2023屆四川省雅安市高三第一次診斷性考試數(shù)學(xué)（理）試題

2023屆四川省雅安市高三第一次診斷性考試數(shù)學(xué)(理)試題

一、單選題

1.已知。為eR,i是虛數(shù)單位，若a+2i與1+為互為共貌復(fù)數(shù)，則(〃+歷丫=()

A.5-4iB.5+4iC.-3-4/D.-3+4i

【答案】C

【分析】根據(jù)共規(guī)復(fù)數(shù)的概念可求得4，方的值，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求得結(jié)果.

\d=\cC

【詳解】由已知可得)=_2,所以(〃+切)=(l-2i)-=l-4i+4i2=—3-4i.

故選：C.

2.已知集合4=1k2+》-6<()},fi={x|-l<x<3},則()

A.(—3,3)B.(—2,3)C.(-1,5)D.(—5,3)

【答案】A

【分析】求出集合A,根據(jù)并集的運(yùn)算即可求出結(jié)果.

【詳解】解/+丫一6<0可得，-3<x<2,所以A={x|-3<x<2},

所以AuB={x|-3<x<2}u^x|-l<x<3|=(x|-3<x<3}.

故選：A.

3.采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)(PMI),是通過(guò)對(duì)企業(yè)采購(gòu)經(jīng)理的月度調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)匯總、編制而成的指數(shù)，它

涵蓋了企業(yè)采購(gòu)、生產(chǎn)、流通等各個(gè)環(huán)節(jié)，包括制造業(yè)和非制造業(yè)領(lǐng)域，是國(guó)際上通用的檢測(cè)宏觀

經(jīng)濟(jì)走勢(shì)的先行指數(shù)之一，具有較強(qiáng)的預(yù)測(cè)、預(yù)警作用.制造業(yè)PMI高于50%時(shí)，反映制造業(yè)較上

月擴(kuò)張；低于50%,則反映制造業(yè)較上月收縮.下圖為我國(guó)2021年1月―2022年6月制造業(yè)采購(gòu)

經(jīng)理指數(shù)(PMI)統(tǒng)計(jì)圖.

2021年:2022年

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖分析，下列結(jié)論最恰當(dāng)?shù)囊豁?xiàng)為()

A.2021年第二、三季度的各月制造業(yè)在逐月收縮

B.2021年第四季度各月制造業(yè)在逐月擴(kuò)張

C.2022年1月至4月制造業(yè)逐月收縮

D.2022年6月PMI重回臨界點(diǎn)以上，制造業(yè)景氣水平呈恢復(fù)性擴(kuò)張

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，將各個(gè)月的制造業(yè)指數(shù)與50%比較，即可得到答案.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可以得到，只有9月份的制造業(yè)指數(shù)低于50%,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可以得到，10月份的制造業(yè)指數(shù)低于50%,故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可以得到，1、2月份的制造業(yè)指數(shù)高于50%,故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可以得到，從4月份的制造業(yè)指數(shù)呈現(xiàn)上升趨勢(shì),且在2022年6月PMI超過(guò)50%,

故D項(xiàng)正確.

故選：D.

4.已知函數(shù)則/(x)的圖象()

A.關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)C.關(guān)于直線x=0對(duì)稱(chēng)D.關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

【答案】A

【分析】求出/(2-x)以及/(-x)的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，即可判斷各項(xiàng)，得到結(jié)果.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由已知可得，/(2-x)=24+宙=4-j+￡=2'+￡=〃x),

所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng)，故A項(xiàng)正確；

對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)椤?-力=2、+/則/(2—x)~/(x),故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，〃_可=2-，+9=42*+￡,則/(—X)可(x),故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)椤?x)=42+/,則f(x),故D錯(cuò)誤.

故選:A.

【點(diǎn)睛】設(shè)/(X)的定義域?yàn)镼.

對(duì)于Vxe，若/(2a-x)=/(x)恒成立，則〃力的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；

對(duì)于Vxe，若〃2a-x)=-/(x)恒成立，則的圖象關(guān)于點(diǎn)(。,0)對(duì)稱(chēng).

