專(zhuān)題2.6 二次根式的加減【十大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版）

專(zhuān)題2.6二次根式的加減【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷同類(lèi)二次根式】 1【題型2根據(jù)同類(lèi)二次根式的概念求字母的取值】 3【題型3運(yùn)用乘法公式和運(yùn)算律簡(jiǎn)化二次根式的混合運(yùn)算】 5【題型4比較二次根式的大小】 8【題型5已知字母的取值化簡(jiǎn)求值】 10【題型6已知條件式化簡(jiǎn)求值】 12【題型7與二次根式有關(guān)的整體代入求值問(wèn)題】 14【題型8二次根式混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】 16【題型9二次根式的新定義類(lèi)問(wèn)題】 19【題型10二次根式的閱讀理解類(lèi)問(wèn)題】 24【知識(shí)點(diǎn)1同類(lèi)二次根式】把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式．①同類(lèi)二次根式類(lèi)似于整式中的同類(lèi)項(xiàng)；②幾個(gè)同類(lèi)二次根式在沒(méi)有化簡(jiǎn)之前，被開(kāi)方數(shù)完全可以互不相同；③判斷兩個(gè)二次根式是否是同類(lèi)二次根式，首先要把它們化為最簡(jiǎn)二次根式，然后再看被開(kāi)方數(shù)是否相同．【題型1判斷同類(lèi)二次根式】【例1】（2023·上海·八年級(jí)假期作業(yè)）判斷下列各組的二次根式是否為同類(lèi)二次根式？(1)24，48，112(2)x4y，3x【答案】(1)不是(2)不是【分析】根據(jù)二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)后，結(jié)合同類(lèi)二次根式定義判斷即可得到答案．【詳解】（1）解：∵24=48=4112∴24，48，112（2）解：x43x-2x∴x4y，3x【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根屬性及同類(lèi)二次根式的概念，熟記二次根式性質(zhì)先化簡(jiǎn)再判斷是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各式與427是同類(lèi)二次根式的是（

A．216 B．125 C．48 D．32【答案】C【分析】先利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再根據(jù)同類(lèi)二次根式的定義判斷．【詳解】解：∵427=293，216=66∴與427是同類(lèi)二次根式的是48故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，同類(lèi)二次根式的定義，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·上海·八年級(jí)期末）下列各式中，屬于同類(lèi)二次根式的是（

）A．xy與xy2 B．2x與2x C．3aa與1a D【答案】C【分析】化簡(jiǎn)各選項(xiàng)后根據(jù)同類(lèi)二次根式的定義判斷．【詳解】A、xy與xyB、2x與2xC、3aa與1D、3a故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了同類(lèi)二次根式的定義：化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類(lèi)二次根式．【變式1-3】（2023春·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）下列各式經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后與--27x3A．27x3 B．-x327 C【答案】A【分析】同類(lèi)二次根式是指化為最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方式相同的二次根式.【詳解】解：--27x3=-選項(xiàng)A：27x3=3x選項(xiàng)B：-x327=-選項(xiàng)C：-19-3選項(xiàng)D：-x3=B、C、D中都含有-3x，是同類(lèi)二次根式，A不是，故選【點(diǎn)睛】本題考查了同類(lèi)二次根式的概念.【題型2根據(jù)同類(lèi)二次根式的概念求字母的取值】【例2】（2023·上海·八年級(jí)假期作業(yè)）若5x+8與7是同類(lèi)二次根式，求x的最小正整數(shù)？【答案】x=4【分析】5x+8不一定是最簡(jiǎn)二次根式，從而由同類(lèi)二次根式定義列出方程求解即可得到答案．【詳解】解：由題意得：5x+8=n2×7∵n2>0，則∴當(dāng)n=1時(shí)，5x+8=7，解得x=-0.2，不是正整數(shù)，舍去；當(dāng)n=2時(shí)，5x+8=28，解得x=4，符合題意，即x的最小正整數(shù)為4．【點(diǎn)睛】本題主要考查同類(lèi)二次根式的概念，此題中要注意前面一個(gè)二次根式并不是最簡(jiǎn)的，根據(jù)題意列出方程求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式2-1】分別求出滿(mǎn)足下列條件的字母a的取值：(1)若最簡(jiǎn)二次根式3a與﹣8是同類(lèi)二次根式；(2)若二次根式3a與﹣8是同類(lèi)二次根式．