高中數(shù)學培優(yōu)講義練習（選擇性必修一）：直線的方程（二）-重難點題型檢測（教師版）

專題2.6直線的方程（二）-重難點題型檢測參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·全國·高二課時練習）直線a?1x?a+1y+2=0A．1,1 B．1,?1 C．?1,1 D．?1,?1【解題思路】將直線變形為x?ya?x?y+2=0，則x?y=0且?x?y+2=0，即可求出定點【解答過程】將a?1x?a+1y+2=0變形為：x?ya?x?y+2=0，令x?y=0且?x?y+2=0，解得故選：A.2．（3分）（2022·江蘇·高二階段練習）過點A2,3且與直線l:2x?4y+7=0平行的直線方程是（

A．x?2y+4=0 B．x?2y?4=0 C．2x?y+1=0 D．x+2y?8=0【解題思路】利用平行直線的特點先設出待求直線方程，代入所過點可得答案.【解答過程】由題意設所求方程為2x?4y+c=0c≠7因為直線經(jīng)過點A2,3所以2×2?4×3+c=0，即c=8，所以所求直線為x?2y+4=0.故選：A.3．（3分）（2022·全國·高二專題練習）過點P(?1,2)且與直線x?2y+1=0垂直的直線方程為（

）A．2x+y+4=0 B．2x+y=0C．x+2y?3=0 D．x?2y+5=0【解題思路】求出與直線x?2y+1=0垂直的直線的斜率，利用點斜式求出直線方程.【解答過程】直線x?2y+1=0的斜率kl=12，因為l⊥l'，故l'的斜率k故選：B．4．（3分）（2021·福建·高二階段練習）已知直線l1:x+(m+1)y+m=0，，l2:mx+2y+1=0，則“A．m=?2 B．m=1C．m=?2或m=1 D．m=2【解題思路】直線l1:x+(m+1)y+m=0，l2【解答過程】解：∵直線l1:x+(m+1)y+m=0，若l1//l2，則m(m+1)?2=0當m=1時，l1與l2重合，故“l(fā)1//l2”故“l(fā)1//l2”的必要不充分條件是“故選：C．5．（3分）（2022·全國·高三專題練習）已知過定點直線kx?y+4?k=0在兩坐標軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（

）A．x?2y?7=0 B．x?2y+7=0 C．2x+y?6=0 D．x+2y?6=0【解題思路】由題意可知，k<0，求出直線kx?y+4?k=0與兩坐標軸的交點A0,4?k，B【解答過程】直線kx?y+4?k=0可變?yōu)閗x?1?y+4=0，所以過定點P1,4，又因為直線kx?y+4?k=0令x=0,y=4?k，所以直線與y軸的交點為A0,4?k令y=0,x=1?4k，所以直線與x軸的交點為所以4?k+1?4當且僅當?k=?4k即k=?2時取等，所以此時直線為：故選：C.6．（3分）（2022·四川·高二階段練習（文））有一根蠟燭點燃6min后，蠟燭長為17.4cm；點燃21min后，蠟燭長為8.4cm.已知蠟燭長度l(cm)與燃燒時間t(min)可以用直線方程表示，則這根蠟燭從點燃到燃盡共耗時（

