安徽省池州市貴池區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省池州市貴池區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（滿分：150分時(shí)間：120分鐘）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清晰.3．請(qǐng)按題號(hào)順序在各題答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的〖答案〗無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效.4．保持答題卡卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）一、單選題（每題5分，共40分）1.若為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，其虛部為.故選：A.2.如圖，已知等腰直角三角形是一個(gè)平面圖形直觀圖，，斜邊，則這個(gè)平面圖形的面積是（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，利用斜二測(cè)畫(huà)法的定義，畫(huà)出原圖形，∵是等腰直角三角形，，斜邊，∴，∴，∴原平面圖形的面積是.故選：A．3.某圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)為，扇形的半徑為5，則圓錐的體積為（）A. B.75 C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)底面圓的半徑為，則，解得：，設(shè)圓錐的高為，則，則圓錐的體積為.故選：D4.已知是與向量方向相同的單位向量，向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知向量在向量上的投影向量為，則，即，而，故，故選：D5.一正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，高為4，則該正四棱柱的外接球的表面積為（）A.6π B.12π C. D.24π〖答案〗D〖解析〗設(shè)正四棱柱的外接球半徑為因?yàn)檎睦庵牡酌孢呴L(zhǎng)為2，高為4，所以，得，所以該正四棱柱的外接球的表面積為，故選：D6.已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.若，則該三角形的形狀是（）A等邊三角形 B.等腰三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.直角三角形〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，整理可?故選：B.7.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D．現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，則塔高（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗在中，由正弦定理可知：，在直角三角形中，，故選：A8.如圖，在△ABC中，點(diǎn)P滿足，過(guò)點(diǎn)P的直線與AB、AC所在的直線分別交于點(diǎn)M、N，若，，則的最小值為（）A.3 B.12 C.4 D.16〖答案〗C〖解析〗連接，因?yàn)椋?，故，故，而三點(diǎn)共線，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為4，故選：C二、多選題（每題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）9.在中，角所對(duì)的邊分別為，且.若有兩解，則的值可以是（）A.4 B.5 C.7 D.10〖答案〗BC〖解析〗如圖：要使有兩個(gè)解，則，即，解得：，故選：BC10.如圖，我們常見(jiàn)的足球是由若干個(gè)正五邊形和正六邊形皮革縫合而成.如果我們把足球抽象成一個(gè)多面體，它有60個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的棱有3條，設(shè)其頂點(diǎn)數(shù)V，面數(shù)F與棱數(shù)E，滿足（Euler'sformula），據(jù)此判斷，關(guān)于這個(gè)多面體的說(shuō)法正確的是（）A.共有20個(gè)六邊形B.共有10個(gè)五邊形C.共有90條棱D.共有32個(gè)面〖答案〗ACD〖解析〗由題意，設(shè)共有m個(gè)正五邊形，n個(gè)正六邊形，解得：.∴B錯(cuò)誤.∵頂點(diǎn)數(shù)：，解得：，∴A正確.面數(shù)：.∴D正確.棱數(shù)：.∴C正確.故選：ACD.11.已知△ABC的重心為，邊的中點(diǎn)分別為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.若△ABC為正三角形，則C.若，則D.〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)闉橹械闹悬c(diǎn)，所以，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)闉檎切?，所以，所以，所以B不正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)闉榈闹匦模謩e為邊的中點(diǎn)，所以，即，所以，所以D正確.故選：ACD.12.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，、分別為、的中點(diǎn)，在線段上運(yùn)動(dòng)（包含兩個(gè)端點(diǎn)），以下說(shuō)法正確的是（）A.三棱錐的體積與點(diǎn)位置無(wú)關(guān)B.若為中點(diǎn)，三棱錐的體積為C.若為中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)、、作正方體的截面，所得截面的面積是D.若與重合，則過(guò)點(diǎn)、、作正方體的截面，截面為三角形〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，由正方體可得平面平面，平面所以平面，又，所以點(diǎn)到平面的距離為定值即的長(zhǎng)因?yàn)?，由于三角形的面積固定，所以三棱錐的體積與點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，連接，則是的中點(diǎn)，連接，由于，分別是，的中點(diǎn)，所以，由于，則，即過(guò)點(diǎn)，，作正方體的截面是等腰梯形，，等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)與重合時(shí)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接，交于，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接，交于，連接，則五邊形是過(guò)點(diǎn)，，作正方體的截面，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AC．