高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（必修二）：專題7.1 復(fù)數(shù)的概念（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）

專題7.1復(fù)數(shù)的概念（重難點(diǎn)題型精講）1．?dāng)?shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的相關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的引入

為了解決+1=0這樣的方程在實(shí)數(shù)系中無解的問題，我們引入一個(gè)新數(shù)i，規(guī)定：

①=-1，即i是方程+1=0的根；

②實(shí)數(shù)可以和數(shù)i進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，且加法和乘法的運(yùn)算律仍然成立.

在此規(guī)定下，實(shí)數(shù)a與i相加，結(jié)果記作a+i；實(shí)數(shù)b與i相乘，結(jié)果記作bi；實(shí)數(shù)a與bi相加，結(jié)果記作a+bi.注意到所有實(shí)數(shù)以及i都可以寫成a+bi(a,b∈R)的形式，從而這些數(shù)都在擴(kuò)充后的新數(shù)集中.(2)復(fù)數(shù)的概念

我們把形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復(fù)數(shù)集.這樣，方程+1=0在復(fù)數(shù)集C中就有解x=i了.(3)復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊說明時(shí)，復(fù)數(shù)z=a+bi都有a,b∈R，其中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部.(4)復(fù)數(shù)的分類對(duì)于復(fù)數(shù)a+bi，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)0；當(dāng)b≠0時(shí)，它叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，它叫做純虛數(shù).顯然，實(shí)數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集，即RC.

復(fù)數(shù)z=a+bi可以分類如下：

復(fù)數(shù)，

復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系，可用圖表示.2．復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個(gè)數(shù)a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我們規(guī)定：a+bi與c+di相等當(dāng)且僅當(dāng)a=c且b=d，即當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部相等、虛部與虛部相等時(shí)，兩個(gè)復(fù)數(shù)才相等.3．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)平面

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，可得復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)，而有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，所以復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

如圖所示，點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi可用點(diǎn)Z(a,b)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.(2)復(fù)數(shù)的幾何意義——與點(diǎn)對(duì)應(yīng)

由上可知，每一個(gè)復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng).復(fù)數(shù)集C中的數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，即復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)，這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.(3)復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對(duì)應(yīng)

在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)平面向量都可以用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示，而有序?qū)崝?shù)對(duì)與復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的.這樣就可以用平面向量來表示復(fù)數(shù).如圖所示，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z=a+bi，連接OZ，顯然向量由點(diǎn)Z唯一確定；反過來，點(diǎn)Z(相對(duì)于原點(diǎn)來說)也可以由向量唯一確定.

因此，復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的(實(shí)數(shù)0與零向量對(duì)應(yīng))，即復(fù)數(shù)z=a+bi平面向量，這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義.4．復(fù)數(shù)的模向量的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的?；蚪^對(duì)值，記作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一個(gè)實(shí)數(shù)a，它的模等于|a|(就是a的絕對(duì)值).由模的定義可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).5．共軛復(fù)數(shù)(1)定義

一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示，即若z=a+bi，則=a-bi.特別地，實(shí)數(shù)a的共軛復(fù)數(shù)仍是a本身.(2)幾何意義互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(如圖).特別地，實(shí)數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，且在實(shí)軸上.(3)性質(zhì)①=z.

②實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，即z=z∈R，利用這個(gè)性質(zhì)可證明一個(gè)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù).6．復(fù)數(shù)的模的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a,b)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，這是復(fù)數(shù)的模的幾何意義.(2)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，r表示一個(gè)大于0的常數(shù)，則滿足條件|z|=r的點(diǎn)Z組成的集合是以原點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓，|z|<r表示圓的內(nèi)部，|z|>r表示圓的外部.【題型1復(fù)數(shù)的分類】【方法點(diǎn)撥】分清復(fù)數(shù)的分類，根據(jù)實(shí)部與虛部的取值情況進(jìn)行判斷.【例1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于復(fù)數(shù)x+i的說法一定正確的是（

A．是虛數(shù) B．存在x使得x+iC．不是實(shí)數(shù) D．實(shí)部和虛部均為1【變式1-1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)1?i，2，－1，i2，0，3iA．1 B．2 C．3 D．4【變式1-2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．i表示虛數(shù)單位，所以它不是一個(gè)虛數(shù)B．?1的平方根是±C．biD．若z=aa∈R，則復(fù)數(shù)z【變式1-3】（2022春·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中，正確命題的序號(hào)是（