5.黨的二十大報(bào)告既鼓舞人心，又催人奮進(jìn).為學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，某宣講小分隊(duì)將5名宣

講員分配到4個(gè)社區(qū)，每個(gè)宣講員只分配到1個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少分配1名宣講員，則不同的分

配方案共有（）

A.480種B.240種C.120種D.60種

【答案】B

【分析】先選出2人為1組有C；種，再將4組人員分配到4個(gè)社區(qū)有A：,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，即

可求出結(jié)果.

【詳解】5名宣講員分配到4個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少1人，則分配方式為1,1,1,2,

先選出2人為1組有C；=10種，再將4組人員分配到4個(gè)社區(qū)有A：=24,

所以不同的分配方案共有10x24=240.

故選：B.

6.函數(shù)〃力=與注在區(qū)間［-2兀,2可上的圖象大致為（）

e+e

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值的符號(hào)分析判斷.

I詳解】"二土蹩旦一變j）,

.../（X）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，c、D錯(cuò)誤;

又\?若xe（0,2兀］時(shí)-，2x3>0,e，+e*>0,

COSX>0,當(dāng)當(dāng)）時(shí)，COSX<0,

.,.當(dāng)xe（0,5）ud，2兀）時(shí),/（%）>（）,當(dāng)代（右離時(shí)，/（x）<0,A錯(cuò)誤,B正確;

故選：B.

兀p則sin(2a+胡的值為()

7.已知sina+—

6

7472-4及7

A.RD.

9999

【答案】D

【分析】以a+臺(tái)7T為整體，利用誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式運(yùn)算求解.

0

【詳解】vsin

故選：D.

8.如圖所示的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中，后人稱(chēng)為“三角垛”.“三角

垛''最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，….如圖所示的程序框圖，輸出的S即為

小球總數(shù)，則S=()

【答案】B

【分析】設(shè)第〃層小球個(gè)數(shù)為根據(jù)程序框圖可知，輸出的$=4+“2+〃3+4+為+〃6,求出各個(gè)

數(shù)即可得到.

【詳解】設(shè)第〃層小球個(gè)數(shù)為勺，由題意可知，a?-a?_,=n(n>2).

根據(jù)程序框圖可知，輸出的$=4+%+〃3+%+%+4,

又4=1,a2=3,4=6,,="3+4=1°,4=04+5=15,%=4+6=21,

所以5=1+3+6+10+15+21=56.

故選：B.

9.過(guò)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)尸且傾斜角為銳角的直線4與c交于兩點(diǎn)A,B(橫坐標(biāo)分別

為4,X",點(diǎn)A在第一象限)，4為C的準(zhǔn)線，過(guò)點(diǎn)A與4垂直的直線與4相交于點(diǎn)M.若|AF|=|FM|,

則%=()

XB

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【分析】由已知可求得直線4的斜率為g,則直線4的方程為y=聯(lián)立直線與拋物線的

方程，可求出X“與，即可解得結(jié)果.

【詳解】設(shè)直線4的斜率為人,傾斜角為。，

由拋物線的定義知，HM=|AF|,又|AF|=|FM|,所以△AKW為等邊三角形，且4M//X軸，所以

0=Z.FAM=y,則左=12119=6.

產(chǎn)整。｝則直線人的方程為丫=唐卜-￡)，

y2=2px

聯(lián)立直州的方程與拋物線的方程尸可得12/-20內(nèi)+3/=0,

解得七=]2，W=￡,顯然所以XY=2,

2626

3

所以，%=彳一=9.

XB

故選：C.

10.如圖，在長(zhǎng)方體ABCQ-AAGR中，底面A3CD為正方形，E,F分別為Bg,C。的中點(diǎn)，直

線8E與平面ABBM所成角為45,給出下列結(jié)論:

①EFH平面BB、D、D；②EF_LAG;

③異面直線BE與RF所成角為60;④三棱錐8-C斯的體積為長(zhǎng)方體體積的看.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】D

【分析】取BC中點(diǎn)為G,可證明平面EFG〃平面88Q。，根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可判斷①；可證

明AG1平面期RO,即可判斷②；可證明四邊形BERH是平行四邊形，即可得到。進(jìn)而

可得N7/R尸即等于所求角，求出該角即可判斷③；以BCE為底,即可求出三棱錐的體積，進(jìn)而判

斷④.

取3c中點(diǎn)為G,連結(jié)EG,fG.

對(duì)于①，因?yàn)镋,F,G分別是BC，C28C的中點(diǎn)，所以EG〃B/FG//BD,

因?yàn)閡平面58QO,EGct平面58QO,所以EG〃平面BBQO,

同理，F(xiàn)G〃平面BBRD.