【答案】(1)a=(2)a=【分析】（1）根據(jù)同類(lèi)二次根式的被開(kāi)方數(shù)相同列出方程，通過(guò)解方程求得答案；（2）根據(jù)同類(lèi)二次根式的被開(kāi)方數(shù)相同列出方程，通過(guò)解方程求得答案．【詳解】（1）∵﹣8＝﹣22，最簡(jiǎn)二次根式3a與﹣8是同類(lèi)二次根式，∴3a＝2，解得a=2（2）∵二次根式3a與﹣8是同類(lèi)二次根式，∴3a＝2n2，解得a＝2n【點(diǎn)睛】考查了同類(lèi)二次根式和最簡(jiǎn)二次根式．同類(lèi)二次根式：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式叫做同類(lèi)二次根式．【變式2-2】（2023春·重慶綦江·八年級(jí)?？计谥校┳詈?jiǎn)二次根式2b+1與a+47+b可以合并成一個(gè)二次根式，則a-b=【答案】-8【分析】最簡(jiǎn)二次根式2b+1與a+47+b能合并成一個(gè)二次根式，則兩個(gè)二次根式的被開(kāi)方數(shù)相等，即可求得a，b【詳解】解：根據(jù)題意得：2b+1=7+b,a+4=2，則a=-2，所以a-b=-2-6=-8，故答案是：-8．【點(diǎn)睛】本題考查同類(lèi)二次根式的概念，同類(lèi)二次根式是化為最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式稱(chēng)為同類(lèi)二次根式．【變式2-3】（2023春·河南信陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先閱讀解題過(guò)程，再回答后面的問(wèn)題．如果m、n是正整數(shù)，且162m+n和m-n-1m+7在二次根式的加減法中可以合并成一項(xiàng)，求m、解：∵162m+n和m-n-1∴m-n-1=2162m+n=m+7，即m-n=3∵m、n是正整數(shù)，∴此題無(wú)解．問(wèn)：（1）以上解法是否正確？如果不正確，錯(cuò)在哪里？（2）給出正確的解答過(guò)程．【答案】（1）不正確，原因是沒(méi)有把162m+n轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)二次根式；（2【分析】（1）要知道，同類(lèi)二次根式是化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同．（2）先把162m+n【詳解】解：（1）不正確，原因是沒(méi)有把162m+n（2）正確解答過(guò)程如下：∵162m+n=42m+n，16∴m-n-1=22m+n=m+7，解得：m=5經(jīng)檢驗(yàn)m=5，n=2符合題意，∴m=5，n=2．【點(diǎn)睛】本題考查同類(lèi)二次根式的概念，同類(lèi)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式稱(chēng)為同類(lèi)二次根式．【知識(shí)點(diǎn)2二次根式的加減法則】二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．【題型3運(yùn)用乘法公式和運(yùn)算律簡(jiǎn)化二次根式的混合運(yùn)算】【例3】（2023春·黑龍江牡丹江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算(1)4(2)2【答案】(1)14(2)-8+7【分析】（1）先計(jì)算括號(hào)里，再計(jì)算除法；（2）先運(yùn)用平方差公式和完全平方公式、分母有理化進(jìn)行計(jì)算，再相加減即可【詳解】（1）原式===（2）原式=24-3-=21-29+6=-8+7【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算、平方差公式、完全平方公式，分母有理化，掌握二次根式混合運(yùn)算的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·廣東江門(mén)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：27【答案】9【分析】先化簡(jiǎn)二次根式，同步計(jì)算二次根式的乘法與除法運(yùn)算，再合并即可．【詳解】解：27=3=9【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，熟記二次根式的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序是解本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·北京·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：(1)48(2)(7+4【答案】(1)4-(2)6【分析】（1）利用二次根式的乘除法則運(yùn)算即可得；（2）利用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】（1）解：原式=48÷3=16=4-（2）解：原式=49-48-(45-6=1-46+6=6【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的計(jì)算，完全平方公式和平方差公式，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．