平穩(wěn)時(shí)間序列-計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)及Stata應(yīng)用

?陳強(qiáng)，2015年，《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)及

Stata應(yīng)用》，高等教育出版社。第13章平穩(wěn)時(shí)間序列“時(shí)間序列數(shù)據(jù)”分為“平穩(wěn)序列”(stationary)與“非平穩(wěn)序列”(non-stationary)兩大類，需使用不同的計(jì)量方法。本章介紹平穩(wěn)序列，下一章介紹非平穩(wěn)序列。13.1

時(shí)間序列的自相關(guān)時(shí)間序列指同一個(gè)體在不同時(shí)點(diǎn)上的觀測(cè)數(shù)據(jù)。比如，在

1978-2013年期間，中國(guó)每年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值。2對(duì)于離散時(shí)間

1,

2, ,

T ，可將時(shí)間序列寫(xiě)為每個(gè)yt

都是隨機(jī)變量。y

,

y

, ,

y1

2

T時(shí)間序列的最大特點(diǎn)是存在自相關(guān)，不同期的觀測(cè)值之間存在相關(guān)性。定義 時(shí)間序列yt的

k

階自協(xié)方差(autocovariance

of

order

k)kt

t

kCov(

y

,

y

)

E (

y)((y13.1)t

t

k)其中，

E(

y)為總體均值。k

反映同一變量(y

)相隔k

期之間的自相關(guān)程度。當(dāng)k

0時(shí)，0Var(y)。對(duì)

k

的估計(jì)值為樣本自協(xié)方差：?kt1T

kT

k(

yt

y

)t(

yk1

(13.2)y

)T1T2tt

1其中，

yy為樣本均值。自協(xié)方差受變量單位的影響。為此，將其標(biāo)準(zhǔn)化。定義 時(shí)間序列為yt的

k

階自相關(guān)系數(shù)(autocorrelation

of

ordertk

Var(

y

)kCorr(

yt

,)ytCov(

yt

,

ytk()13.3)自相關(guān)系數(shù)k

將自協(xié)方差k

標(biāo)準(zhǔn)化為介于[1,1]之間的量。對(duì)于嚴(yán)格平穩(wěn)過(guò)程，

k

不依賴于具體時(shí)間，僅是滯后階數(shù)k

的函數(shù)，稱為“自相關(guān)函數(shù)”(Autocorrelation

Function，簡(jiǎn)記

ACF)。將(k,k

)畫(huà)成圖，即為“自相關(guān)圖”(correlogram)。對(duì)

k

的估計(jì)值為樣本自相關(guān)系數(shù)：?

?k02?k(13.4)其中，2y

)0

?

T1T1(

ytt

1為樣本方差。這些數(shù)字特征是時(shí)間序列固有的特征，不依賴于模型設(shè)定。在設(shè)定模型時(shí)，應(yīng)盡可能與這些數(shù)字特征一致。2在橫軸1980-2010

期間，每隔

10

年做個(gè)標(biāo)注(label)。例 使用數(shù)據(jù)集

gdp_china.dta

考察

1978-2013

年，中國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(1978

年不變價(jià)格，億元)，記為

y。定義時(shí)間變量后，看

GDP

的時(shí)間趨勢(shì)(參見(jiàn)圖

13.1)。.

use

gdp_china.dta,clear.

tsset

year.

tsline

y,xlabel(1980(10)2010)其中，“tsline”表示畫(huà)時(shí)間趨勢(shì)圖，在此等價(jià)于命令“l(fā)ine

gdpyear”(year為時(shí)間變量)?！皒label(1980(10)2010)”表示02GDP

(1978年不變價(jià)格,億元)20000

40000

60000

80000

1000001980199020002010Year圖

13.1 GDP

的指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)(1978-2013)GDP

存在指數(shù)增長(zhǎng)(exponential

growth)的趨勢(shì)。通常的處理方法是，將 GDP

取對(duì)數(shù)，把指數(shù)趨勢(shì)變?yōu)榫€性趨勢(shì)。計(jì)算 GDP

對(duì)數(shù)，再次畫(huà)時(shí)間趨勢(shì)圖(參見(jiàn)圖 13.2)。.

gen

lny=log(y).

tsline

lny,xlabel(1980(10)2010)8291112GDP對(duì)數(shù)

(1978年1不0變價(jià)格,億元)1980199020002010Year圖

13.2 GDP

對(duì)數(shù)的線性增長(zhǎng)趨勢(shì)(1978-2013)GDP

對(duì)數(shù)存在線性趨勢(shì)，但依然不平穩(wěn)(期望值不斷增長(zhǎng))。將

GDP

對(duì)數(shù)進(jìn)行一階差分，然后畫(huà)時(shí)間趨勢(shì)圖。.

gen

dlny=d.lny.

tsline

dlny,xlabel(1980(10)2010).1431GDP對(duì)數(shù)差分(1978年不變價(jià)格,億元).04

.06

.08

.1.121980199020002010Year圖

13.3 GDP

對(duì)數(shù)差分的時(shí)間趨勢(shì)(1978-2013)31ln

yt

不存在明顯的時(shí)間趨勢(shì)，可大致視為平穩(wěn)序列。之所以考察

GDP

對(duì)數(shù)差分，因?yàn)樗s等于

GDP

的增長(zhǎng)率：t

yt

1ytty

1yyytln

1ln

ytlnty

1lnyt1ln

ytlnytyt

1t

1(13.5)其中，根據(jù)泰勒展開(kāi)的一階近似，當(dāng)x0時(shí)，ln1

xx

。有時(shí)直接將ln

yt

視為yt

的增長(zhǎng)率。如增長(zhǎng)率較高，則誤差較大。直接計(jì)算

GDP

的增長(zhǎng)率(記為

g)，并與

GDP

對(duì)數(shù)差分進(jìn)行畫(huà)圖比較(參見(jiàn)圖

13.4)。(.1gmeinsgs=i(nyg-vla.lyu)e/lg.eynerated).05.1.

tsline

dlny

g,xlabel(1980(10)2010)lpattern(dash).1519801990

20002010YearGDP對(duì)數(shù)差分(1978年不變價(jià)格,億元)31g圖

13.4 GDP

增長(zhǎng)率的兩種計(jì)算方法(1978-2013)31通過(guò)自相關(guān)圖，考察

GDP

對(duì)數(shù)差分的各階自相關(guān)系數(shù)。.