因?yàn)椋珽Gu平面EFG,FGu平面EFG,EGFG=G,所以平面EFG〃平面88QQ,

又Mu平面EFG,所以EF〃平面陽(yáng)口。，所以①正確；

對(duì)于②，由已知可得四邊形是正方形，BRLAC,

又平面ABC。，AGu平面ABCQ,所以8月，AG，

因?yàn)锽Qu平面叫DQ,B81U平面BBQ。，BBqBR=B],所以Ag，平面

又EF//平面BBRD,所以故②正確;

對(duì)于③，取AD中點(diǎn)為“，連結(jié)

UU1UUUUUUUUUUUU1UUUUUUUULUUUlf]11UIK|ULMUUUUUUULU

因?yàn)锽E=BB「EB「HDt=DDt-DH,=DDy,EBt=~CXB,=-DA=DH,所以BE=HR,

所以BE//HR且BE=HR,

所以四邊形BE。”是平行四邊形，則〃H//BE,所以異面直線BE與RF所成角即等于直線與

QF所成角NHRF,

因?yàn)橹本€8E與平面AB8/所成角為45,瓦?平面48耳4,所以/￡88=45,所以AE=BB-

設(shè)AB=2,則=g耳G=l,則*=RH=FH=血,

所以VRHF為等邊三角形，所以N”RF=60°,故③正確；

對(duì)于④，設(shè)長(zhǎng)方體體積為V,貝iJV=CL?xBCxCG.

因?yàn)镃D，平面BCGB1,貝U

VB-CEF=VF-BCE=；xCFXSYBCE='xCFx；BCxCC\=-^xCDxBCxCC,>故④正確.

故①②③④正確.

故選：D.

11.已知橢圓C：a+g=l(a>6>0)的左焦點(diǎn)為耳，離心率為e,直線丫=匕(女*0)與C交于點(diǎn)M,

N,且用以％耳二三，/MFN=120。.當(dāng)三/取最小值時(shí)，橢圓。的離心率為()

38

A.|B.—C.2D.范

2223

【答案】B

【分析】根據(jù)直線和橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得"耳N6為平行四邊形，再由NMF、N及向量的數(shù)量積可求尸，

再應(yīng)用基本不等式,取等條件計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)橹本€》=履(4=0)與C交于點(diǎn)M,N,

設(shè)。為MN的中點(diǎn)，由。為匕居的中點(diǎn)，故四邊形叫為平行四邊形.

則忻M=|g|,由橢圓定義得阿娟+園段=為

設(shè)I，叫="此卜〃，因?yàn)橥馑远鷐(-KN)q,又因NMKN=120。

48

所以一加7X

3'3

在△耳例心中，N￡ME=60,應(yīng)用余弦定理

222

|耳瑪「=m+n-2mncosZFtMF2=nr+n-mn=(m+n')"-3mn

所以4c2=4/_8,又因?yàn)閺?c、2=",所以從=2

〃271

222

當(dāng)且僅當(dāng)幺=W，即/=4時(shí)5/-e?取最小值，此吐c=a-b=4-2=2

8a28

12.設(shè)4=0.035,Z?=2.25(e"°’一1),c=41n1.01,則。，b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

7

【分析】構(gòu)建〃x)=ln(x+l)-《x,求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可證c>“，再構(gòu)建

O

g(x)=e*-e"x-1，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可證e。。一］<001/，再證

eoo,-l<O.Ole^<^,即可得

7I7\-lx

【詳解】構(gòu)建〃x)=ln(x+l)-gx,則/'(力=有_§_8(1)，

o

當(dāng)0<x<；時(shí)，則/<x)>0,故在(0,；)上單調(diào)遞增,

0,1L則/(0.01)>/(0)=0,即Inl.O0l.-07g〉。,

0.01G

8

/.41nl.01>0.035,即c>cj

,2

構(gòu)建g(x)=e，一e0一l，貝Ug'(x)=e"—e"

當(dāng)0<x<；時(shí)，則g[x)<0,故g(x)在(0,；)上單調(diào)遞減，

V0.01貝l」g(0.01)<g(0)=0,即€。。1_0.01工-1<0

.1

,?e^'-UO.Ole4'

114

又；則e4<一

9

e°"-l<0.01/〈等，故2.25（e°e-l）<0.035,即

綜上所述：b<a<c.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

①若證。>〃，構(gòu)建f(x)=ln(x+l)-(x,結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析判斷；

O

②若證匕<。，構(gòu)建g(x)=e、-e；x_l，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析判斷，并根據(jù)題意適當(dāng)放縮證明.

