廣東省惠州市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題

數(shù)學(xué)全卷滿分150分，時間120分鐘.注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號、學(xué)校、班級等考生信息填寫在答題卡上。2.作答單項及多項選擇題時，選出每個小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案信息點(diǎn)涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫在本試卷上無效。3.非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題指定的位置上，寫在本試卷上無效。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分。1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（）A.1 B. C.2 D.3.已知向量，．若，則（）A6 B. C. D.4.已知，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.5.在一次籃球比賽中，某支球隊共進(jìn)行了8場比賽，得分分別為：29，30，38，25，37，40，42，32，那么這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（）A. B.38 C.39 D.406.金針菇采摘后會很快失去新鮮度，甚至腐爛，所以超市銷售金針菇時需要采取保鮮膜封閉保存．已知金針菇失去的新鮮度與其采摘后時間（天）滿足的函數(shù)解析式為，．若采摘后1天，金針菇失去的新鮮度為40%，采摘后3天，金針菇失去的新鮮度為80%．那么若不及時處理，采摘下來的金針菇在多長時間后開始失去全部新鮮度（已知，結(jié)果取一位小數(shù)）（）A.天 B.天 C.天 D.天7.已知，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且在第一象限，過作的外角平分線的垂線，垂足為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個不同的解，則實數(shù)m的取值集合為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的是（）A.是遞增數(shù)列 B.C.數(shù)列的最大項為和 D.滿足的最大的正整數(shù)為1010.某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示圓臺，在軸截面中，，且，則（）A.該圓臺的高為1cm B.該圓臺軸截面面積為C.該圓臺的側(cè)面積為 D.該圓臺的體積為11.某校高二年級在一次研學(xué)活動中，從甲地的3處景點(diǎn)、乙地的4處景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一處開始參觀，要求所有景點(diǎn)全部參觀且不重復(fù).記“第站參觀甲地的景點(diǎn)”為事件，，2，…，7，則（）A. B.C. D.12.已知函數(shù)在上單調(diào)，，則的可能取值為（）A. B. C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.在的展開式中，的系數(shù)是___________.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，與軸平行的直線與和分別交于，兩點(diǎn)，若，則______.15.已知點(diǎn)，若，兩點(diǎn)在直線l上，則點(diǎn)A到直線l的距離為______.16.已知正四面體ABCD的棱長為2，P為AC的中點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)，M是DP的動點(diǎn)，N是平面ECD內(nèi)的動點(diǎn)，則的最小值是_____________.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知為等差數(shù)列，是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前項和為，求.18.如圖，已知平行六面體中，所有棱長均為2，底面是正方形，側(cè)面是矩形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.19.已知函數(shù)在處取得極值0.（1）求；（2）若過點(diǎn)存在三條直線與曲線相切，求買數(shù)的取值范圍.20.的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．21.已知雙曲線的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且雙曲線的離心率為.(1)求雙曲線的方程；(2)若有兩個半徑相同的圓，它們的圓心都在軸上方且分別在雙曲線的兩條漸近線上，過雙曲線右焦點(diǎn)且斜率為的直線與圓都相切，求兩圓圓心連線的斜率的范圍．22.某企業(yè)對生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級，升級后設(shè)備控制系統(tǒng)由個相同的元件組成，每個元件正常工作的概率均為p（0<p<1），各元件之間相互獨(dú)立.當(dāng)控制系統(tǒng)有不少于k個元件正常工作時，設(shè)備正常運(yùn)行，否則設(shè)備停止運(yùn)行，記設(shè)備正常運(yùn)行的概率為（例如：表示控制系統(tǒng)由3個元件組成時設(shè)備正常運(yùn)行的概率；表示控制系統(tǒng)由5個元件組成時設(shè)備正常運(yùn)行的概率）.（1）若，當(dāng)k=2時，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求；（2）已知設(shè)備升級前，單位時間產(chǎn)量為a件，每件產(chǎn)品的利潤為4元，設(shè)備升級后，在正常運(yùn)行狀態(tài)下，單位時間的產(chǎn)量是原來的2倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為高端產(chǎn)品的概率為，每件高端產(chǎn)品的利潤是8元.記設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤為Y（單位：元）.（i）請用表示E（Y）；（ii）設(shè)備升級后，若將該設(shè)備控制系統(tǒng)增加2個相同的元件，請分析是否能夠提高E（Y）.