corrgram

dlny其中，“corrgram”表示 correlogram，即畫(huà)自相關(guān)圖。LAGACPACQProb>Q[Autocorrelation][PartialAutocor]10.53600.545410.9430.00092-0.0298-0.451510.9780.00413-0.25790.020513.6690.00344-0.3405-0.331118.5140.00105-0.4687-0.367127.9980.00006-0.4371-0.309236.5310.00007-0.1425-0.079037.470.000080.1774-0.041838.980.000090.3220-0.160044.1430.0000100.2768-0.067048.1130.0000110.1179-0.172248.8630.0000120.0341-0.056948.9280.000013-0.0123-0.200048.9370.000014-0.0322-0.037849.0010.000015-0.0743-0.085149.3590.0000-

-11100131使用畫(huà)自相關(guān)圖的另一命令。.

ac

dlny,lags(20)其中，“ac”表示 autocorrelation

；選擇項(xiàng)“l(fā)ags(20)”表示畫(huà) 1-20

階的自相關(guān)圖；默認(rèn)所畫(huà)的最高階數(shù)為min{floor(n

/

2) 2,

40}，其中floor(n

/

2)不超過(guò)n

/

2的最大整數(shù)。參見(jiàn)圖 13.5。-0.50310.50Autocorrelations

of

dlngdp

0.000

5152010LagBartlett"s

formula

for

MA(q)

95%

confidence

bands圖

13.5 GDP

對(duì)數(shù)差分的自相關(guān)圖一階與五階自相關(guān)系數(shù)顯著不為

0，其他階不顯著。3113.2

一階自回歸此前均強(qiáng)調(diào)以回歸模型推斷因果關(guān)系。從客戶角度僅關(guān)心某變量(比如股價(jià))的未來(lái)值，可用該變量的過(guò)去值來(lái)預(yù)．測(cè)．其未來(lái)值(因?yàn)闀r(shí)間序列一般存在自相關(guān))。這種模型稱為“單變量時(shí)間序列”(univariate

time

series)。此時(shí)可不必理會(huì)因果關(guān)系，只考慮相關(guān)關(guān)系即可。比如，看到街上有人帶傘，可預(yù)測(cè)今天下雨，但行人帶傘并不導(dǎo)致下雨。31最簡(jiǎn)單的預(yù)測(cè)方法為，使用過(guò)去值預(yù)測(cè)當(dāng)前值，即一階自回歸模型(AR(1))：2t, ,

T

)

(13.6)01

ytyt

1(t其中，擾動(dòng)項(xiàng)t

為白噪聲，故Cov(t

,

s

)

0,

t

s。假設(shè)自回歸系數(shù)由于yt

1依賴于1yt1，則t

1,

,

1為漸近獨(dú)立的平穩(wěn)過(guò)程。，而擾動(dòng)項(xiàng)

t

與t

1,

,

1yt1為前定變量，與

t

不相關(guān)，故

OLS

一致。使用

OLS

將損失一個(gè)樣本容量。31為提高估計(jì)效率，可使用

MLE

(須假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布)。繼續(xù)上例，以

OLS

估計(jì)

ln

yt

的一階自回歸模型。僅使用

2013

年前的數(shù)據(jù)回歸，然后預(yù)測(cè)

2013

年的

GDP。.

reg

dlny

l.dlny

if

year<2013,r由于假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)

t

無(wú)自相關(guān)，故使用異方差穩(wěn)健的標(biāo)準(zhǔn)誤即可，不必使用異方差自相關(guān)穩(wěn)健的

HAC

標(biāo)準(zhǔn)誤。31dlnyCoef.RobustStd.

Err.tP>|t|[95%

Conf.Interval]dlnyL1..5362727.14878883.600.001.2328159.8397295_cons.0437698.01440493.040.005.0143908.0731488LinearregressionNumberofobs=33F(

1,31)=12.99Prob

>F=0.0011R-squared=0.2879Root

MSE=.02147可得如下回歸方程(常數(shù)項(xiàng)與斜率均在

1%水平上顯著)：lt

n

y0.0437698

0.53627t271l(n13y.7)ltn

y

，并記為

dlny1。計(jì)算回歸方程的擬合值，即.

predict

dlny1(option

xb

assumed;

fitted

values)(2

missing

values

generated).

list

dlny1

if

year==201336..083309dlny131因此，ln

y20130.083309。由于ln

y2013ln

y2012ln

y2013

，故

2013

年

GDP

的預(yù)測(cè)值

為y2013expln

y2012ln

y2013。31在

Stata

中，使用“x[n]”表示變量x

的第n

個(gè)觀測(cè)值，故可計(jì)算如下：.

dis

exp(lny[35]+dlny1[36])95985.114其中，“l(fā)ny[35]”表示變量lny

的第35

個(gè)觀測(cè)值(即2012

年)，而“dlny1[36]”表示變量dlny1

的第36

個(gè)觀測(cè)值(即2013

年)，因?yàn)闃颖救萘繛?6。根據(jù)AR(1)模型，2013

年

GDP

的預(yù)測(cè)值為

95,985.114

億元(1978年不變價(jià)格)。對(duì)比

2013

年的實(shí)際

GDP，并計(jì)算預(yù)測(cè)誤差，即(

y2013y2013

)：31.

dis

y[36]95089.211.

dis

y[36]-exp(lny[35]+dlny1[36])-895.90347預(yù)測(cè)誤差為-895.90347

億元，高估了

895.90347

億元。13.3

高階自回歸在

AR(1)模型中，假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)無(wú)自相關(guān)，故

OLS

一致。如模型為

AR(2)，被誤設(shè)為

AR(1)，則二階滯后項(xiàng)2

yt2

被納入擾動(dòng)項(xiàng)：311

yt

1

(

2

yt2

t

)(13.8)yt0由于擾動(dòng)項(xiàng)為(2

yt

2t

)，故與yt1相關(guān)，OLS

不一致；須引入2

yt2

才能得到一致估計(jì)。從預(yù)測(cè)的角度，高階滯后項(xiàng)可能包含有用信息?？紤]

p

階自回歸模型，記為

AR(p)：yt01

yt

1p

yt

pt(13.9)其中，擾動(dòng)項(xiàng)t

為白噪聲(無(wú)自相關(guān))，故

OLS

一致。31通常不知道滯后期

p

。如何估計(jì)

p?

？方法一：設(shè)最大滯后期

pmax

，令

p?數(shù)的顯著性進(jìn)行t

檢驗(yàn)。pmax

進(jìn)行估計(jì)，對(duì)最后一個(gè)滯后期系pmax如接受該系數(shù)為

0，令

p?

1，重新估計(jì)，再對(duì)(新的)最后一p?個(gè)滯p后max期2的；系以數(shù)此進(jìn)類行推t

。檢驗(yàn)，如顯著，則停止；否則，令此準(zhǔn)則稱為“由大到小的序貫

t

規(guī)則”

(general-to-specificsequential

t

rule)。31方法二：使用信息準(zhǔn)則，選擇

p?