二、填空題

x-2y-4<0

13.若x,y滿足約束條件<x-y-220,貝ijz=2x-3y的最大值為.

【答案】8

【分析】作出可行域，通過(guò)平行>=|卜-])確定z的最大值.

【詳解】如圖，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，

聯(lián)立方程e,=0,解得Jy=o,即C(4,0),

由z=2x-3y,即、=,('一￡)表示斜率上=',橫截距為|■的直線/,

通過(guò)平移可得當(dāng)直線/過(guò)點(diǎn)C時(shí)，橫截距最大，即z最大，故ZM=2X4-3X0=8.

故答案為：8.

14.已知向量a=(l,3),6=(2,-4),則向量°與向量b的夾角為

【答案】”35

【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示求夾角即可得到.

【詳解】由已知可得，a?b=(l,3>(2,T)=lx2+3x(-4)=—10,|?|=#77=V10,

忖=百+(-4)2=2退,

則由“為第忡os(總可得，cos(*=前=篇覬=一歲

所以，向量a與向量b的夾角為學(xué).

4

故答案為：—.

4

15.若函數(shù)/(x)=sinax+Gcoss(69>0)的最小正周期為兀，則滿足條件'"(x+夕)是偶函數(shù)”的。

的一個(gè)值為(寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的。即可).

【答案】](答案不唯一，也可以寫(xiě)喑，蔡，符合已+,，左eZ即可)

【分析】化簡(jiǎn)可得〃x)=2sin"+。又根據(jù)周期可得〃x)=2sin(2x+￡),即可得到

/(x+S)=2sin(2x+2e+/),根據(jù)偶函數(shù)可得*=三十^,keZ.

【詳解】.f(x)=sin(yx+Gcos(yx=2gsintwx+與costwx)=2sin(<yx+]],

又〃x)的最小正周期為兀，所以@=兀，則。=2,所以/(x)=2sin(2x+R,

co\5)

所以/(x+0)=2sin(2x+20+W).

又因?yàn)?(x+S)是偶函數(shù)，所以應(yīng)滿足29+5=]+航，kwZ,

所以有9=專(zhuān)+墨kwZ.

故答案為：—.

16.已知。是邊長(zhǎng)為3的正三角形ABC的中心，點(diǎn)P是平面A8C外一點(diǎn)，P。1平面ABC,二面角

P-AB-C的大小為60。，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為.

49

【答案】v71

【分析】根據(jù)題意分析可得二面角P-AB-C的平面角為/皿=60。，進(jìn)而可得相關(guān)長(zhǎng)度，再結(jié)合

球的性質(zhì)可得MC2=MC>2+OC2,可得球的半徑，即可得結(jié)果.

【詳解】是正三角形48c的中心，則0A=Q3=0C,

PA=PB=PC,

取A8的中點(diǎn)。，連接/科8,則即二面角P-AB-C的平面角為NP￡）C=60。，

由正三角形A8C的邊長(zhǎng)為3,則OC=2OD=5PO=|,

三棱錐尸-A3C為正三棱錐，則三棱錐P-A8C的外接球的球心M在直線P。上，設(shè)三棱錐P-ABC

的外接球的半徑為R，

VMC2=MO-+OC-,則心仁-/?）+3,解得R=（,

4Q

???三棱錐P-ABC外接球的表面積S=4兀/?2=兀.

4

故答案為：;49兀.

4

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：球的相關(guān)性質(zhì)：

①球的截面均為圓面；

②球心與截面圓心的連線垂直于該截面.

三、解答題

17.某企業(yè)為改進(jìn)生產(chǎn)，現(xiàn)某產(chǎn)品及成本相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).現(xiàn)收集了該產(chǎn)品的成本費(fèi)y（單位:

萬(wàn)元/噸）及同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量x（單位：噸）的20組數(shù)據(jù).現(xiàn)分別用兩種模型①y="+〃，

②y=@+c,進(jìn)行擬合，據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下值:

X

20.202()20

￡(蒼一五)-xu-n2E(y-y)U-?)