第II卷（非選擇題）三、填空題（每題5分，共20分，其中16題第1空2分，第2空3分）13.在中，若，則的值為_(kāi)__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，由正弦定理，即，所以，因?yàn)?，所?故〖答案〗為：14.已知復(fù)數(shù)，則_________〖答案〗〖解析〗復(fù)數(shù)，則，所以.故〖答案〗為：15.如圖所示，在三棱柱中，若，分別為，的中點(diǎn)，平面將三棱柱分成體積為（棱臺(tái)的體積），（幾何體的體積）的兩部分，那么______.〖答案〗〖解析〗設(shè)三棱柱的高為，底面面積為，體積為，則.因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，所以，.所以.故〖答案〗為：16.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形中，E為的中點(diǎn)，P為以A為圓心，為半徑的圓?。ㄔ谡叫蝺?nèi)，包括邊界點(diǎn)）上的點(diǎn)，若點(diǎn)P在AC上時(shí)，則的取值是___________；若向量，則的最大值為_(kāi)__________.〖答案〗①.②.〖解析〗如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，空1：若點(diǎn)P在AC上時(shí)，則，可得，所以；空2：因?yàn)椋傻?，若，則，可得，因?yàn)?，則，當(dāng)，即時(shí)，取到最大值.故〖答案〗為：；.四、解答題（共70分）17.已知為虛數(shù)單位.（1）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求的范圍；（2）若復(fù)數(shù)滿足，求復(fù)數(shù).解：（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，所以，得的取值范圍是：（2）設(shè)復(fù)數(shù)，由條件得，所以解得：，所以18.已知向量．（1）若向量與垂直，求實(shí)數(shù)k的值；（2）若向量，且與向量平行，求實(shí)數(shù)k的值．解：（1）因?yàn)?，所以，又與垂直，所以，即，解得，所以.（2）因?yàn)?，，因?yàn)?，又與向量平行，所以，即，解得，所以.19.如圖，在菱形中，.（1）若，求的值；（2）若，，求.解：（1）因?yàn)樵诹庑沃校?故，故，所以.（2）顯然，所以①，因?yàn)榱庑危?，，故?所以.故①式.故.20.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求角A的大?。唬?）若，求△ABC的面積．解：（1）由整理得，，由，；（2），由正弦定理得，①，又，②，由①②得，.21.如圖，兩個(gè)相同的正四棱錐底面重合組成一個(gè)八面體，可放入一個(gè)底面為正方形的長(zhǎng)方體內(nèi)，且長(zhǎng)方體的正方形底面邊長(zhǎng)為2，高為4，已知重合的底面與長(zhǎng)方體的正方形底面平行，八面體的各頂點(diǎn)均在長(zhǎng)方體的表面上．（1）若點(diǎn)A，B，C，D恰為長(zhǎng)方體各側(cè)面中心，求該八面體的體積；（2）求該八面體表面積S的取值范圍．解：（1）由點(diǎn)A，B，C，D恰為長(zhǎng)方體各側(cè)面中心，∴，∴八面體．（2）如圖，設(shè)平面ABCD截正方體所得截面為，且的中心為O，過(guò)點(diǎn)O作，垂足為G．由對(duì)稱性，不妨設(shè)，則，，，．設(shè)AD的中點(diǎn)為H，如下圖，則，，所以．因?yàn)?，所以，則，故，所以，所以此八面體的表面積S的取值范圍為．22.如圖，某小區(qū)有一塊空地，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小區(qū)物業(yè)擬在中間挖一個(gè)小池塘，E，F(xiàn)在邊BC上（E，F(xiàn)不與B，C重合，且E在B，F(xiàn)之間），且.（1）若，求EF的值；（2）為節(jié)省投入資金，小池塘的面積需要盡可能的小.設(shè)，試確定的值，使得的面積取得最小值，并求出面積的最小值.解：（1）由題意可得，設(shè)，則，在中，由余弦定理，則，即，由正弦定理，可得，即，可得，在中，，，由正弦定理，可得，故.故EF的值.（2）設(shè)，則，由正弦定理，可得，在中，由正弦定理，可得，故的面積，∵，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故面積的最小值.安徽省池州市貴池區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（滿分：150分時(shí)間：120分鐘）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清晰.3．請(qǐng)按題號(hào)順序在各題答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的〖答案〗無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效.4．保持答題卡卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）一、單選題（每題5分，共40分）1.若為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，其虛部為.故選：A.2.如圖，已知等腰直角三角形是一個(gè)平面圖形直觀圖，，斜邊，則這個(gè)平面圖形的面積是（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，利用斜二測(cè)畫(huà)法的定義，畫(huà)出原圖形，∵是等腰直角三角形，，斜邊，∴，∴，∴原平面圖形的面積是.故選：A．3.某圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)為，扇形的半徑為5，則圓錐的體積為（）A. B.75 C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)底面圓的半徑為，則，解得：，設(shè)圓錐的高為，則，則圓錐的體積為.故選：D4.已知是與向量方向相同的單位向量，向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知向量在向量上的投影向量為，則，即，而，故，故選：D5.一正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，高為4，則該正四棱柱的外接球的表面積為（）A.6π B.12π C. D.24π〖答案〗D〖解析〗設(shè)正四棱柱的外接球半徑為因?yàn)檎睦庵牡酌孢呴L(zhǎng)為2，高為4，所以，得，所以該正四棱柱的外接球的表面積為，故選：D6.已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.若，則該三角形的形狀是（）A等邊三角形 B.