使

AIC

或

BIC

最小化，分別記為

p?AIC

與p?BIC

。比如，T

SSR

T2

(

p

1)(13.10)mip

n

AIC

ln其中，SSR

為殘差平方和。p?BIC

是真實(shí)滯后階數(shù)

p

的一致估計(jì)，p?AIC

在大樣本中可能高估

p

。在小樣本中，這兩種信息準(zhǔn)則難分優(yōu)劣，都很常用。實(shí)踐中，可結(jié)合以上兩種方法來(lái)確定

p?

。31如二者結(jié)果不一致，為了保守起見(jiàn)(盡量避免遺漏變量偏差)，可取二者滯后階數(shù)的大者。還可檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臍埐钍欠翊嬖谧韵嚓P(guān)(比如，使用

Q

檢驗(yàn))；如果殘差存在自相關(guān)，則須擴(kuò)大滯后階數(shù)?；氐缴瞎?jié)

GDP

對(duì)數(shù)差分的例子。首先，使用信息準(zhǔn)則確定滯后階數(shù)

p

。.

quietly

reg

dlny

l.dlny

if

year<2013,r.

estat

icNote:N=Obs

used

in

calculating

BIC;

see

[

R]

BIC

note31ModelObsll(null)ll(model)dfAICBIC.3375.3593880.961152-157.9223-154.9293Akaike"s

information

criterion

and

Bayesian

information

criterionAR(1)的

AIC

為-157.9223，BIC

為-154.9293。估計(jì)AR(2)模型，并計(jì)算信息準(zhǔn)則。.

reg

dlny

l(1/2).dlny

if

year<2013,r其中，“l(fā)(1/2).dlny”表示變量

dlny

的

1-2

階滯后。31dlnyCoef.RobustStd.

Err.tP>|t|[95%

Conf.Interval]dlnyL1..7711595.13044625.910.000.50436711.037952L2.-.4487175.1530057-2.930.007-.7616494-.1357857_cons.0641134.01284984.990.000.0378326.0903943R-squared=0.4234Root

MSE=.01979Number

of

obs

=F(

2,Prob

>

FLinear

regression3229)

=

17.51=

0.0000dlny

的二階滯后

L2.dlny

依然在

1%水平上顯著，故根據(jù)序貫t

規(guī)則，滯后階數(shù)

p

應(yīng)至少大于或等于

2。.

estat

icNote:N=Obs

used

in

calculating

BIC;

see

[

R]

BIC

note31ModelObsll(null)ll(model)dfAICBIC.3272.8894381.699363-157.3987-153.0015Akaike"s

information

criterion

and

Bayesian

information

criterionAR(2)的

AIC

為-157.3987，BIC

為-153.0015；均比

AR(1)略有上升。故根據(jù)信息準(zhǔn)則，應(yīng)選擇

p

1，即

AR(1)模型。進(jìn)一步估計(jì)

AR(3)模型。.

reg

dlny

l(1/3).dlny

if

year<2013,r31dlnyCoef.RobustStd.

Err.tP>|t|[95%

Conf.Interval]dlnyL1..7557034.12613595.990.000.49689391.014513L2.-.4943798.1785691-2.770.010-.8607733-.1279864L3..0204783.17119940.120.906-.3307938.3717504_cons.0692315.01541374.490.000.0376052.1008579LinearregressionNumberofobs=31F(

3,27)=12.82Prob

>

F=0.0000R-squared=0.4459Root

MSE=.01907dlny

的三階滯后很不顯著，根據(jù)序貫t

規(guī)則，應(yīng)選擇

p

2。綜合以上結(jié)果，為避免遺漏變量偏差，應(yīng)按照序貫t

規(guī)則選擇

AR(2)模型。31使用命令

corrgram

對(duì)殘差進(jìn)行

Q

檢驗(yàn)也表明，AR(1)的殘差存在自相關(guān)，而

AR(2)的殘差無(wú)自相關(guān)(參見(jiàn)習(xí)題)。使用AR(2)模型預(yù)測(cè)

GDP，并與

AR(1)的預(yù)測(cè)效果對(duì)比。.

quietly

reg

dlny

l(1/2).dlny

if

year<2013,r.

predict

dlny2(option

xb

assumed;

fitted

values)(3

missing

values

generated).

dis

exp(lny[35]+dlny2[36])95769.998.

dis

y[36]-exp(lny[35]+dlny2[36])-680.7868831對(duì)于

2013

年的

GDP，AR(2)模型的預(yù)測(cè)誤差為-680.78688

億元，即高估了

680.78688

億元；AR(1)模型則高估了

895.90347

億元。AR(2)的預(yù)測(cè)效果優(yōu)于

AR(1)，因?yàn)槎A滯后仍包含有用信息。13.4

自回歸分布滯后模型在

AR(p)模型中，為了提高預(yù)測(cè)力，也可引入其他解釋變量，構(gòu)成“自回歸分布滯后模型”

(Autoregressive

Distributed

LagModel，簡(jiǎn)記

ADL(p,

q)或

ARDL(p,

q))：yt01

yt

1

p

yt

p

1xt

1

q

xt

q為平穩(wěn)3序1

列，故均值不隨時(shí)間而變，分別記為yp為y的自回歸階數(shù)，而q為x

的滯后階數(shù)。假定擾動(dòng)項(xiàng)

t

為白噪聲，則

OLS

一致。對(duì)于滯后階數(shù)(

p,

q)的選擇，可使用信息準(zhǔn)則(AIC

或

BIC)，或進(jìn)行序貫檢驗(yàn)，即使用t

或F

檢驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)最后一階系數(shù)的顯著性。在

ADL

模型中，也可引入更多的解釋變量；比如，變量z

的r

階滯后(zt

1, ,

zt

r

)。對(duì)于

ADL

模型(13.11)，解釋變量xt這并非長(zhǎng)期效應(yīng)。1

對(duì)于yt

的邊際效應(yīng)為

1，但由于與x*。yt與xt*將方程(13.11)兩邊同時(shí)求期望：y*y*qy*x*x*01p1(13.12)整理可得1(q(1)

y*1p0)x(*13.13)x*

增加一單位對(duì)y*的邊際效應(yīng)為dy*dx*

110011

pq(13.14)這就是x

永久性增加一單位對(duì)y的長(zhǎng)期效應(yīng)，也稱“長(zhǎng)期乘數(shù)”(long-run

multiplier)。100例 Chen(2015)研究中原王朝與北方游牧民族邊界緯度(border)的決定因素。時(shí)間序列數(shù)據(jù)集 border.dta