數(shù)學(xué)全卷滿分150分，時間120分鐘.注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號、學(xué)校、班級等考生信息填寫在答題卡上。2.作答單項及多項選擇題時，選出每個小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案信息點(diǎn)涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫在本試卷上無效。3.非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題指定的位置上，寫在本試卷上無效。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分。1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求集合中的的取值范圍，再根據(jù)交集運(yùn)算求解即可【詳解】，，則故選：A【點(diǎn)睛】本題考查集合交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題2.復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算與模的概念求解．【詳解】由題意得，，故選：D3.已知向量，．若，則（）A.6 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】由向量，，且，則，解得．故選：B4.已知，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分別化簡即可明顯比較出三者大小關(guān)系.【詳解】因為，，所以.故選：C.5.在一次籃球比賽中，某支球隊共進(jìn)行了8場比賽，得分分別為：29，30，38，25，37，40，42，32，那么這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（）A. B.38 C.39 D.40【答案】C【解析】【分析】由百分位數(shù)的概念求解．【詳解】數(shù)據(jù)按從小到大排序為，而，故第75百分位數(shù)，故選：C6.金針菇采摘后會很快失去新鮮度，甚至腐爛，所以超市銷售金針菇時需要采取保鮮膜封閉保存．已知金針菇失去的新鮮度與其采摘后時間（天）滿足的函數(shù)解析式為，．若采摘后1天，金針菇失去的新鮮度為40%，采摘后3天，金針菇失去的新鮮度為80%．那么若不及時處理，采摘下來的金針菇在多長時間后開始失去全部新鮮度（已知，結(jié)果取一位小數(shù)）（）A.天 B.天 C.天 D.天【答案】C【解析】【分析】由已知條件兩式相除求出，設(shè)天后開始失去全部新鮮度，則，再與已知一式相除可求得．【詳解】由已知，相除得，，，因為，故解得，設(shè)天后開始失去全部新鮮度，則，又，所以，，，，．故選：C．7.已知，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且在第一象限，過作的外角平分線的垂線，垂足為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由橢圓的定義與幾何性質(zhì)得邊長關(guān)系，再由離心率的概念求解．【詳解】設(shè)與交于點(diǎn)，由題意，平分，則，是中點(diǎn)，，而是中點(diǎn)，故是的中位線，，則，，，，故選：B8.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個不同的解，則實數(shù)m的取值集合為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)的解析式，可得的單調(diào)性、奇偶性，即可作出的圖象，即可求得t的最小值，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合t的范圍，作出的圖象，數(shù)形結(jié)合，可得時，的圖象與圖象有2個交點(diǎn)，此時與分別與有2個交點(diǎn)，即即有四個不同的解，滿足題意，即可得答案.【詳解】設(shè)，則有四個不同的解，因為，所以為偶函數(shù)，且當(dāng)時，為增函數(shù)，所以當(dāng)時，為減函數(shù)，所以，即，當(dāng)時，，則，令，解得，所以當(dāng)時，，為減函數(shù)，當(dāng)時，，為增函數(shù)，又，作出時的圖象，如圖所示：所以當(dāng)時，的圖象與圖象有2個交點(diǎn)，且設(shè)為，作出圖象，如下圖所示：此時與分別與有2個交點(diǎn)，即有四個不同的解，滿足題意.綜上實數(shù)m的取值范圍為.故選：A【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)解析式，利用函數(shù)的性質(zhì)，作出圖象，將方程求根問題，轉(zhuǎn)化為圖象求交點(diǎn)個數(shù)問題，考查分析理解，數(shù)形結(jié)合的能力，屬中檔題.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的是（）A.是遞增數(shù)列 B.C.數(shù)列的最大項為和 D.滿足的最大的正整數(shù)為10【答案】BCD【解析】【分析】由與關(guān)系求通項判斷AB，由二次函數(shù)性質(zhì)判斷CD．