）①若a∈R，則(a+1)i是純虛數(shù)；②若a,b∈R且a>b，則a+i③若x2?1+④兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小.A．①③ B．② C．③④ D．④【題型2復(fù)數(shù)相等的充要條件】【方法點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)相等的充要條件是“化虛為實(shí)”的主要依據(jù)，多用來求解參數(shù).解決復(fù)數(shù)相等問題的步驟：分別分離出兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，利用實(shí)部與實(shí)部相等、虛部與虛部相等列方程組求解.【例2】（2022秋·河南·高三階段練習(xí)）設(shè)1+2ia+b=?2i，其中a,bA．a(chǎn)=1,b=?1 B．a(chǎn)=1,b=1C．a(chǎn)=?1,b=?1 D．a(chǎn)=?1,b=1【變式2-1】（2022春·廣西·高二學(xué)業(yè)考試）若復(fù)數(shù)3+4i=3+bi，i為虛數(shù)單位，則b=A．1 B．2 C．4 D．5【變式2-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知x，y∈R，i為虛數(shù)單位，若（x-1）+（y+1）i=2+i，則x，y的值為（

）A．3，0 B．2，1 C．1，2 D．1，-1【變式2-3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）復(fù)數(shù)4?3a?a2i與復(fù)數(shù)a2+4aA．1 B．1或?4 C．?4 D．4【題型3復(fù)數(shù)的幾何意義】【方法點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所組成的集合之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.每一個(gè)復(fù)數(shù)都對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，只要在復(fù)平面內(nèi)找到這個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)所表示的點(diǎn)，就可根據(jù)點(diǎn)的位置判斷復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的取值.【例3】（2022春·湖南株洲·高一期中）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=?2i+2iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式3-1】在復(fù)平面內(nèi)，與復(fù)數(shù)z=?1?i的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式3-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)1<m<2時(shí)，復(fù)數(shù)m2+i?A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式3-3】（2022秋·貴州貴陽·高三階段練習(xí)）如果一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則稱這個(gè)復(fù)數(shù)為“等部”復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)z=2+ai（其中a∈R）為“等部復(fù)數(shù)”，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【題型4共軛復(fù)數(shù)】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，進(jìn)行求解即可.【例4】（2022秋·浙江金華·高二階段練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=i+i2，則A．?1+i B．?1?i C．1+i【變式4-1】（2022春·浙江寧波·高二學(xué)業(yè)考試）已知z=2?3i（i虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)z的虛部為（

A．2 B．i C．3 D．3【變式4-2】（2022·高一單元測(cè)試）若復(fù)數(shù)z=(m+1)?2mi(m∈R)為純虛數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)是（A．?2i B．?i C．i 【變式4-3】（2022秋·北京·高三期中）下列命題中，正確的是（

）A．1?2i的虛部是2 B．C．1?2i的共軛復(fù)數(shù)是?1?2i D．【題型5復(fù)數(shù)的模的計(jì)算】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式，進(jìn)行計(jì)算即可.【例5】（2023秋·吉林松原·高三期末）已知a，b∈R，若a+4i與3?bi互為共軛復(fù)數(shù)，則a+biA．8 B．7 C．6 D．5【變式5-1】（2022秋·北京·高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足z=1?i，則z=（A．?1 B．1 C．2 D．2【變式5-2】（2022秋·安徽宿州·高二期末）設(shè)z=2i1?i，則A．2 B．2 C．4 D．5【變式5-3】（2022秋·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）若復(fù)數(shù)z滿足z=?3+4i，則z=（A．1 B．5 C．7 D．25【題型6復(fù)數(shù)的模的幾何意義】【方法點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)的模的幾何意義是實(shí)數(shù)的絕對(duì)值概念的擴(kuò)充，因此有|z|0，并且絕對(duì)值具有的某些性質(zhì)可以推廣到復(fù)數(shù)的模.根據(jù)復(fù)數(shù)的模的幾何意義，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例6】（2022秋·廣西·高二階段練習(xí)）設(shè)z∈C，滿足2≤z+i≤3，其在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，求點(diǎn)A．1 B．5 C．π D．5【變式6-1】（2022·高一單元測(cè)試）滿足1≤z≤3的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為（A．π B．2π C．8π