新教材2023年秋高中數學第1章空間向量與立體幾何章末綜合提升教師用書含答案新人教A版選擇性必修第一冊

第1章空間向量與立體幾何章末綜合提升類型1空間向量的概念及運算1．空間向量的線性運算與數量積是整章的基礎內容，也是后續(xù)學習的工具，可類比平面向量的線性運算和數量積進行運算．2．向量的運算過程較為繁雜，要注意培養(yǎng)學生的數學運算素養(yǎng)．【例1】(1)(多選)如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A，B，C，D的距離都等于2.以下選項正確的是()A．SA+SBB．(SA-SC)·(C．SA-SBD．SA·SB(2)如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°.①求AC②求BD1與(1)BCD[因為SA+SB+SC+SD＝(SA+SC)＋(SB+SD)＝4SO≠0，O為AC與BD的交點，所以A錯誤；(SA-SC)·(SB-SD)＝CA·DB＝0，所以B正確；SA-SB+SC-SD＝BA+DC＝0，所以C正確；又因為底面ABCD是邊長為1的正方形，SA(2)[解]記AB＝a，AD＝b，AA1＝c，則|a|＝|b|＝|〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝12①|AC1|2＝(a＋b＋c＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×12∴|AC1|＝6.即AC1的長為②BD1＝b＋c－a，AC＝a＋∴|BD1|＝2，|AC|＝BD1·AC＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋∴cos〈BD1，AC〉＝即BD1與類型2利用空間向量證明位置關系1．用空間向量判斷空間中位置關系的類型有：線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直；判斷證明的基本思想是轉化為線線關系或者利用平面的法向量，利用向量的共線和垂直進行證明．2．將立體幾何的線面關系轉化為向量間的關系，可以培養(yǎng)學生的邏輯思維和數學運算的學科素養(yǎng)．【例2】在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M為PC的中點．(1)求證：BM∥平面PAD；(2)平面PAD內是否存在一點N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定點N的位置；若不存在，說明理由．[解](1)證明：以A為原點，以AB，AD，AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1)，∴BM＝(0，1，1)，平面PAD的一個法向量為n＝(1，0，0)，∴BM·n＝0，即BM⊥n，又BM?平面PAD，∴BM∥平面PAD．(2)BD＝(－1，2，0)，PB＝(1，0，－2)，假設平面PAD內存在一點N，使MN⊥平面PBD．設N(0，y，z)，則MN＝(－1，y－1，z－1)，從而MN⊥BD，MN⊥PB，∴MN·BD∴y=12，∴在平面PAD內存在一點N0，12，1類型3利用空間向量求距離1．空間距離的計算思路(1)點P到直線l的距離：已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設AP＝a，則向量AP在直線l上的投影向量為AQ＝(a·u)u，則點P到直線l的距離為a2(2)點P到平面α的距離：設平面α的法向量為n，A是平面α內的定點，P是平面α外一點，則點P到平面α的距離為AP·2．通過利用向量計算空間的角，可以培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和數學運算的學科素養(yǎng)．【例3】長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中點，P在線段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中點，求：(1)M到直線PQ的距離；(2)M到平面AB1P的距離．[解]如圖，建立空間直角坐標系Bxyz，則A(4，0，0)，M(2，3，4)，P(0，4，0)，Q(4，6，2)，B1(0，0，4)．(1)∵QM＝(－2，－3，2)，QP＝(－4，－2，－2)，∴QM在QP＝-2×-故M到PQ的距離為QM2-566(2)設n＝(x，y，z)是平面AB1P的一個法向量，則n⊥AB1，n⊥∵AB1＝(－4，0，4)，∴-因此可取n＝(1，1，1)，由于MA＝(2，－3，－4)，那么點M到平面AB1P的距離為d＝MA·nn＝2×1+-3×1+-4類型4利用空間向量求夾角1．利用空間向量求夾角是空間向量的重要應用，利用向量方法求夾角，可不作出角而求出角的大小，體現了向量方法的優(yōu)越性．2．通過利用向量計算空間的角，可以培養(yǎng)學生的邏輯推理和數學運算的學科素養(yǎng)．【例4】(2022·新高考Ⅱ卷)如圖，PO是三棱錐P-ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E為PB的中點．(1)證明：OE∥平面PAC；(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B的正弦值．[解](1)證明：連接OA．因為PO是三棱錐P-ABC的高，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，所以∠POA＝∠POB＝90°.又PA＝PB，PO＝PO，所以△POA≌△POB，所以OA＝OB．取AB的中點D，連接OD，DE，則有OD⊥AB．又AB⊥AC，所以OD∥AC．因為OD?平面PAC，AC?平面PAC，所以OD∥平面PAC．因為D，E分別為AB，PB的中點，所以DE∥PA．因為DE?平面PAC，PA?平面PAC，所以DE∥平面PAC．因為OD，DE?平面ODE，OD∩DE＝D，所以平面ODE∥平面PAC．又OE?平面ODE，所以OE∥平面PAC．(2)由(1)易知OA＝OB，所以OD⊥AB．以D為坐標原點，分別以DB，DO所在直線為x軸、y軸，以過點D且垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖．因為PO＝3，PA＝5，且PO⊥OA，所以OA＝OB＝4.又∠ABO＝∠CBO＝30°，所以OD＝12OB＝2，DA＝DB＝23所以P(0，2，3)，B(23，0，0)，A(－23，0，0)，E3，設AC＝a，則C(－23，a，0)．設平面AEB的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，AB＝(43，0，0)，AE＝33則AB·n所以x1＝0.令y1＝3，得z1＝－2，所以n1＝(0，3，－2)．設平面AEC的法向量為n2＝(x2