【詳解】由得當(dāng)時，，當(dāng)時，，時也滿足，故，，A錯誤，B正確，由二次函數(shù)的對稱軸為，故當(dāng)或時最大，故C正確，滿足得，，最大正整數(shù)為10，故D正確，故選：BCD10.某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，則（）A.該圓臺的高為1cm B.該圓臺軸截面面積為C.該圓臺的側(cè)面積為 D.該圓臺的體積為【答案】BCD【解析】【分析】由勾股定理即可求得圓臺的高，即可判斷A選項；由梯形面積公式即可判斷B選項；由臺體的側(cè)面積公式可判斷C選項；由圓臺的體積公式即可判斷D選項.【詳解】如圖，作交于，易得，則，則圓臺的高為，A錯誤；圓臺的軸截面面積為，B正確；圓臺的側(cè)面積為，故C正確；圓臺的體積為，D正確.故選：BCD11.某校高二年級在一次研學(xué)活動中，從甲地的3處景點(diǎn)、乙地的4處景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一處開始參觀，要求所有景點(diǎn)全部參觀且不重復(fù).記“第站參觀甲地的景點(diǎn)”為事件，，2，…，7，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式可判斷A,C選項，繼而根據(jù)條件概率的計算公式可判斷B選項，結(jié)合對立事件判斷D選項.【詳解】由題意可得A正確；，故B正確；由于，C錯誤；,所以D錯誤.故選：AB.12.已知函數(shù)在上單調(diào)，，則的可能取值為（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)判斷周期后求解．【詳解】在上單調(diào)，則，而，有以下情況，①，而，則，，，②，而，則，，，或，，，綜上，的可能取值為，，，故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.在的展開式中，的系數(shù)是___________.【答案】10【解析】【分析】由二項式定理求解．【詳解】的展開通項為，當(dāng)時，的系數(shù)為10，故答案為：1014.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，與軸平行的直線與和分別交于，兩點(diǎn)，若，則______.【答案】4【解析】【分析】拋物線的定義結(jié)合題意得到為等邊三角形，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，，即可得出答案.【詳解】由拋物線的定義可知，為等邊三角形，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則，.故答案為：4.15.已知點(diǎn)，若，兩點(diǎn)在直線l上，則點(diǎn)A到直線l的距離為______.【答案】3【解析】【分析】先求與方向相同的單位向量，然后由公式可得.【詳解】依題意，而，故與方向相同的單位向量為，則所求距離.故答案為:316.已知正四面體ABCD的棱長為2，P為AC的中點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)，M是DP的動點(diǎn)，N是平面ECD內(nèi)的動點(diǎn)，則的最小值是_____________.【答案】【解析】【分析】取中點(diǎn)，先由面得在線段上，再把沿翻折到平面上，得到最小值即到的距離，再借助三角函數(shù)的知識求出最小值即可.【詳解】取中點(diǎn)，連接，由正四面體可知，又，面，又，面，當(dāng)最小時，面，故在線段上.由面可得，又，，，將沿翻折到平面上，如圖所示：易知，則，故的最小值即到的距離，即.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知為等差數(shù)列，是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前項和為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式列方程組求解，（2）由裂項相消法求解．【小問1詳解】設(shè)的公差為，的公比為，由題得，解得，則.【小問2詳解】，.18.如圖，已知平行六面體中，所有棱長均為2，底面是正方形，側(cè)面是矩形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明詳見解析（2）【解析】【分析】（1）通過證明來證得平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，由于是的中點(diǎn)，所以，由于，所以，所以，由于四邊形是矩形，所以，由于平面，所以平面.【小問2詳解】由于四邊形是正方形，結(jié)合（1）的結(jié)論可知兩兩相互垂直，以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).設(shè)平面與平面的夾角為，則.19.已知函數(shù)在處取得極值0.（1）求；（2）若過點(diǎn)存在三條直線與曲線相切，求買數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，即可得解；（2）切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程為，從而可得，再根據(jù)過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，等價于關(guān)于的方程有三個不同的根，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，即可得解.