以每十年作為觀測(cè)單位(時(shí)間變量為decade)，從公元前 221

年秦朝建立至 1911

年清朝滅亡，共有

213個(gè)觀測(cè)值。主要解釋變量：中原王朝早于游牧政權(quán)建立的年數(shù)(diff)，中國(guó)北方在十年中發(fā)生旱災(zāi)的年數(shù)比例(drought)。其他控制變量：中原王朝的絕對(duì)年齡(age)，游牧對(duì)手?jǐn)?shù)目(rival)，中原是否在長(zhǎng)城的有效保護(hù)之下(wall)，中國(guó)是否統(tǒng)一(unified)。100信息準(zhǔn)則與序貫規(guī)則均支持 ADL(2,

1)模型：0bordert

1bordert12

12bordert

1droughtt4rivalt

5wallt

6unifiedt2difft

3aget(13.15)其中，變量 diff,

age,

rival,

wall

與 unified

被認(rèn)為只有當(dāng)期作用而氣候變量 drought

則存在滯后效應(yīng)。.

use

border.dta,

clear.

tsset

decade.

reg

border

l(1/2).border

l.drought

diff

agerival

wall

unified,r100borderCoef.RobustStd.

Err.tP>|t|[95%

Conf.Interval]borderL1.1.518284.13310811.410.0001.2558251.780744L2.-.5586965.1278243-4.370.000-.8107376-.3066555droughtL1.-.6333046.3009855-2.100.037-1.226781-.0398281diff-.0069699.0028159-2.480.014-.0125222-.0014175age-.0264399.0123658-2.140.034-.0508224-.0020573rival.34148.14550192.350.020.0545827.6283772wall.7339998.22032023.330.001.29957741.168422unified.4078538.22306561.830.069-.0319819.8476894_cons.8189595.4726031.730.085-.11290851.750827R-squared=0.9854Root

MSE=1.0889Linear

regressionNumber

of

obs

=

211

F(

8,202)

=

2040.71

Prob

>

F

=0.0000被解釋變量

border

的兩階滯后均在

1%水平上顯著。變量L1.drought

在

5%水平上顯著為負(fù)，說(shuō)明氣候越干旱，則游牧民族越會(huì)為了生存而進(jìn)攻中原王朝，從而將游牧邊界推向南方。變量

diff

也在

5%水平上顯著為負(fù)，說(shuō)明中原王朝越早于游牧政權(quán)建立(根據(jù)王朝周期假說(shuō)，中原相對(duì)更弱)，則北方邊界緯度越低。計(jì)算氣候沖擊對(duì)游牧邊界的長(zhǎng)期效應(yīng)：假如

drought

永久性增加增加到從年年無(wú)災(zāi)到年年旱災(zāi) ，則中國(guó)北方邊界一緯單度位將，變即化從[011(

)1(1

2

)]度。代入相應(yīng)系數(shù)估計(jì)值可得：.

dis

-.6333046/(1-1.518284+.5586965)-15.671008氣候沖擊對(duì)游牧邊界的長(zhǎng)期效應(yīng)為

15.67

度，這是一個(gè)很大的效應(yīng)(從北京到?？诘木暥炔罹嗉s100

為

20

度)。13.5

誤差修正模型從經(jīng)濟(jì)理論而言，相關(guān)的變量之間可能存在長(zhǎng)期的均衡關(guān)系，而變量的短期變動(dòng)則是向著長(zhǎng)期均衡關(guān)系的部分調(diào)整。“誤差修正模型”(Error

Correction

Model，ECM)體現(xiàn)這一思想?？紤]最簡(jiǎn)單的ADL(1,1)模型：yt01

yt

11xt

1t(13.16)1其中，

1，故為平穩(wěn)過(guò)程。假設(shè)經(jīng)濟(jì)理論認(rèn)為(y,x)之間存在長(zhǎng)期均衡關(guān)系：y

x(13.17)100100其中，

與 為待定參數(shù)。tt

1E(

y

) E(

y對(duì)

方

程

(13.16)

兩

邊

求

期

望

，

并

令

y*)

，ttx*E(x

)

E(x)1，可得0y*y*

x*11(13.18)整理可得x*y*0(11()111

)(13.19)由此可知，0，1111。11001其中，11為長(zhǎng)期乘數(shù)，衡量當(dāng)x

永久性變化一單位時(shí)，將導(dǎo)致y的永久性變化幅度。顯然，

(1

)

，0

1在方程(13.16)兩邊同減yt

1：1(11)

。yt0(11

)

yt1(11x3t.210)t代入0(11

)

以及1(11

)

：(1

(13.21

1))yt

(1整理可得1

)(11

)

yt1xt1t100yt

(1error

correction1

)

(

yt1(13.22)(

yt

1xt1

)

衡量上一期對(duì)均衡條件“

y

x

”的1

1)(

yt

1

xt差)，而(

1

)為根據(jù)上期的誤差所作的反向修稱為“誤差修正項(xiàng)”(error

correction

term)。如

果

(

yt1xt

1

)y0t

1高，

于即

其

均

衡

值

，

則1( 1)(

yt1xt

1

) 0，故平均而言

yt

0，使下一期更衡條件。一般的

ADL

模型都可轉(zhuǎn)換成

ECM

模型。(誤差修正模型的經(jīng)濟(jì)含義明確，可分別考察長(zhǎng)期效應(yīng) 長(zhǎng)期均衡由于yt

可被看成是白噪聲的移動(dòng)100關(guān)系)與短期效應(yīng)(誤差修正效應(yīng))。13.6

移動(dòng)平均與ARMA模型另一類時(shí)間序列模型為“移動(dòng)平均過(guò)程”

(MovingProcess，簡(jiǎn)記

MA)。Average記一階移動(dòng)平均過(guò)程為

MA(1)：yttt

1(13.23)其中，t為白噪聲，而t

的系數(shù)被標(biāo)準(zhǔn)化為

1。平均，故名。100考慮q階移動(dòng)平均過(guò)程，記為

MA(q)：t

1t

12

t

2yt(1q3.2t4)q假設(shè)t為

iid

且服從正態(tài)分布，可進(jìn)行

MLE

估計(jì)。將

AR(p)與

MA(q)結(jié)合起來(lái)，可得

ARMA(p,

q)模型：01

yt

p

yt1

p

t

1yt

(t

131

.25)q

tt其中， 為白噪聲。對(duì)于

ARMA(p,

q)模型，也可進(jìn)行

MLE

估計(jì)。100對(duì)于

MA(q)，如果qMA(

)：yt，可得無(wú)窮階移動(dòng)平均過(guò)程，記為t1

t

12

t

2(13.26)j

t

jj

001其中，

(標(biāo)準(zhǔn)化為

1)。MA( )相當(dāng)于將yt

的決定因素追溯到無(wú)窮遠(yuǎn)的過(guò)去。無(wú)窮多個(gè)隨機(jī)變量之和，能否收斂到某個(gè)隨機(jī)變量？常用的充分條件是，序列jj為0“絕對(duì)值可加總”(AbsolutelySummable，簡(jiǎn)記