等腰三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.直角三角形〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，整理可?故選：B.7.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D．現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，則塔高（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗在中，由正弦定理可知：，在直角三角形中，，故選：A8.如圖，在△ABC中，點(diǎn)P滿足，過(guò)點(diǎn)P的直線與AB、AC所在的直線分別交于點(diǎn)M、N，若，，則的最小值為（）A.3 B.12 C.4 D.16〖答案〗C〖解析〗連接，因?yàn)椋?，故，故，而三點(diǎn)共線，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為4，故選：C二、多選題（每題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）9.在中，角所對(duì)的邊分別為，且.若有兩解，則的值可以是（）A.4 B.5 C.7 D.10〖答案〗BC〖解析〗如圖：要使有兩個(gè)解，則，即，解得：，故選：BC10.如圖，我們常見(jiàn)的足球是由若干個(gè)正五邊形和正六邊形皮革縫合而成.如果我們把足球抽象成一個(gè)多面體，它有60個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的棱有3條，設(shè)其頂點(diǎn)數(shù)V，面數(shù)F與棱數(shù)E，滿足（Euler'sformula），據(jù)此判斷，關(guān)于這個(gè)多面體的說(shuō)法正確的是（）A.共有20個(gè)六邊形B.共有10個(gè)五邊形C.共有90條棱D.共有32個(gè)面〖答案〗ACD〖解析〗由題意，設(shè)共有m個(gè)正五邊形，n個(gè)正六邊形，解得：.∴B錯(cuò)誤.∵頂點(diǎn)數(shù)：，解得：，∴A正確.面數(shù)：.∴D正確.棱數(shù)：.∴C正確.故選：ACD.11.已知△ABC的重心為，邊的中點(diǎn)分別為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.若△ABC為正三角形，則C.若，則D.〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)闉橹械闹悬c(diǎn)，所以，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)闉檎切?，所以，所以，所以B不正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)闉榈闹匦?，分別為邊的中點(diǎn)，所以，即，所以，所以D正確.故選：ACD.12.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，、分別為、的中點(diǎn)，在線段上運(yùn)動(dòng)（包含兩個(gè)端點(diǎn)），以下說(shuō)法正確的是（）A.三棱錐的體積與點(diǎn)位置無(wú)關(guān)B.若為中點(diǎn)，三棱錐的體積為C.若為中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)、、作正方體的截面，所得截面的面積是D.若與重合，則過(guò)點(diǎn)、、作正方體的截面，截面為三角形〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，由正方體可得平面平面，平面所以平面，又，所以點(diǎn)到平面的距離為定值即的長(zhǎng)因?yàn)?，由于三角形的面積固定，所以三棱錐的體積與點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，連接，則是的中點(diǎn)，連接，由于，分別是，的中點(diǎn)，所以，由于，則，即過(guò)點(diǎn)，，作正方體的截面是等腰梯形，，等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)與重合時(shí)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接，交于，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接，交于，連接，則五邊形是過(guò)點(diǎn)，，作正方體的截面，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AC．第II卷（非選擇題）三、填空題（每題5分，共20分，其中16題第1空2分，第2空3分）13.在中，若，則的值為_(kāi)__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，由正弦定理，即，所以，因?yàn)?，所?故〖答案〗為：14.已知復(fù)數(shù)，則_________〖答案〗〖解析〗復(fù)數(shù)，則，所以.故〖答案〗為：15.如圖所示，在三棱柱中，若，分別為，的中點(diǎn)，平面將三棱柱分成體積為（棱臺(tái)的體積），（幾何體的體積）的兩部分，那么______.〖答案〗〖解析〗設(shè)三棱柱的高為，底面面積為，體積為，則.因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以，所以，.所以.故〖答案〗為：16.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形中，E為的中點(diǎn)，P為以A為圓心，為半徑的圓?。ㄔ谡叫蝺?nèi)，包括邊界點(diǎn)）上的點(diǎn)，若點(diǎn)P在AC上時(shí)，則的取值是___________；若向量，則的最大值為_(kāi)__________.〖答案〗①.②.〖解析〗如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，空1：若點(diǎn)P在AC上時(shí)，則，可得，所以；空2：因?yàn)?，可得，若，則，可得，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)，即時(shí)，取到最大值.故〖答案〗為：；.四、解答題（共70分）17.已知為虛數(shù)單位.（1）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求的范圍；（2）若復(fù)數(shù)滿足，求復(fù)數(shù).解：（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，所以，得的取值范圍是：（2）設(shè)復(fù)數(shù)，由條件得，所以解得：，所以18.已知向量．（1）若向量與垂直，求實(shí)數(shù)k的值；（2）若向量，且與向量平行，求實(shí)數(shù)k的值．解：（1）因?yàn)椋?，又與垂直，所以，即，解得，所以.（2）因?yàn)椋?，因?yàn)?，又與向量平行，所以，即，解得，所以.19.如圖，在菱形中，.