f(4,5).6．△ABC的內(nèi)切圓圓心為O，半徑為2，且S△ABC＝14,2eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則△ABC的外接圓面積為_(kāi)_______．答案eq\f(64π,7)解析∵2eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，且O為內(nèi)心，∴a∶b∶c＝2∶2∶3，令a＝2k，則b＝2k，c＝3k，設(shè)△ABC內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R，又S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r?eq\f(1,2)×7k×2＝14?k＝2，∴a＝4，b＝4，c＝6，∴cosC＝－eq\f(1,8)，sinC＝eq\f(3\r(7),8)，又2R＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(6,\f(3\r(7),8))?R＝eq\f(8,\r(7))＝eq\f(8\r(7),7)，∴外接圓面積S＝πR2＝eq\f(64π,7).7．若△ABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓，且3eq\o(OA,\s\up6(→))＋4eq\o(OB,\s\up6(→))＋5eq\o(OC,\s