AS)，即

j0j(有限)。100在 AS

的條件下，MA( )有定義。雖然樣本容量T

通常有限，無(wú)法追溯到無(wú)窮遠(yuǎn)的過(guò)去，但

MA(

)在理論上有重要意義，因?yàn)?/p>

AR(p)與

ARMA(p,

q)都可寫(xiě)為

MA(

)的形式(參見(jiàn)下文)。t0y1

t

113.命7題脈沖對(duì)響于應(yīng)y函數(shù)t，假設(shè)1

，則1此AR(1)是MA( )。證明：反復(fù)使用迭代法可得001t1

t

1

t0t

21

t

2 1

t

1

t1

t

2

1

t

3yt01

yt

1t1

(0t1

yt

22

y1

)t)0(()(113

y221010

1

)1

t

21

2t

(

1y0

1

1 0

1

1

t

2

)3t

3(12)011t21

t

133t1

t

11t21t

3(13.27)其中，無(wú)窮等比級(jí)數(shù)之和(1上式為

MA( )的形式。112)等于1(11001

)?？蓪⑵椒€(wěn)的

AR(1)看成是過(guò)去所有擾動(dòng)項(xiàng)的總效應(yīng)之和，離現(xiàn)在越遠(yuǎn)的擾動(dòng)項(xiàng)其影響力呈幾何級(jí)數(shù)遞減。從

AR(1)的MA()表達(dá)式可知：1

jtIRF

(

j)ytj(13.28)yt100擾j動(dòng)項(xiàng)均的不變)，對(duì)相隔j

期的ytmultiplier)。t表示，當(dāng)?shù)?/p>

t

期的擾動(dòng)項(xiàng)t

變化

1

單位時(shí)(而其他期j

的影響，稱為“動(dòng)態(tài)乘子”(dynamic動(dòng)態(tài)乘子與絕對(duì)時(shí)間

t

無(wú)關(guān)，是時(shí)間間隔

j

的函數(shù)。將ytRejsponse

Function，簡(jiǎn)記

IRF)。t視為

j

的函數(shù)，稱為“脈沖響應(yīng)函數(shù)”(Impulse它刻畫(huà)的是yt

j

對(duì)t

的

1

單位脈沖(impulse)的響應(yīng)(response)。畫(huà)圖，即可得到對(duì)

IRF

的直觀認(rèn)識(shí)，稱為“脈y

t沖t

j100將

j,響應(yīng)圖”。類似地，AR(p)也是MA( )。更一般地，ARMA(p,

q)也是

MA( )。為計(jì)算脈沖響應(yīng)函數(shù)(IRF)，將

AR(p)視為一維的向量自回歸(Vector

Autoregression，簡(jiǎn)記

VAR，參見(jiàn)下節(jié))，使用以下命令：varbasic

x

y

z,lags(numlist)

irf其中，“varbasic”為估計(jì)

VAR

模型的便捷命令，而“x

y

z”為

VAR

模型所包含的變量(此例中只有一個(gè)變量)。選擇項(xiàng)“l(fā)ags(numlist)”表示滯后階數(shù)，默認(rèn)為“l(fā)ags(12)”或“l(fā)ags(1/2)”，即滯后二100

階。選擇項(xiàng)“irf”表示畫(huà)脈沖響應(yīng)圖。例 以數(shù)據(jù)集

gdp_china.dta

為例，考察

GDP

對(duì)數(shù)差分(dlny)的自回歸模型。100首先，估計(jì)

dlny

的

AR(1)模型(為與上文一致，不包括

2013

年的觀測(cè)值)，并畫(huà)脈沖響應(yīng)圖(參見(jiàn)圖

13.6)。.Vecvtoarraubtoaresgriescsiodn

lny

if

year<2013,lags(1)

irfSample: 1980

-

2012

No.

of

obs

=

33Log

likelihood

=

80.96115

AIC

= -4.785524FPE

=

.0004889

HQIC

= -4.755008Det(Sigma_ml)

=

.0004331

SBIC

= -4.694827Equation

Parms

RMSE

R-sq

chi2

P>chi2dlny

2

.021471

0.287913.34017

0.0003dlnyCoef.Std.

Err.zP>|z|[95%

Conf.Interval]dlnydlnyL1._cons.5362727.14682673.650.000.2484976.8240478.0437698.01431973.060.002.0157037.071836使用命令

varbasic的估計(jì)系數(shù)與命令“

reg

dlngdp0.50268l.dlngdp”完全相同，只是命令

varbasic

不提供異方差穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤的選擇項(xiàng)(時(shí)間序列一般不存在異方差問(wèn)題)。varbasic,

dlny,

dlny14step10095%CI impulse-response

function

(irf)Graphs

by

irfname,

impulse

variable,

and

response

variable圖

13.6 AR(1)模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)AR(1)模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)呈指數(shù)衰減，從當(dāng)期的一單位沖擊逐漸衰減為

0，與方程(13.28)的

IRF

表達(dá)式一致。其次，估計(jì)

dlny

的

AR(2)模型，畫(huà)

IRF

圖(參見(jiàn)圖

13.7)。.

vVaecrtobr

aautosreigrcessidonlny

if

year<2013,irfSample: 1981

-

2012No.

of

obs=32Log

likelihood

=

81.69936AIC=-4.91871FPE=.0004282HQIC= -4.873162Det(Sigma_ml)

=SBIC= -4.781298Equation.0003548ParmsRMSER-sqP>chichi22dlny3.0197850.42340.00023.498540dlnyCoef.Std.