【變式3-3】（2023春·湖北黃岡·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）計(jì)算：(1)32(2)212(3)2+(4)2-3【答案】(1)-(2)14(3)4+2(4)1【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法和除法法則運(yùn)算；（2）先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并即可；（3）利用完全平方公式和平方差公式計(jì)算；（4）先根據(jù)積的乘方、絕對(duì)值和零指數(shù)冪的意義計(jì)算，然后利用平方差公式計(jì)算后合并即可．【詳解】（1）解：原式=3×=3×=-15（2）原式=4=143（3）原式=2+2=2+2=4+26（4）原式===1×=2+=1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和除法法則、零指數(shù)冪是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【題型4比較二次根式的大小】【例4】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）比較大小錯(cuò)誤的是（

）A．5＜7 B．35＋2＜82﹣1C．-7-232＞﹣6 D．|1－3|＞3【答案】D【分析】利用比較實(shí)數(shù)大小的方法逐項(xiàng)判斷正誤即可．【詳解】A、由于5<7，則5＜7，故正確；B、由于35＋2<6+2=8，而8=9-1<82－1，則35＋2＜82﹣1，故正確；C、由于-23>-5，則D、由于1-3=3故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)大小的比較，涉及二次根式的比較，不等式的性質(zhì)等知識(shí)，其中掌握二次根式大小的比較是關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）將55,6【答案】7【分析】先求出三個(gè)數(shù)的平方，再比較大小即可．【詳解】(55)2=∵15∴77故答案為：77【點(diǎn)睛】本題考查了比較二次根式的大小，熟知正數(shù)比較大小的法則是解答此題的關(guān)鍵．平方法是比較二次根式的大小常用的方法．【變式4-2】（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀下列化簡(jiǎn)過(guò)程：121314…從中找出化簡(jiǎn)的方法與規(guī)律，然后解答下列問(wèn)題：(1)12(2)設(shè)a=13-2，b=1【答案】(1)2020(2)c>b>a【分析】（1）根據(jù)題意將式子先化簡(jiǎn)，再運(yùn)用平方差公式求解即可；（2）根據(jù)題意將a，b，c求出來(lái)，再進(jìn)行二次根式的大小比較即可．【詳解】（1）根據(jù)題意可得，原式===2021-1=2020；（2）根據(jù)題意可得，a=3+23-∵2∴3+即a<b，∵5∴2+3即b<c，∴c>b>a．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算和平方差公式，正確的理解題意是解決本題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）滿(mǎn)足不等式82+1<m<83-【答案】7【分析】先將前后二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行估值，根據(jù)估值確定m的個(gè)數(shù)．【詳解】解：∵2≈1.414，5∴82+1=8∵82+1<m<∴3.312<m<10.472，∵3.3121與10.472之間的整數(shù)有4、5、6、7、8、9、10，共7個(gè)，∴整數(shù)m的個(gè)數(shù)是7，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)以及二次根式的估值，解題的關(guān)鍵是熟練化簡(jiǎn)二次根式．【題型5已知字母的取值化簡(jiǎn)求值】【例5】（2023春·云南昭通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若x＝3＋22，y＝3－22，求x-yx【答案】0【分析】先運(yùn)用平方差及完全平方公式進(jìn)行因式分解，再約分，將分式化到最簡(jiǎn)即可．【詳解】x-yx=(=(=x-=0．故當(dāng)x＝3+22，y＝3?22時(shí)，原式=0．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值．運(yùn)用公式將分子因式分解可使運(yùn)算簡(jiǎn)便．由于所求代數(shù)式化簡(jiǎn)之后是一個(gè)常數(shù)0，與字母取值無(wú)關(guān)．因而無(wú)論x、y取何值，原式都等于0．【變式5-1】（2023春·四川自貢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知x=2+1，求代數(shù)式3-2【答案】0【分析】把x值帶入后，利用完全平方公式和平方差公式計(jì)算即可.【詳解】當(dāng)x=2+1=3-22=32=9-8+2-1-2=0【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算?