）A．25min B．35min C．40min D．45min【解題思路】根據(jù)已知條件可知直線方程的斜率k及所過的點，進而得到直線方程，再求蠟燭從點燃到燃盡所耗時間即可.【解答過程】由題意知：蠟燭長度l(cm)與燃燒時間t(min)可以用直線方程，過(6,17.4),(21,8.4)兩點，故其斜率k=8.4?17.4∴直線方程為l?8.4=?3∴當蠟燭燃盡時，有t?21=14，即t=35，故選：B.7．（3分）（2023·全國·高三專題練習）設m∈R，過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx?y?m+3=0相交于點P(P與A,B不重合），則△PAB面積的最大值是（A．10 B．5 C．25 D．【解題思路】由題意結合直線位置關系的判斷可得兩直線互相垂直，由直線過定點可得定點A與定點B，進而可得PA2【解答過程】由題意直線x+my=0過定點A(0,0)，直線mx?y?m+3=0可變?yōu)閙(x?1)?y+3=0，所以該直線過定點B(1,3)，所以AB2又1×m+m×?1所以直線x+my=0與直線mx?y?m+3=0互相垂直，所以PA2所以10=PA2+當且僅當PA=所以，S△PAB=12PA故選：D.8．（3分）（2023·全國·高三專題練習）數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點A2,0,B0,1，且AC=BC，則△ABCA．2x+4y?3=0 B．x?2y?3=0C．2x?y?3=0 D．4x?2y?3=0【解題思路】因為AC=BC，結合題意可知△ABC的歐拉線即為線段AB的垂直平分線，利用點斜式求方程．【解答過程】∵AC=BC，結合題意可知△ABC的歐拉線即為線段AB的垂直平分線AB的中點為M1,12，斜率kAB則△ABC的歐拉線的方程為y?12故選：D．二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·全國·高二課時練習）已知直線l1:x+my+6=0，l2A．當m=3時，l1與l2重合 B．若lC．l1過定點(?6,0) D．l【解題思路】當m=3時，分別求出兩直線方程，可判斷選項A；由兩直線平行的公式計算得出m，可判斷選項B；將(?6,0)代入直線方程，可判斷選項C；當m=2時，直線l2與x【解答過程】當m=3時，直線l1:x+3y+6=0，直線當l1∥l2時，有m(m?2)=3且因為?6+m×0+6=0，所以直線l1過定點(?6,0)當m=2時，直線l2:y=?4故選：AC．10．（4分）（2022·全國·高二課時練習）已知直線l:x?(a2?a+1)y?1=0，其中a∈RA．若直線l與直線x?y=0平行，則a=0B．當a=1時，直線l與直線x+y=0垂直C．直線l過定點1,0D．當a=0時，直線l在兩坐標軸上的截距相等【解題思路】根據(jù)直線方程的相關性質即可逐項求解.【解答過程】對于A項，若直線l與直線x?y=0平行，則a2對于B項，當a=1時，直線l為x?y?1＝0，斜率為1，而直線x+y=0斜率為－1，∴兩條直線垂直，故B正確；對于C項，x?(a2?a+1)y?1=0恒成立時，令y對于D項，當a=0時，直線l為x?y?1=0，令x=0?y=?1，令y=0?x=1，所以橫截距和縱截距互為相反數(shù)，故D錯誤.故選：BC.11．（4分）（2022·重慶·高三階段練習）已知直線l1:(a+1)x+ay+2=0,lA．l1恒過點(2,2) B．若l1C．若l1⊥l2，則a=±1 D．當【解題思路】對于選項A，將直線l1的方程化為a(x+y)+x+2=0，再由x+y=0,x+2=0對于選項B，通過斜率相等可以求解；對于選項C，通過斜率之積等于?1可以求解；對于選項D，將直線化為斜截式，再根據(jù)斜率和截距建立不等式可以求解.【解答過程】直線l1:(a+1)x+ay+2=0，則由x+y=0x+2=0，得x=?2,y=2，所以l1恒過定點由l1//l2可得：由l1⊥l2可得：由l2:ax+(1?a)y?1=0，當a=1時，當a≠1時，l2:y=aa?1x+所以a的取值范圍為0≤a≤1，所以D正確；故選：BD.12．（4分）（2022·河北·高一階段練習）瑞士數(shù)學家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知△ABC的頂點A(?2,0),B(0,2)，其歐拉線方程為x?y+1=0，則頂點C的坐標可以是（