Err.zP>|z|[95%

Conf.Interval]dlnydlnyL1..7711595.15937464.840.000.4587911.083528L2.-.4487175.157661-2.850.004-.7577275-.1397076_cons.0641134.01483484.32100.000.0350377.0931892-.50.510268varbasic,

dlny,

dlny4step10095%

CI impulse-response

function

(irf)Graphs

by

irfname,

impulse

variable,

and

response

variable圖

13.7 AR(2)模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)AR(2)模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)不再單調(diào)遞減，更具動(dòng)態(tài)特征，先下降，變?yōu)樨?fù)數(shù)后再反彈上升，又下降并趨于

0。10013.8

向量自回歸過(guò)程常同時(shí)關(guān)心幾個(gè)變量的預(yù)測(cè)，如

GDP

增長(zhǎng)率與失業(yè)率。一種方法是用單變量時(shí)間序列對(duì)每個(gè)變量分別作預(yù)測(cè)。另一方法將這些變量放在一起，作為一個(gè)系統(tǒng)來(lái)預(yù)測(cè)，使得預(yù)測(cè)相互自洽(mutually

consistent)

，稱為“多變量時(shí)間序列”

(multivariate

time

series)。Sims(1980)提倡的“向量自回歸”(Vector

Autoregression，簡(jiǎn)記

VAR)正是這樣的方法。100假設(shè)有兩個(gè)時(shí)間序列變量。y1t

,

y2t，分別作為兩個(gè)回歸方程的被解釋解釋變量為這兩個(gè)變量的

p

階滯后值，構(gòu)成二元的

VAR(p)系統(tǒng)：y1,

t

p

21y1t

10 11

y1,

t

1 1

p

y1,

t

p2yt

20

21y

1,

t

1 2

p

y

2,

ty1 2

p2,

t

p

2t1t11

y2,

t

11(13.29)其中，

1t

與

2t

均為白噪聲(無(wú)自相關(guān))，但允許兩個(gè)方程動(dòng)項(xiàng)之間存在“同期相關(guān)性”(contemporaneous

correlation)：Cov(

1t,2s)若t

s12其他0(13.30)100VAR

的兩個(gè)方程，其解釋變量完全相同?？梢愿?jiǎn)潔地寫(xiě)在一起：1011111

py1ty2

p1

p1ty1,

t

p2,

t

11,

t

12t2021y2,

t

p212t2

pyy(13.31)將同期變量合成列向量，把相應(yīng)系數(shù)合并為矩陣可得1ty212t11t101111

y1,

t

11

p1y,

tp

py2t2021

y2,

t

1 2

p2

py2,

tp(13.32)noise

process)，或“新息過(guò)程1”00

(innovation

process)。記yty1ty2t，1tt2t，則有101111211

p1

pt

p

t2

p

p

2

pytt

12021y01y(13.33)定義相應(yīng)的系數(shù)矩陣為0

,

1,,p

，可得p

y(t13p.34)yt01

yt

1t此形式與

AR(p)相似，故名“VAR(p)”。t其中， 是白噪聲的推廣，稱為“向量白噪聲過(guò)程”(vector

wh上例中，假設(shè)要確定使用

VAR(p)10還0由

于

VAR(p)

系

統(tǒng)

中

的

解

釋

變

量yt

1, ,

ytp依

賴t

1,

t

2

,

t

1,

t

2

,，而

t

與 不相關(guān)，故可視定變量，與當(dāng)期擾動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行一致估計(jì)。t

不相關(guān)，故可用

OLS

對(duì)每個(gè)方程分別在

VAR

建模時(shí)，需確定變量的滯后階數(shù)，及包含幾個(gè)變量。滯后階數(shù)的選擇方法一、使用信息準(zhǔn)則，比如

AIC

或BIC。方法二、檢驗(yàn)最后一階系數(shù)的顯著性(由大到小的序貫規(guī)則)。在是

VAR(p–1)，可檢驗(yàn)原假設(shè)0”?！?/p>

H0

:1

p2

p1

p2

p100方法三、檢驗(yàn)

VAR

模型的殘差是否為白噪聲（是否有自相關(guān)）。如果真實(shí)模型為

VAR(p)，但被錯(cuò)誤設(shè)置為

Var(p–1)，則解釋變量的最后一階滯后

yt

p

被納入擾動(dòng)項(xiàng)

t

，導(dǎo)致擾動(dòng)項(xiàng)出現(xiàn)自相關(guān)。由于

ytyt

1, ,

yt的相關(guān)性，包含

yt

p

的擾動(dòng)項(xiàng)

t

將與解釋變量p

1相關(guān)，導(dǎo)致

OLS

估計(jì)不一致。需檢驗(yàn)

VAR

模型的殘差是否存在自相關(guān)。如果存在自相關(guān)，應(yīng)加入更高階的滯后變量。VAR變量個(gè)數(shù)的選擇VAR

系統(tǒng)包含的變量個(gè)數(shù)越多，需要估計(jì)的系數(shù)越多。假設(shè)有

5

個(gè)變量，滯后

4

期，則每個(gè)方程中共有

21

個(gè)待估系數(shù)(含截距項(xiàng))，整個(gè)

VAR

系統(tǒng)共有

105

個(gè)待估系數(shù)！待估系數(shù)過(guò)多使有效樣本容量過(guò)小，增大估計(jì)誤差，降低預(yù)測(cè)精度。故

VAR

模型通常僅包含少數(shù)幾個(gè)變量。在設(shè)定

VAR

模型時(shí)，應(yīng)根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論確定哪些變量在

VAR

模型中。比如，經(jīng)濟(jì)理論告訴我們，通1貨00

膨脹率、失業(yè)率、短期利息率互相關(guān)聯(lián)，可構(gòu)成三變量的

VAR

模型。100也

可

在比w1t

如,

w2t

,VAR,

wKt系

統(tǒng)

中

引

入

其

他

外

生

解

釋

變

量

，，與擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)。13.9

VAR的脈沖響應(yīng)函數(shù)VAR

模型包含許多參數(shù)，其經(jīng)濟(jì)意義很難解釋，故常將注意力集中于脈沖響應(yīng)函數(shù)?？紤]n

元

VAR(p)系統(tǒng)：p

y(t13p.35)yt01

yt

1t其中，yt

包含n個(gè)變量。正如

AR(p)可寫(xiě)為

MA( )，此

VAR(p)系統(tǒng)也可寫(xiě)成“向量移動(dòng)平均過(guò)程”(Vector

Moving

Average

Process)

VMA( )的形式：ti

t

iyt

(13.36)1

t

1

2

t

2i

0其中，0In

，而

j

為n維方陣。直觀來(lái)看，t1對(duì)yt

的“邊際效應(yīng)”為1

?？梢宰C明，syt

st(13.37)其中，100ytst為

n

維列向量

yts

對(duì)n

維行向量t求偏故 得到nn

矩陣

s

。假設(shè)n

2，則y1,

t

s

y1,

t

s1t

2tst2,

yt

sy2,

t

s2t1tyt

s(13.38)矩陣

s

是一維情形下相隔s

期的動(dòng)態(tài)乘子(dynamicmultiplier)向。多維的推廣，其第i

行、第

j

列元素等于yi,

ts

的影響。100yi,

tsjt它表示，當(dāng)?shù)?/p>

j

個(gè)變量在第t

期的擾動(dòng)項(xiàng)

jt

增加

1

單位時(shí)(而其他變量與其他期的擾動(dòng)項(xiàng)均不變)，對(duì)第i

個(gè)變量在第(t s)