化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是把x代入求值時(shí)利用公式，比較簡(jiǎn)單．【變式5-2】（2023春·山東臨沂·八年級(jí)?？计谀┮阎猘=2+1，求a【答案】22【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則將a2a-1-a-1【詳解】解：a===當(dāng)a=2原式=1【點(diǎn)睛】本題考查分式的運(yùn)算，熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·上?！ぐ四昙?jí)期末）先化簡(jiǎn)：xy+yxx【答案】xy；1【分析】分子中先提出公因式xy進(jìn)行因式分解，分子分母約去公因式后再利用二次根式乘法進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代入數(shù)值進(jìn)行求解即可.【詳解】x=xy=xy=xy，當(dāng)x=13-22,y=【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，正確確定運(yùn)算順序以及運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵.【題型6已知條件式化簡(jiǎn)求值】【例6】（2023春·貴州畢節(jié)·八年級(jí)校考期末）若x，y為實(shí)數(shù)，且y=1-4x+4x-1【答案】2【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件求出x的值，進(jìn)而求出y的值，然后代值計(jì)算即可．【詳解】解：∵y=1-4x∴1-4x≥04x-1≥0∴14≤x≤1∴y=1-4x∴xy∴x==22【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，二次根式的求值，正確求出x、y的值是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·四川樂(lè)山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知a、b滿(mǎn)足4a-b+1+b-12a-9=0【答案】3【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，然后代值計(jì)算即可．【詳解】解：∵4a-b+1+b-12a-9=0∴4a-b+1∴4a-b+1=0b-12a-9=0．解得a=-1b=-3．b==3×==3【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解二元一次方程組，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春?肥城市期中）已知x-69-x=x-69-x，且x【答案】4【分析】由二次根式的非負(fù)性可確定x的取值范圍，再根據(jù)x為奇數(shù)可確定x的值，然后對(duì)原式先化簡(jiǎn)再代入求值．【詳解】解：由分式和二次根式有意義的條件，可得x-6≥09-x>0解得6≤x<9，且x為奇數(shù)，∴x=7，∴原式=(x+1)=(x+1)===43【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式和二次根式有意義的條件、二次根式的化簡(jiǎn)求值等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)x的取值范圍，確定x的值，然后代入求解．【變式6-3】（2023·八年級(jí)單元測(cè)試）若a=122+【答案】2.【分析】已知條件比較復(fù)雜，將已知條件變形得出所求式子的結(jié)構(gòu)求值即可.【詳解】∵a+∴a∴a∴a∵a>0，∴a【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，式子較復(fù)雜需要先化簡(jiǎn)條件.【題型7與二次根式有關(guān)的整體代入求值問(wèn)題】【例7】（2023春·廣東廣州·八年級(jí)華南師大附中?？茧A段練習(xí)）若a=5+1，(1)a(2)a【答案】(1)8(2)4【分析】（1）先求解a+b=25，ab=（2）先求解a+b=25，a-b=2【詳解】（1）解：∵a=5+1，∴a+b=25，ab=∴a2（2）∵a=5+1，∴a+b=25，a-b=2∴a2【點(diǎn)睛】本題考查的是求解代數(shù)式的值，二次根式的加減運(yùn)算，二次根式的混合運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·陜西安康·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知x=3-7，y=3+7，求【答案】-6【分析】先計(jì)算出x+y,x-y與xy的值，再把xy-y【詳解】解：∵x=3-7，y=3+7∴x+y=6,x-y=-2∴xy-y【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，正確進(jìn)行變形能簡(jiǎn)化計(jì)算．【變式7-2】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）已知a＝2＋1，求a3－a2－3a＋2016的值．