高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（必修二）：專(zhuān)題6.1 平面向量的概念（重難點(diǎn)題型精講）（教師版）

專(zhuān)題6.1平面向量的概念（重難點(diǎn)題型精講）1．向量的概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.(2)數(shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量（如年齡、身高、長(zhǎng)度、面積、體積和質(zhì)量等），稱(chēng)為數(shù)量．注：①本書(shū)所學(xué)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無(wú)特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．②看一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個(gè)要素．③向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大?。?．向量的表示法(1)有向線(xiàn)段：具有方向的線(xiàn)段叫做有向線(xiàn)段，有向線(xiàn)段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．(2)向量的表示方法:①字母表示法：如等.(2)幾何表示法：以A為始點(diǎn)，B為終點(diǎn)作有向線(xiàn)段（注意始點(diǎn)一定要寫(xiě)在終點(diǎn)的前面）．如果用一條有向線(xiàn)段表示向量，通常我們就說(shuō)向量. 注：①用字母表示向量便于向量運(yùn)算；②用有向線(xiàn)段來(lái)表示向量，顯示了圖形的直觀性．應(yīng)該注意的是有向線(xiàn)段是向量的表示，不是說(shuō)向量就是有向線(xiàn)段．由于向量只含有大小和方向兩個(gè)要素，用有向線(xiàn)段表示向量時(shí)，與它的始點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，即同向且等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示同一向量或相等的向量．3．向量的有關(guān)概念(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用來(lái)表示向量的有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度).注：①向量的模．②向量不能比較大小，但是實(shí)數(shù)，可以比較大?。?2)零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.注：①在畫(huà)單位向量時(shí)，長(zhǎng)度1可以根據(jù)需要任意設(shè)定；②將一個(gè)向量除以它的模，得到的向量就是一個(gè)單位向量，并且它的方向與該向量相同．4．相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.注：在平面內(nèi)，相等的向量有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們的方向相同且長(zhǎng)度相等．4．向量的共線(xiàn)或平行方向相同或相反的非零向量，叫共線(xiàn)向量(共線(xiàn)向量又稱(chēng)為平行向量).規(guī)定:與任一向量共線(xiàn).注：①零向量的方向是任意的，注意與0的含義與書(shū)寫(xiě)區(qū)別.②平行向量可以在同一直線(xiàn)上，要區(qū)別于兩平行線(xiàn)的位置關(guān)系；共線(xiàn)向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線(xiàn)上的線(xiàn)段的位置關(guān)系.③共線(xiàn)向量與相等向量的關(guān)系：相等向量一定是共線(xiàn)向量，但共線(xiàn)向量不一定是相等的向量．5．用共線(xiàn)（平行）向量或相等向量刻畫(huà)幾何關(guān)系(1)利用向量的模相等可以證明線(xiàn)段相等，利用向量相等可以證明線(xiàn)段平行且相等.

(2)利用向量共線(xiàn)可以證明直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，但需說(shuō)明向量所在的直線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn).

(3)利用向量可以判斷圖形的形狀(如平行四邊形、等腰三角形等)、證明多點(diǎn)共線(xiàn)等.【題型1向量的基本概念】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)向量的基本概念，進(jìn)行求解即可.【例1】（2022秋·廣東珠海·高一期中）給出下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時(shí)間．其中不是向量的有（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【解題思路】既有方向，又有大小的量為向量【解答過(guò)程】①質(zhì)量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨時(shí)間只有大小，沒(méi)有方向，故不是向量，其余均為向量，故共有5個(gè)不是向量.故選：C.【變式1-1】（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）以下選項(xiàng)中，都是向量的是（