期的取值將yi,

tsjt視為時(shí)間間隔s

的函數(shù)，即“脈沖響應(yīng)函數(shù)”(IRF脈沖響應(yīng)函數(shù)的缺點(diǎn)是，它假定在計(jì)算化一單位，就是變化一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差)。100yi,

t

sjt時(shí)，只讓變 動(dòng)，而所有其他同期擾動(dòng)項(xiàng)均不變。此假定只有當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)不存在“同期相關(guān)”

(contemporaneouscorrelation)時(shí)才成立。但現(xiàn)實(shí)中，同期相關(guān)普遍存在。為此，從擾動(dòng)項(xiàng)

t

中分離出相互正交的部分，記為vt

。新擾動(dòng)項(xiàng)vt

的各分量正交(不相關(guān))，且方差均被標(biāo)準(zhǔn)化為

1(故變其次，OIRF

依賴于變量的次序(order

of

variables)；如果改變變量次序，可能得到很不相同的結(jié)果。OIRF

雖使得因果關(guān)系更清楚，但代價(jià)是需對(duì)變量起作用的次序100作較強(qiáng)的先驗(yàn)假設(shè)，而經(jīng)濟(jì)理論通常無(wú)法對(duì)變量次序給出明確的指南。然后計(jì)算當(dāng)vt

中的某分量變動(dòng)時(shí)，對(duì)各變量在不同時(shí)期的影響，稱為“正交化的脈沖響應(yīng)函數(shù)”(Orthogonalized

Impulse

ResponseFunction，簡(jiǎn)記

OIRF)。但

OIRF

依然有缺點(diǎn)。首先，正交化沖擊(orthogonalized

shocks)vt

的經(jīng)濟(jì)含義不易解釋(vt

為t

中各分量的線性組合)。100在實(shí)踐中，可借助借助格蘭杰因果檢驗(yàn)確定兩個(gè)變量之間的排序(參見(jiàn)下文)。在難以確定變量次序的情況下，可進(jìn)行穩(wěn)健性檢驗(yàn)，即對(duì)于不同的變量排序，分別畫(huà)正交化脈沖響應(yīng)圖，然后進(jìn)行比較。13.10

格蘭杰因果檢驗(yàn)經(jīng)濟(jì)學(xué)中常需確定因果關(guān)系究竟是從x

到y(tǒng)，還是從y到x

，抑或雙向因果關(guān)系。格蘭杰[Granger(1969)]提出了以下檢驗(yàn)思想。首先，原因必然發(fā)生于結(jié)果之前。100其次，原因包含有關(guān)結(jié)果的獨(dú)特信息，對(duì)結(jié)果具有解釋力或預(yù)測(cè)力。因此，如果x

是y的因，但y不是x

的因，則x

的過(guò)去值可幫助預(yù)測(cè)y的未來(lái)值，而y的過(guò)去值卻不能幫助預(yù)測(cè)x

的未來(lái)值?？紤]

ADL(p,

p)模型：pytpym

m

t

1

mm

1滯后階數(shù)

p

可根據(jù)“信息準(zhǔn)則”或“由大到小的序貫規(guī)則”確定。m

xt m

t(13.39)vargranger進(jìn)行格蘭杰因果檢驗(yàn)。格蘭杰因果關(guān)系并非真正意義上的因果關(guān)系。充其量只是動(dòng)態(tài)相關(guān)關(guān)系，表明一個(gè)變量是否對(duì)另一變量有“預(yù)100測(cè)能力”(predictability)。估計(jì)此模型后，檢驗(yàn)原假設(shè)“

H0

:

1p

0”，即x

的過(guò)去對(duì)預(yù)測(cè)y的未來(lái)值有無(wú)幫助。如拒絕H0

，稱x

是y的“格蘭杰因”(Granger

cause)。將回歸模型中x

與y

的位置互換，可檢驗(yàn)y

是否為x

的格蘭杰因。實(shí)際操作中，常將(x,

y)構(gòu)成二元

VAR

系統(tǒng)，使用Stata命令100在某種意義上，它頂多是因果關(guān)系的必要條件，而且格蘭杰因果關(guān)系也可能由第三個(gè)變量所引起。另外，格蘭杰因果檢驗(yàn)僅適用于平穩(wěn)序列，或者有協(xié)整關(guān)系的單位根過(guò)程(詳見(jiàn)第

14

章)。對(duì)于不存在協(xié)整關(guān)系的單位根變量，則只能先差分，得到平穩(wěn)序列后再進(jìn)行格蘭杰因果檢驗(yàn)。10013.11

VAR的Stata命令及實(shí)例與 VAR

相關(guān)的 Stata

命令包括(假設(shè)變量為x,

y,

z

)varsoc

x

y

z,

maxlag(#)此命令用來(lái)計(jì)算不同滯后期的信息準(zhǔn)則，其中“soc”表示selection-order

criteria，“maxlag(#)”表示最大滯后期，默認(rèn)值為

4。varbasic

x

y

z,lags(numlist)

irf這是估計(jì)

VAR

模型的便捷命令。選擇項(xiàng)“l(fā)ags(numlist)”表示滯后階數(shù)，默認(rèn)為“l(fā)ags(1

2)”或“l(fā)ags(1/2)”，即滯后二階?！癷rf”表示畫(huà)(未正交化)脈沖響應(yīng)圖，默認(rèn)為“oirf”(畫(huà)正交化脈沖響應(yīng)圖)。100估計(jì)

VAR

的正式命令為var

x

y

z,

lags(numlist)

exog(w1

w2)其中，選擇項(xiàng)“l(fā)ags(numlist)”表示滯后階數(shù)，默認(rèn)為

“l(fā)ags(1/2)”，即滯后二階。如果要滯后三階，可使用選擇項(xiàng)“l(fā)ags(1/3)”。選擇項(xiàng)“exog(w1

w2)”表示在

VARw1,w2。模型中引入外生變量varlmar估計(jì)

VAR

后，對(duì)殘差是否存在自相關(guān)進(jìn)行LM

檢驗(yàn)。100varstable,graph估計(jì)

VAR

后，通過(guò)特征值檢驗(yàn)該

VAR

系統(tǒng)是否為平穩(wěn)過(guò)程。如果所有特征值都在單位圓內(nèi)部，則為平穩(wěn)過(guò)程(參見(jiàn)第

14

章)。選擇項(xiàng)“graph”表示畫(huà)出特征值的幾何分布圖。varwle估計(jì)

VAR

后，對(duì)每個(gè)方程以及所有方程的各階系數(shù)的聯(lián)合顯著性進(jìn)行沃爾德檢驗(yàn)，其中“wle”表示

Wald

lag-exclusion

statistics。vargranger估計(jì)