Xy7f

J=l1=11=1r=l

10665-4504

1120

表中‘產(chǎn)二，7=五》一

勺XX）i=i

￡（3）2

2

若用心=1-三--------刻畫(huà)回歸效果，得到模型①、②的心值分別為a2=0.7891,/?2=0.9485.

t（yi-y）2

?=1

⑴利用K「和叫2比較模型①、②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說(shuō)明理由；

（2）根據(jù)（1）中所選擇的模型，求）,關(guān)于x的回歸方程；并求同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25（噸）時(shí)），

的預(yù)報(bào)值.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（知匕），（巧，4），…，（%，%），其回歸直線$=&+Ar的斜率和截距的最小二乘

法估計(jì)分別為6=J----------，a=y-Px.

￡（占-才

1=1

【答案】（1）選擇模型②，理由見(jiàn)解析；

（2）6.

【分析】（1）根據(jù)已知42>R；,根據(jù)店的意義，即可得出模型②的擬合效果好，選擇模型②;

（2）y與f可用線性回歸來(lái)擬合，有§，=濟(jì)+1,求出系數(shù)2,金，得到回歸方程5=100/+2,即可得

到成本費(fèi)y與同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量X的回歸方程為9=吧+2,代入x=25,即可求出結(jié)果.

X

【詳解】（1）應(yīng)該選擇模型②.

由題意可知，R；>R：,則模型②中樣本數(shù)據(jù)的殘差平方和￡（丫廠用2比模型①中樣本數(shù)據(jù)的殘差

1=1

平方和小，即模型②擬合效果好.

（2）由已知r=1,成本費(fèi)y與，可用線性回歸來(lái)擬合，有》=2+s.

X

￡20（3》）（一）4

由已知可得，2=\----------=-=100,

2（—）2°。4

1=1

所以￡=歹一方=10-100x0.08=2,

則y關(guān)于，的線性回歸方程為5=100/+2.

成本費(fèi)y與同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量x的回歸方程為？="。+2,

X

當(dāng)x=25（噸）時(shí)，？=翳+2=6（萬(wàn)元/噸）.

所以，同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25（噸）時(shí)y的預(yù)報(bào)值為6萬(wàn)元/噸.

18.已知｛%｝為等差數(shù)列，且4=1,4=3（4-4）?

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列間滿足：々+2優(yōu)+2迅+…+2”“吟（〃eN*）,求也｝前〃項(xiàng)和S?.

【答案】（1）%=〃

⑵S，=1-.

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式運(yùn)算求解；（2）先根據(jù)前"項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系求

得。=/，可得他,｝為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式運(yùn)算求解?

【詳解】（1）設(shè)數(shù)列｛a,,｝的公差為d,

a（y=3（%一生），貝！jq+5d=6d,即d=q=1,

/.an=1+〃-1=〃,

故數(shù)列｛?,,｝的通項(xiàng)公式4,=n.

2

（2）V+2i2+2/?3+...+2"-'

當(dāng)〃=1時(shí)，則仇=g=:；

22

,1,

當(dāng)〃22時(shí)，則4+2b[+2'b3+...+2"bn_]=1^■,

兩式相減得2"%“=巴年則〃=：；

綜上所述：bn=^.

1

又??,蒙=4=；，故數(shù)列也｝是以首項(xiàng)4=；,公比4=g的等比數(shù)列，

T

21-

數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S=I

14

19.己知_ABC的內(nèi)角4,B,。所對(duì)的邊分別為小乩。從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)并解答問(wèn)題:

2cosAcos3cosC

—=^—+——；(2)cosC-V3sinC=-——

beabaca

@cr-c1+—bc=abcosC.

2

(1)求角A的大小;

(2)若c=3,且的面積為3々，求的周長(zhǎng).

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】⑴A=；

(2)7+713.

【分析】(1)如選擇①，由已知可得2acosA=ccos5+bcosC,根據(jù)正弦定理以及兩角和的正弦公

式的逆用，即可得出cosA=g,進(jìn)而求出A；如選擇②，由已知可得acosC-GqsinC=0-2c,根

據(jù)正弦定理以及兩角和的正弦公式，即可得出cosA+GsinA=2,利用輔助角公式可得

sin(A+j]=l,根據(jù)角的范圍即可求出A；如選擇③，由余弦定理可得，a2-c2+-bc=a2+b2~c2,

化簡(jiǎn)即有歷=。2+o2-/,進(jìn)而求出cosA=g,即可求出A；

(2)根據(jù)三角形的面積公式S八北=；歷"114即可求出b=4,根據(jù)余弦定理即可求出"=屈，進(jìn)

而即可得到A8C的周長(zhǎng).