【小問1詳解】由題意知，因為函數(shù)在處取得極值0，所以，解得，經(jīng)檢驗，符合題意，所以；【小問2詳解】由（1）可知，函數(shù)，所以，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線方程為，因為切線過點(diǎn)，所以，即，令，則，令，解得，或，當(dāng)變化時，的變化情況如下表所示，10+0單調(diào)遞減單調(diào)遞增0單調(diào)遞減因此，當(dāng)時，有極小值，當(dāng)時，有極大值，過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，等價于關(guān)于的方程有三個不同的根，則，所以實數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.20.的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用正弦定理化簡題中等式，得到關(guān)于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內(nèi)角解得.(2)根據(jù)三角形面積公式，又根據(jù)正弦定理和得到關(guān)于的函數(shù)，由于是銳角三角形，所以利用三個內(nèi)角都小于來計算的定義域，最后求解的值域.【詳解】(1)[方法一]【最優(yōu)解：利用三角形內(nèi)角和為結(jié)合正弦定理求角度】由三角形的內(nèi)角和定理得，此時就變?yōu)椋烧T導(dǎo)公式得，所以．在中，由正弦定理知，此時就有，即，再由二倍角的正弦公式得，解得．[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】由解法1得，兩邊平方得，即．又，即，所以，進(jìn)一步整理得，解得，因此．[方法三]【利用正弦定理結(jié)合三角形內(nèi)角和為求得的比例關(guān)系】根據(jù)題意，由正弦定理得，因為，故，消去得．，，因為故或者，而根據(jù)題意，故不成立，所以，又因為，代入得，所以.(2)[方法一]【最優(yōu)解：利用銳角三角形求得C的范圍，然后由面積函數(shù)求面積的取值范圍】因為是銳角三角形，又，所以，則．因為，所以，則，從而，故面積的取值范圍是．[方法二]【由題意求得邊的取值范圍，然后結(jié)合面積公式求面積的取值范圍】由題設(shè)及（1）知的面積．因為為銳角三角形，且，所以即又由余弦定理得，所以即，所以，故面積的取值范圍是．[方法三]【數(shù)形結(jié)合，利用極限的思想求解三角形面積的取值范圍】如圖，在中，過點(diǎn)A作，垂足為，作與交于點(diǎn)．由題設(shè)及（1）知的面積，因為為銳角三角形，且，所以點(diǎn)C位于在線段上且不含端點(diǎn)，從而，即，即，所以，故面積的取值范圍是．【整體點(diǎn)評】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，與三角形內(nèi)角和相結(jié)合是常用的方法；方法二：方程思想是解題的關(guān)鍵，解三角形的問題可以利用余弦值確定角度值；方法三：由正弦定理結(jié)合角度關(guān)系可得內(nèi)角的比例關(guān)系，從而確定角的大小.(2)方法一：由題意結(jié)合角度的范圍求解面積的范圍是常規(guī)的做法；方法二：將面積問題轉(zhuǎn)化為邊長的問題，然后求解邊長的范圍可得面積的范圍；方法三：極限思想和數(shù)形結(jié)合體現(xiàn)了思維靈活性，要求學(xué)生對幾何有深刻的認(rèn)識和靈活的應(yīng)用.21.已知雙曲線的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且雙曲線的離心率為.(1)求雙曲線的方程；(2)若有兩個半徑相同的圓，它們的圓心都在軸上方且分別在雙曲線的兩條漸近線上，過雙曲線右焦點(diǎn)且斜率為的直線與圓都相切，求兩圓圓心連線的斜率的范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由拋物線得焦點(diǎn)，得雙曲線的．再利用離心率計算公式，及，即可解得，；（2）利用點(diǎn)斜式得直線的方程為．由（1）可得雙曲線的漸近線方程為．進(jìn)而可設(shè)圓，圓，其中，．因為直線與圓，都相切，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得，經(jīng)過化簡可得與的關(guān)系，再利用斜率計算公式即可得出，把與的關(guān)系代入即可得出的取值方法．【詳解】解：（1）由拋物線得焦點(diǎn)，得雙曲線的．又，，解得，．雙曲線的方程為．（2）直線的方程為．由（1）可得雙曲線的漸近線方程為．由已知可設(shè)圓，圓，其中，．因為直線與圓，都相切，所以，得直線與，或，即，或，當(dāng)時，，不合題意；設(shè)兩圓，圓心連線斜率為，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，，，，故可得且；綜上：兩圓，圓心連線斜率的范圍為．22.某企業(yè)對生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級，升級后的設(shè)備控制系統(tǒng)由個相同的元件組成，每個元件正常工作的概率均為p（0<p<1），各元件