VAR

后，進(jìn)行格蘭杰因果檢驗(yàn)。文件“filename”(若未使用選擇項(xiàng) “set(filename)”指定脈沖文件，則將脈沖響應(yīng)結(jié)果存入當(dāng)前 的脈沖文件)；“

step(#)

”表示考察截止#期100

的脈沖響應(yīng)函數(shù)，默認(rèn)為

“step(8)”；“replace”表示替代已有的同名脈沖響應(yīng)結(jié)果irf

create

irfname,ep(#) replace

order(varlist)set(filename)

st估計(jì)

VAR

后，將有關(guān)脈沖響應(yīng)的結(jié)果存為“irfname”(可自行命名)。選擇項(xiàng)“set(filename)”表示建立脈沖文件“filename”，使之成為當(dāng)前的脈沖文件(make

filenameactive)，并將脈沖結(jié)果

“irfn100一個(gè)脈沖文件“

filename

”可存儲(chǔ)多個(gè)脈沖響應(yīng)結(jié)果“irfname”。選擇項(xiàng)“order(varlist)”指定變量排序，默認(rèn)使用估計(jì)VAR

時(shí)的變量排序計(jì)算正交化

IRF。irf

graph

irf,impulse(varname)

response(varname)畫(huà)脈沖響應(yīng)圖(未正交化)。選擇項(xiàng)“impulse(varname)”用于指定脈沖變量，“response(varname)”用來(lái)指定反應(yīng)變量；默認(rèn)畫(huà)出所有變量的脈沖響應(yīng)圖。irf

graph

oirf,impulse(varname)response(varname)畫(huà)正交化的脈沖響應(yīng)圖，選擇項(xiàng)含義同上。如將以上命令中的“irf

graph”改為“irf

table”，則將相應(yīng)信息列表而非畫(huà)圖。fcast

compute

prefix,step(#)估計(jì)

VAR

后，計(jì)算被解釋變量未來(lái)#期的預(yù)測(cè)值，并把預(yù)測(cè)值賦予被解釋變量加上前綴“prefix”(自行確定)的變量名。fcast

graph

varlist,observed運(yùn)行命令“fcast

compute”后，將變量“varlist”的預(yù)測(cè)值畫(huà)圖，其中選擇項(xiàng)“observ10e0

d”表示與實(shí)際觀測(cè)值相比較。100以數(shù)據(jù)集 macro_swatson.dta

為例，進(jìn)行 VAR

估計(jì)。該數(shù)據(jù)集包含美國(guó) 1960

年第 2

季至 2002

年第 1

季的宏觀經(jīng)濟(jì)季度變量：inf

為通貨膨脹率，dinf

為通貨膨脹率的一階差分，unem為失業(yè)率，quarter

為季度(時(shí)間變量)。由于通脹率inf

可能不平穩(wěn)(參見(jiàn)第14

章)，考慮其一階差分dinf與失業(yè)率 unem

構(gòu)成的二元 VAR

系統(tǒng)。首先，打開(kāi)數(shù)據(jù)集，看二者的時(shí)間趨勢(shì)(參見(jiàn)圖 13.8)。.

use

macro_swatson.dta,clear.

tsline

dinf

unem,lpattern(solid

dash)-.050.05.11960q11970q11990q12000q11980q1quarterDifference

of

inflation100Unemployment

rate圖

13.8 通脹差分與失業(yè)率的時(shí)間趨勢(shì)圖其次，根據(jù)信息準(zhǔn)則，估計(jì)此 VAR

系統(tǒng)的階數(shù)。.

varsoc

dinf

unem100Endogenous:Exogenous:dinf

unem_conslagLLLRdfpFPEAICHQICSBIC0881.5816.6e-08-10.859-10.8435-10.820911141.4519.6340.0002.8e-09-14.0172-13.9708-13.902921213.86144.93*40.0001.2e-09*-14.8625*-14.7851*-14.6719*31217.326.922440.1401.2e-09-14.8558-14.7475-14.58941219.454.253740.3731.2e-09-14.8327-14.6934-14.4896Number

of

obs=162Selection-order

criteriaSample: 1961q4

-

2002q1當(dāng)

p

2時(shí)(上表打星號(hào)“*”者)，AIC

與 BIC

信息準(zhǔn)則最小化。估計(jì)二階向量自回歸模型：.

var

dinf

unem,lags(1/2)Vector

autoregressionSample: 1961q2

-

2002q1No.

of

obs=

164Log

likelihood

=

1224.456AIC= -14.81044FPE

=HQIC= -14.733711.27e-09Det(Sigma_ml)

=SBIC= -14.621431.12e-09Equation

ParmsRMSER-sqchi2

P>chi2dinf

5.0138150.362193.11047

0.0000unem

5.0025080.97315926.554

0.0000Coef.Std.

Err.zP>|z| [95%

Conf.

Interval]dinfdinfL1.L2.unemL1.L2._cons-.4709436.0676118-6.970.000 -.6034603 -.338427-.401031.0654944-6.120.000 -.5293976 -.2726644-2.24205.3371897-6.650.000 -2.90293 -1.581172.03417.33566946.060.000

1.37627

2.69207.0123764.00452652.730.006

.0035047

.0212482unemdinfL1.L2.unemL1.L2._cons.0305223.01227462.490.013

.0064645

.05458-.0113172.0118902-0.950.341 -.0346216

.01198711.638031.061215226.760.000

1.518051

1.75801-.6725807.0609392-11.041000.000 -.7920194 -.5531421.0020139.00082182.450.014

.0004032

.0036245100大多數(shù)系數(shù)均很顯著。下面檢驗(yàn)各階系數(shù)的聯(lián)合顯著性。.

varwlelagchi2dfProb

>

chi21796.241840.0002187.999140.000Equation:

Alllagchi2dfProb

>

chi21741.891620.0002123.128720.000Equation:

unemlagchi2dfProb

>

chi2172.7216420.000272.929420.000Equation:

dinf無(wú)論單一方程，還是兩個(gè)方程作為整體，各階系數(shù)均高度顯著。100檢驗(yàn)殘差是否為白噪聲，即殘差是否存在自相關(guān)。.

varlmarH0:

no

autocorrelation

at

lag

orderlagchi2dfProb

>

chi217.313040.1202425.064540.28074Lagrange-multiplier

test可接受殘差“無(wú)自相關(guān)”的原假設(shè)。檢驗(yàn) VAR

系統(tǒng)是否為平穩(wěn)過(guò)程，并畫(huà)圖(參見(jiàn)圖 13.9)。.

varstable,graphAll

the

eigenvalues

lie

inside

the

unit

circle.

VARsatisfies

stability

condition.EigenvalueModulus.82182.82182.7970223.797022-.2258