【答案】2017【分析】先根據(jù)a＝2＋1,可得:a－1＝2,然后利用完全平方公式兩邊平方可得:(a－1)2＝2,繼而可得:a2－2a＝1,然后整體代入a3－a2－3a＋2016=a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016,即可求解.【詳解】解:∵a＝2＋1,∴a－1＝2,∴(a－1)2＝2,即a2－2a＝1,∴原式＝a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016＝a＋1－a＋2016＝2017.【點(diǎn)睛】本題主要考查代數(shù)式化簡(jiǎn)求值,解決本題的關(guān)鍵是要利用完全平方公式巧變形,再整體代入思想求解.【變式7-3】（2023春·廣東珠海·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知a+1(1)a2(2)a2【答案】(1)5(2)±【分析】（1）利用完全平方公式可得a2（2）根據(jù)完全平方公式可得(a-1a)2=【詳解】（1）解：∵a+1∴a+∴a（2）解：由（1）得a2∴a-∴a-1又∵a∴當(dāng)a-1a=當(dāng)a-1a=-【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)求值及完全平方公式、平方差公式，熟練掌握乘法公式是解題的關(guān)鍵．【題型8二次根式混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】【例8】（2023春·北京海淀·八年級(jí)期末）快遞公司為顧客交寄的快遞提供紙箱包裝服務(wù)．現(xiàn)有三款包裝紙箱，底面規(guī)格如下表：型號(hào)長(zhǎng)寬小號(hào)20cm18cm中號(hào)25cm20cm大號(hào)30cm25cm

已知甲、乙兩件禮品底面都是正方形，底面積分別為80cm2，【答案】應(yīng)選擇中底面型號(hào)的紙箱【分析】先求出甲、乙兩件禮品的邊長(zhǎng)之和為105cm，進(jìn)而估算出20<10【詳解】解：應(yīng)選擇中型號(hào)的紙箱，理由如下：∵甲、乙兩件禮品底面都是正方形，底面積分別為80cm2，∴甲、乙兩件禮品的邊長(zhǎng)分別為45∴甲、乙兩件禮品的邊長(zhǎng)之和為45∵400<500<625<900，∴20<105∴只有中型號(hào)和大型號(hào)兩個(gè)型號(hào)可供選擇，∵25×20<30×25，∴從節(jié)約枌料的角度考慮，應(yīng)選擇中底面型號(hào)的紙箱．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，正確估算出甲、乙兩件禮品的邊長(zhǎng)之和的范圍是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春·廣東汕頭·八年級(jí)校聯(lián)考期末）甲容器中裝有濃度為a的果汁40kg，乙容器中裝有濃度為b的果汁90kg，兩個(gè)容器都倒出mkg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，兩容器內(nèi)的果汁濃度相同，則m的值為【答案】6【分析】分別求出甲，乙容器中原溶液中純果汁的含量，再求出mkg溶液中純果汁的含量，最后利用混合后果汁的濃度相等列出關(guān)系式40a-ma+mb40=【詳解】解：根據(jù)題意，甲容器中純果汁含量為40akg，乙容器中純果汁含量為90bkg，甲容器倒出mkg果汁中含有純果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有純果汁mbkg，重新混合后，甲容器內(nèi)果汁的濃度為40a-ma+mb重新混合后，乙容器內(nèi)果汁的濃度為90b-mb+ma由題意可得，40a-ma+mb整理得，610a-610b=5ma-5mb，∴610（a-b）=5m（a-b），∴m=610故答案為：610【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的應(yīng)用，能夠正確理解題意，化簡(jiǎn)二次根式是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）用“=”、“>”、“<”填空：4+324×3，1+1621×1（2）由（1）中各式猜想m+n與2mn（3）請(qǐng)利用上述結(jié)論解決下面問(wèn)題：某園林設(shè)計(jì)師要對(duì)園林的一個(gè)區(qū)域進(jìn)行設(shè)計(jì)改造，將該區(qū)域用籬笆圍成矩形的花圃．如圖所示，花圃恰好可以借用一段墻體，為了圍成面積為200m【答案】（1）>，>，=；（2）m+n≥2mn(m≥0，n≥0)；（【分析】（1）分別進(jìn)行計(jì)算，比較大小即可；（2）根據(jù)第（1）問(wèn)填大于號(hào)或等于號(hào)，所以猜想m+n≥2mn（3）設(shè)花圃的長(zhǎng)為a米，寬為b米，需要籬笆的長(zhǎng)度為（a＋2b）米，利用第（2）問(wèn)的公式即可求得最小值．【詳解】解：（1）∵4+3=7,2∴7∵49>48∴4+3>2∵1+∴1+∵5+5=10,2∴5+5=2故答案為：＞，＞，＝．（2）m+n≥2mn當(dāng)m≥0，n≥0時(shí)，∵(∴(∴m-2∴m+n≥2（3）設(shè)花圃的長(zhǎng)為a米，寬為b米，則a＞0，b＞0，S＝ab＝200，根據(jù)（2）的結(jié)論可得：a+2b≥2a?2b∴籬笆至少需要40米．