第01講與圓有關(guān)的性質(zhì)-垂徑定理（原卷版）

第01講與圓有關(guān)的性質(zhì)——垂徑定理課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①與圓有關(guān)的概念②圓的對稱性③圓的垂徑定理認(rèn)識(shí)圓，掌握圓的相關(guān)概念。掌握圓的對稱性。掌握垂徑定理，并能夠靈活運(yùn)用垂徑定理解決相關(guān)題目。知識(shí)點(diǎn)01與圓有關(guān)的概念圓的概念：靜態(tài)定義：圓可以看做是到定點(diǎn)O的距離等于定長r的所有點(diǎn)的集合。定點(diǎn)是，定長是圓的。動(dòng)態(tài)定義：如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的叫做圓．固定的端點(diǎn)O叫做，線段OA的長叫做。以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓，記作，讀作。弦的概念：如圖：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做。如圖中有弦CD與弦AB。直徑：過的弦叫做直徑。如圖中弦AB是直徑。直徑是弦，但是弦不一定是直徑?；。簣A上任意兩點(diǎn)之間的部分叫做弧。它包含、、。半圓：的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成了兩條弧，每一條弧都叫做。優(yōu)?。喊雸A的弧叫做優(yōu)弧。如圖中的優(yōu)弧AOC，表示為。讀作。表示優(yōu)弧時(shí)，必須有三個(gè)字母表示，中間加圓心或弧上的字母。若只有兩個(gè)字母默認(rèn)為劣弧。劣?。喊雸A的弧叫做劣弧，如圖中的劣弧AC，表示為。讀作。等圓：能夠的兩個(gè)圓或半徑的兩個(gè)圓叫做等圓。等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠的兩條弧叫做等弧。題型考點(diǎn)：①相關(guān)概念的理解與認(rèn)識(shí)。知識(shí)點(diǎn)02圓的對稱性圓的對稱性：圓既是圖形，有條對稱軸。又是圖形，對稱中心是圓的?！炯磳W(xué)即練1】1．圓的有關(guān)概念：（1）圓兩種定義方式：（a）在一個(gè)平面內(nèi)線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做．線段OA叫做．（b）圓是所有點(diǎn)到定點(diǎn)O的距離定長r的點(diǎn)的集合．（2）弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的叫做弦．（弦不一定是直徑，直徑一定是弦，直徑是圓中最長的弦）；（3）?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫（弧的度數(shù)等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)，等于這條弧所對圓周角的兩倍）（4）等弧：在同圓與等圓中，能夠的弧叫等?。?）等圓：能夠的兩個(gè)圓叫等圓，半徑的兩個(gè)圓也叫等圓..【即學(xué)即練2】2．如圖中有條直徑，有條弦，以點(diǎn)A為端點(diǎn)的優(yōu)弧有條，有劣弧條．【即學(xué)即練3】3．下列說法中，正確的是．①直徑是圓中最長的弦，弦是直徑；②同圓或等圓中，優(yōu)弧大于劣弧，半圓是??；③長度相等的兩條弧是等弧；④圓心不同的圓不可能是等圓；⑤圓上任意兩點(diǎn)和圓心構(gòu)成的三角形是等腰三角形；⑥弧是圓上兩點(diǎn)間的部分，是一條曲線，而弦是圓上兩點(diǎn)間的線段；⑦圓既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形．知識(shí)點(diǎn)03垂徑定理垂徑定理的內(nèi)容：垂直于弦的，弦，平分弦所對的和。即若AB是直徑，CD是弦，且AB⊥CD垂足為E，AB交CD弧于B，交弧CAD于A，則：CEDE，弧BC弧BD，弧AC弧AD。垂直定理的推論：推論1：平分弦（不是直徑）的直徑弦，并且弦所對的。推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過，并且弦所對的。推論3：平分弦所對一條弧的直徑，弦，并且平分弦所對的。在垂徑定理中，圓心到弦的距離叫做弦心距，弦長的一半叫做半弦長。他們與直徑構(gòu)成勾股定理。即：（）題型考點(diǎn)：①垂徑定理求相關(guān)線段的長度。②垂徑定理的應(yīng)用?！炯磳W(xué)即練1】4．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于E點(diǎn)，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，則CD的長為（）A．4 B．4 C．3 D．5【即學(xué)即練2】5．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，OC＝5cm，CD＝8cm，則AE＝（）cm．A．8 B．5 C．3 D．2【即學(xué)即練3】6．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，OC＝5cm，CD＝8cm，則OE＝（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm【即學(xué)即練4】7．把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF＝CD＝4cm，則球的半徑長是（）A．2cm cm C．3cm D．4cm題型01圓的相關(guān)概念的理解【典例1】下列說法正確的是（）A．直徑是弦，弦是直徑 B．半圓是弧 C．無論過圓內(nèi)哪一點(diǎn)，只能作一條直徑 D．直徑的長度是半徑的2倍【典例2】下列說法：①直徑是弦；②弦是直徑；③半徑相等的兩個(gè)半圓是等??；④長度相等的兩條弧是等??；⑤半圓是弧，但弧不一定是半圓．正確的說法有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【典例3】下列說法中，不正確的是（）A．圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 B．圓有無數(shù)條對稱軸 C．圓的每一條直徑都是它的對稱軸 D．圓的對稱中心是它的圓心【典例4】下列說法中正確的有（填序號(hào)）．（1）直徑是圓中最大的弦；（2）長度相等的兩條弧一定是等弧；（3）半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；（4）面積相等的兩個(gè)圓是等圓；（5）同一條弦所對的兩條弧一定是等?。}型02垂徑定理求弦長【典例1】如圖⊙O的半徑OD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于點(diǎn)M，OM：OC＝3：5，則AB長為（）A．