）A．正弦線(xiàn)、海拔 B．質(zhì)量、摩擦力C．△ABC的三邊、體積 D．余弦線(xiàn)、速度【解題思路】根據(jù)向量的定義判斷．【解答過(guò)程】表示三角函數(shù)值的正切線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正弦線(xiàn)既有大小，又有方向，都是向量．海拔、質(zhì)量、△ABC的三邊和體積均只有大小，沒(méi)有方向，不是向量．速度既有大小又有方向，是向量，故選：D．【變式1-2】（2022秋·福建·高一階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量B．零向量與任意向量都不平行C．平行向量就是共線(xiàn)向量D．長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量【解題思路】由平面向量的相關(guān)概念判斷.【解答過(guò)程】A.規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，故正確；B.規(guī)定零向量與任意向量都平行，故錯(cuò)誤；C.平行向量就是共線(xiàn)向量，故正確；D.長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量，故正確；故選：B.【變式1-3】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高一階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．向量CD與向量DC長(zhǎng)度相等B．單位向量都相等C．向量的?？梢员容^大小D．任一非零向量都可以平行移動(dòng)【解題思路】A.由相反向量判斷；B.由單位向量判斷；C.由向量的長(zhǎng)度是數(shù)量判斷；D.由相等向量判斷.【解答過(guò)程】A.CD和DC長(zhǎng)度相等，方向相反，故正確；B.單位向量長(zhǎng)度都為1，但方向不確定，故錯(cuò)誤；C.向量的長(zhǎng)度可以比較大小，即模長(zhǎng)可以比較大小，故正確；D.向量只與長(zhǎng)度和方向有關(guān)，與位置無(wú)關(guān)，故任一非零向量都可以平行移動(dòng)，故正確.故選：B.【題型2向量的幾何表示與向量的?！俊痉椒c(diǎn)撥】第一步：已給定向量的起點(diǎn)、方向和長(zhǎng)度；第二步：在坐標(biāo)紙上找準(zhǔn)方向、長(zhǎng)度；第三步：畫(huà)出對(duì)應(yīng)的向量.【例2】（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）一艘軍艦從基地A出發(fā)向東航行了200海里到達(dá)基地B，然后改變航線(xiàn)向東偏北60°航行了400海里到達(dá)C島，最后又改變航線(xiàn)向西航行了200海里到達(dá)D島．（1）試作出向量AB,（2）求|AD【解題思路】（1）根據(jù)題設(shè)以AB為正東方向，過(guò)A垂直于AB向上為正北方向，結(jié)合題設(shè)畫(huà)出向量即可.（2）由題設(shè)知AB//CD，易知ABCD為平行四邊形，即可求【解答過(guò)程】（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，向量AB,（2）根據(jù)題意，向量AB與CD方向相反，故向量AB//CD，又∴在ABCD中，AB//CD,AB=CD，故ABCD為平行四邊形，∴AD=BC，則【變式2-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在如圖所示的坐標(biāo)紙中(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1)，用直尺和圓規(guī)畫(huà)出下列向量．(1)OA=3，點(diǎn)A在點(diǎn)O(2)OB=22，點(diǎn)B在點(diǎn)【解題思路】(1)根據(jù)描述找出終點(diǎn)A即可；(2)根據(jù)描述找出終點(diǎn)B即可.【解答過(guò)程】(1)∵OA=3，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏西45°方向，∴以O(shè)為圓心，3為半徑作圓與圖中正方形對(duì)角線(xiàn)OP的交點(diǎn)即為A(2)∵OB=22=22+22，點(diǎn)B在點(diǎn)O正南方向，∴以【變式2-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知飛機(jī)從A地按北偏東30°方向飛行2000km到達(dá)B地，再?gòu)腂地按南偏東30°方向飛行2000km到達(dá)C地，再?gòu)腃地按西南方向飛行10002km到達(dá)D地．畫(huà)圖表示向量【解題思路】根據(jù)方向角及飛行距離可作出向量AB,BC,【解答過(guò)程】以A為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正方向，正北方向?yàn)閥軸正方向建立直角坐標(biāo)系．由題意知B點(diǎn)在第一象限，C點(diǎn)在x軸正半軸上，D點(diǎn)在第四象限，向量AB,由已知可得，△ABC為正三角形，所以AC=2000km．又∠ACD=45°，所以△ADC為等腰直角三角形，所以AD=10002km，故向量AD的模為10002【變式2-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出下列向量，使它們的起點(diǎn)都是原點(diǎn)O，并求終點(diǎn)的坐標(biāo)（1）a=2，a的方向與x軸正方向的夾角為60°，與y軸正方向的夾角為30°（2）a=4，a的方向與x軸正方向的夾角為30°，與y軸正方向的夾角為120°（3）a=42，a的方向與x軸、y軸正方向的夾角都是【解題思路】利用向量的定義直接求解即可60【解答過(guò)程】如圖所示.（1）終點(diǎn)坐標(biāo)為1,3（2）終點(diǎn)坐標(biāo)為23,?2（3）終點(diǎn)坐標(biāo)為?4,?4.【題型3向量相等或共線(xiàn)】【方法點(diǎn)撥】判斷兩向量是否共線(xiàn)的關(guān)鍵是看兩向量所在的直線(xiàn)是否平行或重合；判斷兩向量是否相等不僅要看兩向量所在的直線(xiàn)是否平行或重合，還要看兩向量的模是否相等、方向是否相同.【例3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同B．兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線(xiàn)向量C．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線(xiàn)的向量，其終點(diǎn)必相同D．若AB與CD是共線(xiàn)向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線(xiàn)上【解題思路】根據(jù)向量相等與共線(xiàn)的概念即可解決.【解答過(guò)程】?jī)蓚€(gè)相等的向量方向相同且長(zhǎng)度相等，因此起點(diǎn)相同時(shí)終點(diǎn)必相同，故A正確；兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，可能方向不同，也可能模長(zhǎng)不同，故B錯(cuò)誤；兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線(xiàn)的向量可能方向不同，也可能模長(zhǎng)不同，終點(diǎn)未必相同，故C錯(cuò)誤；AB與CD是共線(xiàn)向量，也可能是AB平行于CD，故D錯(cuò)誤.故選：A.【變式3-1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，等腰梯形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)P，點(diǎn)E、F分別在兩腰AD、BC上，EF過(guò)點(diǎn)P，且EF//A．AD=BC C．PE=PF 【解題思路】由梯形的幾何性質(zhì)可判斷AB選項(xiàng)；推導(dǎo)出P為EF的中點(diǎn)，可判斷CD選項(xiàng).【解答過(guò)程】在等腰梯形ABCD中，AD、BC不平行，AC、BD不平行，AB均錯(cuò)；因?yàn)锳B//CD，則DPPB=CD即BDPD=AC∵EF//AC，則PEAB=PDBD=所以，EP=故選：D.【變式3-2】（2022秋·全國(guó)·高一期末）如圖，在正△ABC中，D,E,F均為所在邊的中點(diǎn)，則以下向量和FC相等的是（

