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文檔簡介

第十二章1無窮級數(shù)§1

常數(shù)項級數(shù)的概念及其性質(zhì)一、基本概念

定義 給了數(shù)列將它們依次用加號連接起來而得的表達式稱為常數(shù)項無窮級數(shù)，簡稱常數(shù)項級數(shù)，或級數(shù)，記為，即2給了級數(shù)設(shè)為任一正整數(shù)，定義為級數(shù)的前3項部分和。部分和數(shù)列定義 若級數(shù) 的部分和數(shù)列的極限存在，極限值記為，即則稱級數(shù)為級數(shù)若是發(fā)散的。是收斂的，并稱極限值的和，記為

.的極限不存在，則稱級數(shù)4例1

討論等比級數(shù)（又稱幾何級數(shù)）的收斂性。解 級數(shù)的前項部分和，，討論:收斂，且其和為5發(fā)散。發(fā)散。不存在6由(1)(2)(3)得：發(fā)散，收斂，且和為，7證級數(shù)的前項部分和發(fā)散。例2證明級數(shù)是發(fā)散的。8例3解判定級數(shù)的收斂性。收斂。9是發(fā)散的。例4

證明調(diào)和級數(shù)證 （反證）假設(shè)是收斂的。存在，設(shè)它的部分和為記極限值為 ，即,

則10即(*)另一方面，11這與(*)式矛盾！是發(fā)散的。二、級數(shù)的基本性質(zhì)1、若 收斂，設(shè)其和為，則也收斂，且其和為.122、若收斂，其和為收斂，其和為則(1)收斂，且其和為(2)收斂，且其和為133、在級數(shù)的前面或中間,去掉、添加或改變有限項，所得級數(shù)與原級數(shù)的收斂性相同。（

注意：和變了

）4、若一個級數(shù)收斂，則對其項任意加括號后所得級數(shù)也收斂，且其和不變。（注意：反之不然）反例：14不存在發(fā)散即()

(

)收斂但發(fā)散15的部分和加括號說明：性質(zhì)4

的逆否命題：若一個級數(shù)加括號后所得級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)也發(fā)散?？衫眠@個命題，來判斷一個級數(shù)是發(fā)散的。三、級數(shù)收斂的必要條件設(shè)定義 收斂，其和為，設(shè)它的前的余項，項部分和為 ，

稱

為記為

，即16定理若收斂，則證設(shè)的部分和為收斂17注意其逆命題不對。反例：但發(fā)散。18推論

若，則發(fā)散。

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