第十二章全等三角形常見全等三角形模型復習講義人教版數(shù)學八年級上冊

常見全等三角形模型（壓軸）三角形全等的判定方法：三邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）．兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）．

兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）．

兩角和其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）．斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．證明三角形全等的基本思路：全等三角形中常見的基本模型：1手拉手模型①△ABE和△ACF均為等邊三角形結(jié)論：（1）△ABF≌△AEC；（2）∠BOE=60°；（3）OA平分∠EOF．拓展圖形：結(jié)論：（1）AD=BE；（2）∠ACB=∠AOB；（3）△PCQ為等邊三角形；（4）PQ∥AE；（5）AP=BQ；（6）CO平分∠AOE；（7）OA=OB+OC；（8）OE=OC+OD．②△ABD和△ACE均為等腰直角三角形結(jié)論：（1）BE=CD；（2）BE⊥CD．③ABEF和ACHD均為正方形結(jié)論：（1）BD⊥CF；（2）BD=CF．2三垂直模型由△AEB≌△BDC導出由△ABE≌△BCD導出由△ABE≌△ECD導出AE=CD+DEAB=EC+CDBC=AB+CD3等腰直角三角形型定點是斜邊中點，BF=AE（AF=CE），動點在兩直角邊上滾動的旋轉(zhuǎn)全等：結(jié)論：（1）△BDF≌△ADE，△ADF≌△CDE；（2）DE⊥DF；（3）S四邊形AFDE=1/2S△ABC．例1．在直線ABC的同一側(cè)作兩個等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD，證明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE與DC的夾角為60°；（4）BH平分∠AHC；（5）△ABG≌△DBF；（6）等邊△GBF；（7）GF∥AC.1．以點A為頂點作兩個等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如圖1所示放置，使得一直角邊重合，連接BD，CE．（1）說明BD=CE；（2）延長BD，交CE于點F，求∠BFC的度數(shù)；（3）若如圖2放置，上面（1），（2）中的結(jié)論還成立嗎？請簡單說明理由．2．已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作等邊△ADE（頂點A、D、E按逆時針方向排列），連接CE．（1）如圖1，當點D在邊BC上時，求證：①BD=CE，②AC=CE+CD；（2）如圖2，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結(jié)論AC=CE+CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關系，并說明理由；（3）如圖3，當點D在邊BC的反向延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并直接寫出AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關系．3．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（a，0）（a＞0），點C是y軸上的一個動點，點C在y軸上移動時，始終保持△ACP是等邊三角形，當點C移動到點O時，得到等邊△AOB（此時點P與點B重合）．點C在移動的過程中，當?shù)冗吶切蜛CP的頂點P在第三象限時（如圖所示），求證：△AOC≌△ABP；（2）若點P在第三象限，BP交x軸于點E，且∠ACO＝20°，求∠PAE的度數(shù)和E點的坐標；（3）點C在y軸移動的過程中，若∠APB＝30°，則點P的橫坐標為．例2．如圖1，OA＝1，OB＝3，以A為直角頂點，AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求點C的坐標；（2）如圖2，P為y軸負半軸上的一個動點，當點P向下運動時，以P點為直角頂點，PA為腰作等腰Rt△APQ，過Q作QE⊥x軸于E點，求PO﹣QE的值．1．如圖，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，請按照圖中所標注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍成的圖形的面積S是（）．A．50 B．62 C．65 D．682．直線CD經(jīng)過的頂點C，CA=CB．E、F分別是直線CD上兩點，且．（1）若直線CD經(jīng)過的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，請解決下面兩個問題：①如圖1，若，則（填“”，“”或“”號）；②如圖2，若，若使①中的結(jié)論仍然成立，則與應滿足的關系是；（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過的外部，，請?zhí)骄縀F、與BE、AF三條線段的數(shù)量關系，并給予證明．AABCEFDDABCEFADFCEB圖1圖2圖33．（1）如圖1，OA＝3，OB＝6，以點A為頂點，AB為腰在第三象限作等腰直角△ABC，則C點的坐標為；（2）如圖2，OA＝3，P為y軸負半軸上的一個動點，若以P為直角頂點，PA為腰作等腰直角△APD，過D作DE⊥x軸于E點，求OP﹣DE的值；（3）如圖3，點F坐標為（﹣3，﹣3），點G（0，m）在y軸負半軸上，點H（n，0）在x軸的正半軸上，且FH⊥FG，求m+n的值．4．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A在y軸上，頂點C在x軸上，∠BAC=90°，AB=AC，點E為邊AC上一點，連接BE交y軸于點F，交x軸于點G，作CD⊥BE交BE延長線于點D，且CD=BF，連接AD，CF.（1）求證：△ABF≌△ACD；（2）若∠ACF=2∠CBF，求證：∠ACO=∠FCO；（3）在（2）的條件下，若點A的坐標為（0，2），求OC的長.5．已知：如圖所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為AC中點，AF⊥BD于E，交BC于F，連接DF．求證：∠ADB=∠CDF．例3．如圖1，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊邊AB、BC上的動點，點P從頂點A向點B運動，點Q從頂點B同時出發(fā)向點C運動，且它們的速度都為，（1）連接AQ、CP交于點M，則在P、Q運動的過程中，變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；（2）何時是直角三角形？（3）如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．1．如圖，點G、H分別是正六邊形ABCDEF的邊BC、CD上的點，且BG＝CH，AG交BH于點P．（1）求證：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度數(shù)．例4．如圖，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點O是BC的中點，如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，并在移動過程中始終保持AN=BM．（1）求證：△ANO≌△BMO；（2）求證：OM⊥ON．（3）當M、N分別在線段AB、AC上移動時，四邊形AMON的面積如何變化？1．如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC．（1）若D為BC的中點，過D作DM⊥DN分別交AB．AC于M．N，求證：DM=DN；（2）若DM⊥DN分別和BA．