*、4E/?、4-2cosAcosBcosCccosB+bcosC

【詳解】(1)如選擇①，有「一=——+----=--------------,

beabacabc

B|J2<2COSA=ccosB+/?cosC,

由正弦定理可得，2sinAcosA=sinCeosB+sinBcosC=sin(8+C)=sinA,

又sinAwO,所以cosA=；,

因?yàn)镺vAv兀，所以A=1.

b2

如選擇②，由cosC-6sinC=^^可得，tzcosC->/3asinC=b-2c,

a

由正弦定理可得，sinAcosC-75sinAsinC=sinB-2sinC,

XsinB=sin(/4+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinCeosA+VJsinAsinC=2sinC，又sinCwO,

所以cosA+GsinA=2,即2x^cosA+^-sinA=2sin(A+g]=2,

122J16；

所以sin(A+[)=l.

因?yàn)镺VAVTT,所以+所以A+m=g，解得4=：

o6662J

如選擇③，ci2-c2+=abcosC.

由余弦定理可得，〃2一t+>桃=曲八護(hù)一°?=a~"：

2lab2

整理可得，bc=加+/一02,所以cosA=空三二土:=生=’.

2bc2hc2

因?yàn)?cA<兀，所以A=1.

(2)由(1)知，A=j,又c=3,且一AfiC的面積為3白，

所以有SVABC=；bcsinA=；x36x等=36,解得b=4,

由余弦定理可得，?2=&2+c2-2foccosA=42+32-2x4x3x1=13,

所以a=>f\3,

所以」,ABC的周長(zhǎng)Z,=a+Hc=7+s/II.

20.如圖，四棱錐尸-4?C3的底面是矩形，底面A8C￡>,PD=AD=y/3AB.

P

（1）試在棱8c上確定一點(diǎn)M,使得平面平面尸8D,并說(shuō)明理由.

（2）在第（1）問(wèn)的條件下，求二面角M-PA-C的余弦值.

【答案】（1）答案見(jiàn)詳解；

”、3版

（勺------

35

【分析】(1)當(dāng)M為棱BC上靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn)時(shí)，根據(jù)三角形相似，可推出ZA8￡>+NMA8=90°,

即進(jìn)而證明平面尸8￡),從而得到面面垂直：

(2)以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量以及平面CPA的

法向量，再根據(jù)圖形判斷二面角為銳角，即可求出結(jié)果.

【詳解】(1)當(dāng)M為棱8C上靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn)時(shí)，平面小"_L平面92.

AB=AB=n

證明：若”為棱BC上靠近點(diǎn)3的三等分點(diǎn)，AO=gAB,所以的=不=.

一/\LJ

3

A。r

又二二=J3,ND48=ZA8M=90°,所以..ZM8s.ABM.

AB

所以NM4B=NBD4.

y.ZABD+ZBDA=90°,所以ZA8O+NM48=9()",所以AM_L8￡).

因?yàn)镻D_L底面ABC。，AWu平面ABC。，所以PD2AA7.

因?yàn)?￡>u平面?B￡),PDu平面尸B￡),BDPD=D,所以AMI平面尸B￡).

又AMu平面PAM,所以平面PAM_L平面

由(1),連結(jié)AC,以點(diǎn)3為原點(diǎn)，分別以D4,DC,OP所在的直線為軸，如圖建立空間直角坐

(2Jj、

標(biāo)系，設(shè)AB=1,貝ijAE>=6,A(退,0,0),P(0,0,G),C(0,l,0),M—,1,0.

uuirfAuuu,...

AM=-￥/,0,AP=(-V3,0,V3),AC=(-V3,l,0).

<)

n}-AM=0玉+%=。

設(shè)平面MBA的法向量為嗎=(X],y”zJ,貝",即_1J

nAP=0

i+y/3z^—0

令玉=3,則〃i=(3,百,3).