故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的計(jì)算，體現(xiàn)了由特殊到一般的思想方法，解題的關(guān)鍵是聯(lián)想到完全平方公式，利用平方的非負(fù)性求證．【變式8-3】（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）甲容器中裝有濃度為a的果汁40kg，乙容器中裝有濃度為b的果汁90kg，兩個(gè)容器都倒出mkg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，兩容器內(nèi)的果汁濃度相同，則m的值為【答案】6【分析】分別求出甲，乙容器中原溶液中純果汁的含量，再求出mkg溶液中純果汁的含量，最后利用混合后果汁的濃度相等列出關(guān)系式40a-ma+mb40=【詳解】解：根據(jù)題意，甲容器中純果汁含量為40akg，乙容器中純果汁含量為90bkg，甲容器倒出mkg果汁中含有純果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有純果汁mbkg，重新混合后，甲容器內(nèi)果汁的濃度為40a-ma+mb重新混合后，乙容器內(nèi)果汁的濃度為90b-mb+ma由題意可得，40a-ma+mb整理得，610a-610b=5ma-5mb，∴610（a-b）=5m（a-b），∴m=610故答案為：610【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的應(yīng)用，能夠正確理解題意，化簡(jiǎn)二次根式是解題的關(guān)鍵．【題型9二次根式的新定義類(lèi)問(wèn)題】【例9】（2023春·貴州黔西·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）我們規(guī)定用a，b表示數(shù)對(duì)，給出如下定義：記m=1a，n=b（a>0，b>0），將m，n與n，m稱(chēng)為數(shù)對(duì)a，b的一對(duì)“對(duì)稱(chēng)數(shù)對(duì)”(1)數(shù)對(duì)25，4的一對(duì)“對(duì)稱(chēng)數(shù)對(duì)”是______和(2)若數(shù)對(duì)3，y的一對(duì)“對(duì)稱(chēng)數(shù)對(duì)”的兩個(gè)數(shù)對(duì)相同，求(3)若數(shù)對(duì)x，2的一對(duì)“對(duì)稱(chēng)數(shù)對(duì)”的其中一個(gè)數(shù)對(duì)是2，【答案】(1)(15，2)和(2，1(2)y=(3)x=1【分析】（1）根據(jù)題意將a=25，b=4代入m=1a，（2）(3，y)）的一對(duì)“對(duì)稱(chēng)數(shù)對(duì)”的兩個(gè)數(shù)對(duì)相同說(shuō)明13=y（3）將數(shù)對(duì)x，2的一對(duì)“對(duì)稱(chēng)數(shù)對(duì)”求出來(lái)，即得出xx【詳解】（1）∵125=1∴數(shù)對(duì)25，4的一對(duì)“對(duì)稱(chēng)數(shù)對(duì)”是(15，2)和(2，故答案為：(15，2)和(2，15（2）∵數(shù)對(duì)3，y的一對(duì)“對(duì)稱(chēng)數(shù)對(duì)∴13解得：y=1（3）∵1x∴數(shù)對(duì)x，2的“對(duì)稱(chēng)數(shù)對(duì)”分別為(xx，2)和(2，∵數(shù)對(duì)x，2的一對(duì)“對(duì)稱(chēng)數(shù)對(duì)”的其中一個(gè)數(shù)對(duì)是∴只可能為xx解得：x=1．【點(diǎn)睛】本題考查新定義題型，嚴(yán)格按照新定義要求，結(jié)合學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)根據(jù)題意列方程求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）定義：若兩個(gè)二次根式a，b滿(mǎn)足a?b=c，且c是有理數(shù)，則稱(chēng)a與b是關(guān)于c的共軛二次根式．(1)若a與2是關(guān)于4的共軛二次根式，求a的值；(2)若2+3與4+3m是關(guān)于2【答案】(1)2(2)-2【分析】（1）根據(jù)共軛二次根式的定義建立等式，即可得到答案；（2）根據(jù)共軛二次根式的定義建立等式，即可得到答案．【詳解】（1）∵a與2是關(guān)于4的共軛二次根式，∴2a=4∴a=4（2）∵2+3與4+3m∴2+3∴4+3∴m=-2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了新定義共軛二次根式的理解和應(yīng)用，并會(huì)利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．【變式9-2】（2023春·重慶涪陵·八年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n，若定義新運(yùn)算m?n=m①18?2=22②11?2③a?b?以上說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【分析】利用新定義進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可．【詳解】解：∵18>2，∴18?2=18所以①正確；1====100?1所以②正確；當(dāng)a≥b時(shí)，a?b?