李偉平-1數學建模簡介

數學建模簡介李偉平玩具、飛機模型……~實物模型水箱中艦艇、風洞中飛機……~物理模型電路圖、分子結構圖……~符號模型

模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物,它集中反映了原型中人們需要的那一部分特征.從現(xiàn)實對象到數學模型我們常見的模型數學模型----航行問題用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解航行問題建立數學模型的基本步驟:作出簡化假設（船速、水速為常數）；

用符號表示有關量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數學式子（二元一次方程）；

求解得到數學解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時20千米/小時）.數學模型(MathematicalModel)和數學建模（MathematicalModeling)對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據其內在規(guī)律，作出必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構.建立數學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數學模型數學建模數學建模的一般步驟模型準備模型假設模型構成模型求解模型分析模型檢驗模型應用模型準備了解實際背景、明確建模目的、搜集有關信息、掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’在建模前應對實際問題的歷史背景和內在規(guī)律有深刻的了解，必須對該問題進行全面的、深入細致的調查和研究，并注意收集與該問題相關的數據。只有掌握詳細的數據資料，明確問題的背景，確切地了解建立數學模型究竟主要應達到什么目的，才能形成一個比較清晰的問題。“發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題”模型假設針對問題特點和建模目的，作出合理的、簡化的假設，在合理與簡化之間作出折中。現(xiàn)實問題錯綜復雜，涉及面非常廣。因此，要想建立一個數學模型來反映一個現(xiàn)實問題面面俱到、無所不包是不可能的，也是沒有必要的。關鍵是抓住主要因素，暫不考慮或忽略次要因素，對所建模型作大膽的假設。在相對比較簡單的情況下，理清變量之間的關系，建立相應的模型。模型構成用數學的語言、符號描述問題，發(fā)揮想像力、使用類比法，盡量采用簡單的數學工具現(xiàn)實問題的關鍵因素經過量化后成為數學實體或數學對象，例如變量、幾何體等。將這些實體或對象之間的內在關系或規(guī)律使用數學語言加以描述，就建立了問題的數學結構，如此就得到了現(xiàn)實問題的數學模型。模型求解各種數學方法、軟件和計算機技術

建立數學模型之后，對于簡單的模型可以人工求解；而對于比較復雜的問題，則需要利用數學工具軟件和計算機對其進行求解。例Matlab，只要對一種軟件比較熟悉，能夠靈活運用即可。如結果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數據的穩(wěn)定性分析模型分析

求得模型的解之后，需要對模型進行分析和檢驗。模型分析主要包括：誤差分析、模型對數據的穩(wěn)定性分析和靈敏度分析等。模型檢驗與實際現(xiàn)象、數據比較，檢驗模型的合理性、適用性

模型檢驗是將所得結果的理論數據與實際數據相比較，如果兩者相符，則說明所建模型是成功的；否則需要對所建模型進行修改。因為所建模型是在一定假設條件下所得的、理想化的產物，可能與實際問題有較大出入，這時需要反過來仔細檢查簡化與假設是否合理，若不合理則進行修改，同時根據新的簡化與假設建立數學模型。這個過程需要進行反復循環(huán)進行，直到滿足要求為止。模型求解各種數學方法、軟件和計算機技術如結果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數據的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗與實際現(xiàn)象、數據比較，檢驗模型的合理性、適用性模型應用

分析與設計

預報與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數學建模示例1.椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎?問題分析模型假設通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;地面高度連續(xù)變化，可視為數學上的連續(xù)面;地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地?！?.商人們怎樣安全過河問題

3名商人

3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步決策過程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數不比商人多),經有限步使全體人員過河…….河小船(至多2人)背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長3.如何預報人口的增長指數增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計算公式x(t)~時刻t的人口基本假設

:人口(相對)增長率r

是常數今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數規(guī)律無限增長。指數增長模型的應用及局限性與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數據吻合

適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代

可用于短期人口增長預測

不符合19世紀后多數地區(qū)人口增長規(guī)律

不能預測較長期的人口增長過程19世紀后人口數據人口增長率r不是常數(逐漸下降)阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數量增加而變大假設r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數量）r是x的減函數dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)參數估計用指數增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數r或r,xm

利用統(tǒng)計數據用最小二乘法作擬合例：美國人口數據（單位~百萬）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專家估計阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數據比較實際為281.4(百萬)模型應用——預報美國2010年的人口加入2000年人口數據后重新估計模型參數Logistic模型在經濟領域中的應用(如耐用消費品的售量)阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0數學建模的全過程現(xiàn)實對象的信息數學模型現(xiàn)實對象的解答數學模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)現(xiàn)實世界數學世界表述求解解釋驗證根據建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數學問題選擇適當的數學方法求得數學模型的解答將數學語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答實踐理論實踐數學模型的分類應用領域人口、交通、經濟、生態(tài)……數學方法初等數學、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計……表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預報、決策……建模目的確定和隨機靜態(tài)和動態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)怎樣學習數學建模數學建模與其說是一門技術，不如說是一門藝術.技術大致有章可循藝術無法歸納成普遍適用的準則想像力洞察力判斷力