）A．EF B．BE C．DF D．ED【解題思路】根據(jù)相等向量的定義直接判斷即可.【解答過(guò)程】∵EF,BE,DF與FC∵ED與FC方向相同，長(zhǎng)度相等，∴故選：D.【變式3-3】（2022秋·湖北十堰·高一期中）在△ABC中，AB＝AC，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則（

）A．AB與AC共線(xiàn) B．DE與CB共線(xiàn)C．CD與AE相等 D．AD與BD相等【解題思路】根據(jù)向量共線(xiàn)概念即可求解結(jié)果．【解答過(guò)程】因?yàn)锳B與AC不平行，所以AB與AC不共線(xiàn)，A錯(cuò)因?yàn)镈，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則DE與BC平行，故DE與CB共線(xiàn)，B正確；因?yàn)镃D與AE不平行，所以CD與AE不相等，C錯(cuò)；因?yàn)锳D=故選：B.【題型4用向量關(guān)系研究幾何圖形的性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】(1)證明或判斷線(xiàn)段相等，只需證明或判斷相應(yīng)向量的長(zhǎng)度(模)相等.(2)證明線(xiàn)段平行，先證明相應(yīng)的向量共線(xiàn)，再說(shuō)明線(xiàn)段不重合.【例4】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AB的中點(diǎn).(1)寫(xiě)出與向量FC共線(xiàn)的向量；(2)求證：BE=【解題思路】1根據(jù)條件，可得四邊形AFCE為平行四邊形，即可寫(xiě)出與向量FC共線(xiàn)的向量；2根據(jù)題意可得出四邊形BFDE是平行四邊形，從而得出BE=FD，BE//FD，進(jìn)而得出結(jié)論.【解答過(guò)程】（1）解：因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AB的中點(diǎn)，CE//AF，CE=AF，所以四邊形AFCE為平行四邊形，所以CF//AE.所以與向量FC共線(xiàn)的向量為：CF，AE，EA.（2）證明：在平行四邊形ABCD中，AB//DC，AB=DC.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是DC，AB的中點(diǎn)，所以ED//BF且ED=BF，所以四邊形BFDE是平行四邊形，所以BE=FD，BE//FD，故BE=【變式4-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是平面四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：EF=【解題思路】連接AC，易得EF，HG分別為△ABC和△ADC的中位線(xiàn)，進(jìn)而可得EF//HG，且EF=HG，又向量【解答過(guò)程】證明：如圖，連接AC，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，所以EF為△ABC的中位線(xiàn)，所以EF//AC，且同理，因?yàn)镚，H分別是CD，DA的中點(diǎn)，所以HG//AC，且所以EF//HG，且因?yàn)橄蛄縀F與HG方向相同，所以EF=【變式4-2】（2022·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD中，M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，AB=DC且CN=【解題思路】根據(jù)平行四邊形及向量相等的定理即可證明；【解答過(guò)程】解：因?yàn)锳B=DC，所以AB=所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以DA=CB且又DA與CB的方向相同，所以CB=同理可證，四邊