8 B．12 C．16 D．【典例2】如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接EB．若AB＝4，CD＝1，則EB的長為（）A．3 B．4 C．5 【典例3】如圖，點(diǎn)E在y軸上，⊙E與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C、D，若C（0，9），D（0，﹣1），則線段AB的長度為（）A．3 B．4 C．6 D．8【典例4】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則AD的長為．題型03垂徑定理求半徑（直徑）【典例1】在半徑為r的圓中，弦BC垂直平分OA，若BC＝6，則r的值是（）A． B． C． D．【典例2】如圖，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)P，且P為半徑OB的中點(diǎn)，若CD＝6，則⊙O的半徑長為（）A． B．3 C． D．【典例3】如圖，線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，若AB長為16，OE長為6，則⊙O半徑是（）A．5 B．6 C．8 D．10【典例4】如圖，已知AB是⊙O的一條弦，AB＝6，點(diǎn)M在AB上，且AM＝2，若OM＝，則⊙O的半徑為（）A．4 B．5 C．6 D．題型04垂徑定理求弦心距【典例1】如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，OC⊥AB于點(diǎn)C，則OC的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【典例2】如圖，⊙O的弦AB垂直于CD，E為垂足，AE＝3，BE＝7，且AB＝CD，則圓心O到CD的距離是（）A．2 B． C． D．【典例3】如圖，點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)在⊙O上，點(diǎn)D為弦AB的中點(diǎn)，AB＝8cm，CD＝6cm，則OD＝（）A．cm B．cm C．cm D．cm【典例4】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，OC＝5，CD＝8，則OE＝（）A．5 B．4 C．3 D．2題型05垂徑定理的應(yīng)用【典例1】高速公路的隧道和橋梁最多，如圖是一個(gè)隧道的橫截面，若它的形狀是以O(shè)為圓心的圓的一部分，路面AB＝8米，凈高CD＝8米，則此圓的半徑OA＝（）A．5米 B．米 C．6米 D．米【典例2】唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)的輪船，是近代明輪航行模式之先導(dǎo)．如圖，某槳輪船的輪子被水面截得的弦AB長8m，輪子的吃水深度CD為2m，則該槳輪船的輪子直徑為（）A．10m B．8m C．6m D．5m【典例3】一次綜合實(shí)踐的主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，如何測量一次性紙杯杯口的直徑？小聰同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組想到了如下方法：如圖，將紙條拉直緊貼杯口上，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于A，B，C，Dcm，AB＝3cm，CD＝4cm．請你幫忙計(jì)算紙杯的直徑為（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【典例4】如圖是某品牌的香水瓶．從正面看上去它可以近似看作⊙O割去兩個(gè)弓形后余下的部分，與矩形ABCD組合而成的圖形（點(diǎn)B，C在⊙O上），其中BC∥EF；已知⊙O的半徑為25，BC＝14，AB＝26，EF＝48，則香水瓶的高度h是（）A．56 B．57 C．58 D．591．以下說法正確的是（）A．半圓是弧 B．兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等 C．所有角的度數(shù)都相等的多邊形叫做正多邊形 D．兩直線相交形成的四個(gè)角中有兩對角相等，則這兩條直線互相垂直．2．如圖，⊙O的直徑AB與弦CD的延長線交于點(diǎn)E，若DE＝OB，∠AOC＝87°，則∠E等于（）A．42° B．29° C．21° D．20°3．已知⊙O的半徑是3cm，則⊙O中最長的弦長是（）A．3cm B．6cm cm D．cm4．如圖，⊙O的弦AB垂直平分半徑OC，垂足為D，若CD＝，則AB的長為（）A． B． C． D．5．如圖，半徑為5的⊙A與y軸交于點(diǎn)B（0，2）、C（0，10），則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為（）A．﹣3 B．3 C．4 D．66．如圖，⊙O的半徑為10，弦AB＝16，M是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，則OM不可能為（）A．5 B．6 C．7 D．87．如圖，OA是⊙O的半徑，B為OA上一點(diǎn)（且不與點(diǎn)O、A重合），過點(diǎn)B作OA的垂線交⊙O于點(diǎn)C．以O(shè)B、BC為邊作矩形OBCD，連結(jié)BD．若CD＝6，BC＝8，則AB的長為（）A．6 B．5 C．4 D．28．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長為4米，⊙O半徑長為3米．若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是（）A．1米 B．米 C．3米 D．米9．如圖，在以O(shè)為圓心半徑不同的兩個(gè)圓中，大圓和小圓的半徑分別為6和4，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C，D．若AC＝3，則CD的長為．第9題第10題10．石拱橋是中國傳統(tǒng)橋梁四大基本形式之一，它的主橋拱是圓弧形．如圖，已知某公園石拱橋的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，那么橋拱所在圓的半徑OA＝米．11．如圖，在⊙O中，弦AB＝4，點(diǎn)C在AB上移動(dòng)，連接OC，過點(diǎn)C作CD⊥OC，交⊙O于點(diǎn)D，則CD長的最大值為．12．一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OA＝5，水面寬AB＝6，某天下雨后，水面寬度變?yōu)?，則此時(shí)排水管水面上升了．13．如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長；（2）當(dāng)洪水泛