當(dāng)a<b時(shí)，a?b?所以③正確；故正確的為①②③，有3個(gè)，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查新定義，二次根式的混合運(yùn)算，掌握新定義的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2023春·北京·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）材料一：平方運(yùn)算和開(kāi)方運(yùn)算是互逆運(yùn)算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么a2±2ab+b2=|a±b|．如何將雙重二次根式5±26化簡(jiǎn)？我們可以把材料二：在直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P（x，y）和Q（x，y'）給出如下定義：若y'={y(x>0)-y(x<0)，則稱(chēng)點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”．例如：點(diǎn)（3，2）的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為（3，2），點(diǎn)（﹣2，5）的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為（﹣請(qǐng)選擇合適的材料解決下面的問(wèn)題：(1)點(diǎn)(2,-3)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為_(kāi)_____，點(diǎn)(-33,-2)的(2)化簡(jiǎn)：7+210(3)已知a為常數(shù)（1≤a≤2），點(diǎn)M（-2，m）且m=12(a+2a-1+a-2a-1)，點(diǎn)M【答案】(1)（2，-3）；（-33，(2)5+2(3)（﹣2，﹣2）【分析】（1）根據(jù)“橫負(fù)縱變點(diǎn)”的定義，y'（2）根據(jù)材料一，雙重二次根式的化簡(jiǎn)，將7+210化為(5)（3）根據(jù)1≤a≤2，得a-1-1≤0；將m=12(a+2a-1+a-2a-1)化簡(jiǎn)得m=12((a-1【詳解】（1）∵2∴點(diǎn)（2，-3）的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為（2，-∵-3∴點(diǎn)（-33，-2）的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為（-33，故答案為：（2，-3）；（-33，（2）7+2===∴7+210化簡(jiǎn)得：5（3）∵1≤a≤2∴0≤a-1≤2-1∴0≤a-1≤1∴0≤∴a-1∵m====∴m=∴m=∴點(diǎn)M（-2，2∵-∴M'（-2，故M'的坐標(biāo)為：（-2，【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減，新定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解新定義公式，化簡(jiǎn)最簡(jiǎn)二次根式．【題型10二次根式的閱讀理解類(lèi)問(wèn)題】【例10】（2023春·江蘇·八年級(jí)期末）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如3+22設(shè)a+b2=m+n22（其中a、b、m∴a=m2+2n2請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：(1)當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b3=m+n32，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=(2)利用所探索的結(jié)論，請(qǐng)找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：+(3)若a-65=m-n52且a、m【答案】(1)m2+3(2)13，4，1，2(3)14或46【分析】（1）根據(jù)上面的例子，將m+n3（2）由（1）可寫(xiě)出一組答案，不唯一；（3）將m-n52展開(kāi)得出m2-25mn+5n2，由題意得mn=3，【詳解】（1）解：∵a+b3∴a+b3∴a=m2+3故答案為：m2+3n（2）由（1）可得a=13，b=4，m=1，n=2；故答案為：13，4，1，2．（3）∵a-65∴a+b5∴mn=3，m2∵a、m、n均為正整數(shù)，∴m=3，n=1，a=14或m=1，n=3，a=46；故答案為：14或46．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，完全平方公式，分析所給的材料進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵．【變式10-1】（2023春·江西贛州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀材料并解決問(wèn)題：13+2=3解答下面的問(wèn)題：(1)計(jì)算：12+1=___________，14+3(2)計(jì)算：12(3)計(jì)算：23【答案】(1)2-1；4-3（或(2)2021(3)2023【分析】（1）分子分母同時(shí)乘以有理化因式，