梯度下降法推導(dǎo)邏輯回歸

梯度下降法推導(dǎo)邏輯回歸梯度下降法是一種常用的優(yōu)化算法，在邏輯回歸中也經(jīng)常使用該方法來(lái)更新模型參數(shù)。下面我們來(lái)詳細(xì)推導(dǎo)邏輯回歸中的梯度下降法。

邏輯回歸是一種用于解決二分類(lèi)問(wèn)題的機(jī)器學(xué)習(xí)算法，它通過(guò)將輸入特征與權(quán)重進(jìn)行線性組合，然后將線性組合結(jié)果通過(guò)一個(gè)非線性函數(shù)（稱(chēng)為sigmoid函數(shù)）進(jìn)行映射，得到樣本屬于正類(lèi)的概率。

假設(shè)我們有m個(gè)訓(xùn)練樣本，每個(gè)樣本有n個(gè)特征，我們的目標(biāo)是找到一組參數(shù)w=(w1,w2,...,wn)和一個(gè)偏置b，使得給定輸入特征x，模型預(yù)測(cè)的輸出為p(y=1|x;w,b)。

邏輯回歸的目標(biāo)是最小化目標(biāo)函數(shù)，通常使用對(duì)數(shù)損失函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)。對(duì)于一個(gè)訓(xùn)練樣本(x,y)，對(duì)數(shù)損失函數(shù)可以表示為：

L(w,b)=-[ylog(p)+(1-y)log(1-p)]

其中p=p(y=1|x;w,b)。

接下來(lái)，我們需要使用梯度下降法來(lái)最小化損失函數(shù)。梯度下降法的思想是從一個(gè)初始的參數(shù)值開(kāi)始，通過(guò)迭代的方式不斷更新參數(shù)，使得目標(biāo)函數(shù)逐漸降低。

我們的目標(biāo)是求解使目標(biāo)函數(shù)最小化的參數(shù)w和b。為了實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，我們需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)對(duì)于參數(shù)w和b的偏導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)梯度的方向進(jìn)行更新。

首先，我們計(jì)算目標(biāo)函數(shù)L對(duì)于參數(shù)w的偏導(dǎo)數(shù)。將目標(biāo)函數(shù)對(duì)w的偏導(dǎo)數(shù)表示為?L/?w：

?L/?w=(?L/?p)*(?p/?z)*(?z/?w)

其中z是線性組合的結(jié)果：z=w1*x1+w2*x2+...+wn*xn+b。

接著，我們計(jì)算?L/?p，可以得到：

?L/?p=-(y/p)+(1-y)/(1-p)

然后，我們計(jì)算?p/?z，可以得到：

?p/?z=p(1-p)

最后，我們計(jì)算?z/?w，可以得到：

?z/?w=x

綜上所述，我們可以得到?L/?w的表達(dá)式為：

?L/?w=x(p-y)

類(lèi)似地，我們還需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)對(duì)于參數(shù)b的偏導(dǎo)數(shù)。將目標(biāo)函數(shù)對(duì)b的偏導(dǎo)數(shù)表示為?L/?b：

?L/?b=(?L/?p)*(?p/?z)*(?z/?b)

其中?z/?b可以記為1，因?yàn)閎乘以1。所以?L/?b等于?L/?p*?p/?z。

綜上所述，我們可以得到?L/?b的表達(dá)式為：

?L/?b=p-y

最后，我們選擇一個(gè)合適的學(xué)習(xí)率η，然后使用梯度下降法更新參數(shù)w和b。對(duì)于每個(gè)訓(xùn)練樣本(x,y)，更新規(guī)則如下：

w=w-η*?L/?w

b=b-η*?L/?b

通過(guò)不斷迭代更新參數(shù)w和b，我們可以逐漸使目標(biāo)函數(shù)L下降，從而得到模型的最優(yōu)參數(shù)。

綜上所述，梯度下降法是一種常用的優(yōu)化算法，在邏輯回歸中可以用于求解最優(yōu)參