）A．2,0 B．1,0 C．0,?1 D．0,?2【解題思路】根據(jù)三角形重心坐標公式進行求解判斷即可.【解答過程】設頂點C的坐標為(x,y)，所以重心坐標為(?2+x因為歐拉線方程為x?y+1=0，所以?2+x3A：當頂點C的坐標為2,0時，顯然不滿足x?y=1；B：當頂點C的坐標為1,0時，顯然滿足x?y=1；C：當頂點C的坐標為0,?1時，顯然滿足x?y=1；D：當頂點C的坐標為0,?2時，顯然不滿足x?y=1，故選：BC.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·全國·高二課時練習）直線l過點1,0，且與直線3x+2y?4=0平行，則直線l的一般式方程為3x+2y?3=0.【解題思路】先利用平行假設直線l為3x+2y+C=0C≠?4，再將1,0【解答過程】解:因為直線l與直線3x+2y?4=0平行，所以假設直線l為3x+2y+C=0C≠?4因為直線l過點1,0，所以3+C=0，解得C=?3，所以直線l的一般式方程為3x+2y?3=0，故答案為:3x+2y?3=0.14．（4分）（2022·全國·高二課時練習）設直線mx?y?m+2=0過定點A，則過點A且與直線x+2y?1=0垂直的直線方程為2x?y=0．【解題思路】由已知得直線恒過的定點(1,2)，由兩直線垂直其方程間的關系設過點A的直線方程為2x?y+c=0，代入可求得答案.【解答過程】解：因為mx?y?m+2=0，所以y?2=m(x?1)，所以直線mx?y?m+2=0恒過定點(1,2)，即A(1,2)，因為過點A且與直線x+2y?1=0垂直，所以設過點A的直線方程為2x?y+c=0，所以2×1?2+c=0，即c=0，所以所求直線方程為2x?y=0，故答案為：2x?y=0.15．（4分）（2022·河南·高二階段練習）在平面直角坐標系中，已知A(2,0),B(?3,4)兩點，O為坐標原點，則∠AOB的平分線所在直線的方程為y=2x.【解題思路】設∠AOB的平分線的傾斜角為θ，根據(jù)斜率公式結合kOB=tan2θ可得【解答過程】由題意，可設∠AOB的平分線的傾斜角為θ，如圖，則tan2θ=kOB則tanθ=2或?12，又0<2θ<故k=tan故∠AOB的平分線所在直線的方程為y=2x，故答案為：y=2x16．（4分）（2022·全國·高三專題練習）設m∈R，過定點A的動直線x+my+m=0和過定點B的動直線mx?y?m+2=0交于點P(x,y)，則|PA|+|PB|的取值范圍是[【解題思路】由題意可得A,B點坐標及PA⊥PB，設∠ABP=θ，利用三角函數(shù)分別表示|PA|=10sinθ【解答過程】由題意可知，動直線x+my+m=0經(jīng)過定點A(0,?1)，動直線mx?y?m+2=0，即m(x?1)?y+2=0，經(jīng)過點定點B(1,2)，∵m≠0時，動直線x+my+m=0和動直線mx?y?m+2=0的斜率之積為?1，兩條直線垂直，m=0時，兩條直線也垂直，P又是兩條直線的交點，∴PA⊥PB，∴???設∠ABP=θ，則|PA|=10sinθ由|PA|?0且|PB|?0，可得θ∈[0,π∴??∵θ∈[0,π∴θ+π∴sin(θ+π∴25sin(θ+故答案為：[10四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·江蘇·高二課時練習）一根鐵棒在40℃時長12.506m，在80℃時長12.512m．已知長度l（單位：m）和溫度t（單位：℃）之間的關系可以用直線方程來表示，試求出這個方程，并根據(jù)這個方程求出這根鐵棒在100℃時的長度．【解題思路】用直線的斜截式方程寫出l與t的關系，再利用待定系數(shù)法求出方程并求解作答.【解答過程】解：依題意，設l與t的關系式為：l=kt+b，k,b是常數(shù)，于是得12.506=40k+b12.512=80k+b，解得k=0.00015則l與t的關系式為l=0.00015t+12.5，當t=100時，l=12.515，所以所求直線的方程為l=0.00015t+12.5，鐵棒在100℃時的長度是12.515m.18．（6分）（2022·江蘇·高二階段練習）已知直線l過定點A(2,1).(1)若直線l與直線x+2y?5=0垂直，求直線l的方程；(2)若直線l在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)，求直線l的方程.【解題思路】（1）根據(jù)兩直線垂直，設直線l的方程2x?y+c=0，代入點的坐標，求出參數(shù)c的值即可；（2）分直線l經(jīng)過原點和直線l不經(jīng)過原點兩種情況討論，當直線l不經(jīng)過原點設直線l的方程為x?y=a，代入點的坐標，求出參數(shù)a的值即可；【解答過程】解：（1）解：直線l與直線x+2y?5=0垂直，設直線l的方程2x?y+c=0，將定點A(2,1)代入可得4?1+c=0，解得故直線l的方程為2x?y?3=0；（2）解：①當直線l經(jīng)過原點時，可得直線l的方程為：y=12x②當直線l不經(jīng)過原點時，可設直線l的方程為x?y=a，把點2,1代入可得2?1=a，解得a=1，可得直線l的方程為x?y?1=0，綜上所述：所求的直線l的方程為：x?2y=0或x?y?1=0.19．（8分）（2022·四川省高一階段練習（理））已知平行四邊形ABCD的三個頂點A(1,1)?B(3,?3)?C(7,?1)．(1)求頂點D的坐標；(2)在△ABC中，求邊BC的高線所在直線的方程．【解題思路】（1）利用平行四邊形對角線互相平分，結合中點坐標公式進行求解；（2）求出直線BC的斜率，進而根據(jù)垂直關系求出邊BC的高線所在直線的斜率，從而利用點斜式寫出答案.【解答過程】解：（1）設平行四邊形的中心為E，E為AC和BD的中點，其中1+72=4,1?1設D（x,y），則有3+x2=4,?3+y2=0，解得：x=5,y=3（2）易知直線BC的斜率為kBC=?1+37?3=∴BC的高線所在的直線方程為y?1=?2x?1即2x+y?3=0.20．（8分）（2022·河南開封·高二階段練習）已知直線l1的方程為3x?4y+2=0，按照下列要求，求直線l(1)l與l1垂直，且過點(1,3)(2)l//l【解題思路】（1）由兩線垂直，設所求直線為4x+3y+m=0，根據(jù)點在直線上求參數(shù)，即可得直線方程；（2）由兩線平行，設所求直線為3x?4y+n=0，求截距并利用三角形面積公式求參數(shù)，即可得直線方程.【解答過程】解：（1）因為l1⊥l，所以直線l可設為將點(1,3)代入方程得m=?13，因此所求的直線方程為4x+3y?13=0.（2）因為l1//l，所以直線l可設為令x=0，得A(0,n4)，令y=0所以三角形ABC的面積S=12OA?OB=因此直線l的方程為3x?4y+12=0或3x?4y?12=0.21．（8分）（2022·江蘇·高二課時練習）已知一條動直線3m+1(1)求證：直線恒過定點，并求出定點P的坐標；(2)若直線不經(jīng)過第二象限，求m的取值范圍；(3)若直線與x?y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，△AOB的面積為6，求直線的方程.【解題思路】（1）整理直線方程得(3x+y?6)m+3x?y?2=0．由3x+y?6=0且3x?y?2=0可求；（2）由（1）知，直線恒過定點(43,2)，討論直線與（3）設直線的方程xa+y（1）【解答過程