/、AC=0一>/3%+%=0

設(shè)平面CPA的法向量為n,=(左,%,Z2),貝I一，即一；

n2-AP-0[一。3占+V3Z2=0

取々=1,則%=(1,6,1).

UIII--------

3+3+33V105

一后Xg35'

顯然二面角河-4-。為銳角，所以二面角的余弦值為三叵.

35

21.已知函數(shù)〃x)=xe*-a(Jx2+x-l).

⑴若X=-1是/(X)的極小值點(diǎn)，求a的取值范圍；

(2)若x20,/(x)>0,求a的取值范圍.

【答案】⑴a<L

e

⑵[0，e&].

【分析】⑴求導(dǎo)可得f'(x)=(x+l乂e-a),然后分為“40、。>0進(jìn)行分類(lèi)討論，當(dāng)4>0時(shí)，導(dǎo)

函數(shù)有兩個(gè)解，對(duì)兩個(gè)解的大小關(guān)系進(jìn)行討論，即可得到〃的取值范圍；

(2)當(dāng)時(shí)，可知/'(x)“恒成立，則“X)單調(diào)遞增，只需〃0)“即可,代入得到時(shí),

由(1)知，當(dāng)x=lna時(shí)，取得極小值，也即為最小值.根據(jù)題意，只需滿足〃4面="Ina"。，

整理即可得到關(guān)于。的不等式，求解即可得到.

【詳解】(1)由已知可得，f(x)定義域?yàn)镽.

/,(x)=eA+xev-a(x+l)=(x+l)(eA-a).

①當(dāng)440,貝Ue，一a>0恒成立，解/'(x)=0可得x=—1,

解汽x)>。,可得x>-l；解/(力<0,可得x<—l.

顯然X=-1是“X)的極小值點(diǎn)，滿足條件.

②當(dāng)4>0時(shí)，解/'(x)=0可得占=T,x2=\na.

(i),即0<a<，時(shí)，解可得xclna或%>一1；

解r(x)<0,可得lna<x<T.此時(shí)％=-1是〃x)的極小值點(diǎn)，滿足條件;

(ii)當(dāng)lna=-l,即。=一時(shí)，((司20恒成立，無(wú)極值點(diǎn)；

e

(iii)當(dāng)即a>l時(shí)，解/，x)>0,可,得x>lna或x<-l；

解r(X)<0,可得T<x<lna.此時(shí)》=-1是〃x)的極大值點(diǎn)，與己知不符.

綜上所述，。的取值范圍為。<L

e

(2)由(1)知，,f(x)=(x+l)(er-a),

因?yàn)閤20,所以e**l,

①當(dāng)“41時(shí)，可知/'(x)WO恒成立，則單調(diào)遞增.

故xNO時(shí)，/(x)>/(O)-a>O,所以，OWaWl滿足條件.

②當(dāng)”>1時(shí)，可知0<x<lna時(shí)，f'(x)<0,〃x)單調(diào)遞減；x>lna時(shí)，制x)>0,〃x)單調(diào)遞

增.

所以，在區(qū)間［0,+8)上，當(dāng)x=lna時(shí)，/(x)取得極小值，也即為最小值.

由于xNO,/(x”0恒成立，

則“X)而n=/(ma)=lna-eS"-"(；ln2a+lna-l)N(),

即有°1114-4(!11?4+111”140,整理可得In2a42,

因?yàn)閍>l,lna>0,所以有O<lnaV0，解得IcaWe".

綜上所述，〃的取值范圍為［。得也］.

【點(diǎn)睛】求解不等式在區(qū)間上恒成立問(wèn)題，常常轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問(wèn)題：即借助導(dǎo)函數(shù)得到函

數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值、最值，列出關(guān)系式，即可求得參數(shù)的范圍.

22.在直角坐標(biāo)系xQy中，直線/的參數(shù)方程為卜=6+'cosaa為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x

y=tsina

Q

軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為爐=」~/，直線/與曲線C相交于A,

5-3cos2，

B兩點(diǎn),M(V3,0).

(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)若AA/=2M8,求直線/的斜率.

【答案】⑴E+>2=1

4

⑵土學(xué)

x=pcosO

【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)直角的轉(zhuǎn)化y=「sin。，運(yùn)算求解；（2）聯(lián)立直線/的參數(shù)方

2*>9

p-=x'+y-

程和曲線C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解.

一..2=8_______________8_______________4

-222222

【汗”】（1）?P-5