學習、分析、評價、改進別人做過的模型

親自動手，認真做幾個實際題目!!!CUMCM歷年賽題數學建模競賽的規(guī)模越來越大,水平越來越高；競賽的水平主要體現(xiàn)在賽題水平的提高；賽題的水平主要體現(xiàn)：（１）綜合性、實用性、創(chuàng)新性、即時性等；（２）多種解題方法的創(chuàng)造性、靈活性、開放性等；（３）給參賽者留有很大的發(fā)揮創(chuàng)造的想象空間。

CUMCM歷年賽題1992年:(Ａ)作物生長的施肥效果問題(北理工：葉其孝）

(Ｂ)化學試驗室的實驗數據分解問題（復旦：譚永基）1993年:(Ａ)通訊中非線性交調的頻率設計問題（北大:謝衷潔）

(Ｂ)足球甲級聯(lián)賽排名問題（清華：蔡大用）1994年:(Ａ)山區(qū)修建公路的設計造價問題（西電大：何大可）

(Ｂ)鎖具的制造、銷售和裝箱問題（復旦:譚永基等）1995年:(Ａ)飛機的安全飛行管理調度問題（復旦:譚永基等）

(Ｂ)天車與冶煉爐的作業(yè)調度問題（浙大:劉祥官等）CUMCM歷年賽題1996年:(A)最優(yōu)捕魚策略問題（北師大：劉來福）

(B)節(jié)水洗衣機的程序設計問題（重大：付鸝）1997年:(A)零件參數優(yōu)化設計問題（清華：姜啟源）

(B)金剛石截斷切割問題（復旦：譚永基等）1998年:(A)投資的收益和風險問題（浙大：陳淑平）

(B)災情的巡視路線問題（上海海運學院:丁頌康）1999年:(A)自動化機床控制管理問題（北大：孫山澤）

(B)地質堪探鉆井布局問題（鄭州大學：林詒勛）

(C)煤矸石堆積問題（太原理工大學：賈曉峰）CUMCM歷年賽題2000年:(A)DNA序列的分類問題（北工大：孟大志）

(B)鋼管的訂購和運輸問題（武大：費甫生）

(C)飛越北極問題（復旦：譚永基）

(D)空洞探測問題（東北電力學院：關信）2001年:(A)三維血管的重建問題（浙大：汪國昭）

(B)公交車的優(yōu)化調度問題（清華：譚澤光）

(C)基金使用計劃問題（東南大學：陳恩水）2002年:(A)汽車車燈的優(yōu)化設計問題（復旦:譚永基等）

(B)彩票中的數學問題（信息工程大學：韓中庚）

(D)球隊的賽程安排問題（清華：姜啟源）CUMCM歷年賽題2003年:(A)SARS的傳播問題（集體）

(B)露天礦生產的車輛安排問題（吉林大：方沛辰）

(D)搶渡長江問題（華中農大：殷建肅）2004年:(A)奧運會臨時超市網點設計問題(北工大：孟大志)(B)電力市場的輸電阻塞管理問題(浙大:劉康生）

(C)酒后開車問題（清華：姜啟源）

(D)公務員的招聘問題（信息工程大學：韓中庚）2005年:(A)長江水質的評價與預測問題（信息工大:韓中庚）

(B)DVD在線租賃問題（清華：謝金星等）

(C)雨量預報方法的評價問題（復旦：譚永基）CUMCM歷年賽題2006年:(A)出版社的資源管理問題（北工大:孟大志）

(B)艾滋病療法的評價及預測問題（天大：邊馥萍）

(C)易拉罐形狀和尺寸的設計問題（北理工：葉其孝）

(D)煤礦瓦斯和煤塵的監(jiān)測與控制問題（信息工大：韓中庚）2007年:(A)中國人口增長預測

(B)乘公交,看奧運

(C)手機“套餐”優(yōu)惠幾何

(D)體能測試時間安排CUMCM歷年賽題2008年:（A）數碼相機定位（B）高等教育學費標準探討（C）地面搜索（D）NBA賽程的分析與評價2009年:（A）制動器試驗臺的控制方法分析（B）眼科病床的合理安排（C）衛(wèi)星和飛船的跟蹤測控（D）會議籌備CUMCM歷年賽題2010年:（A）儲油罐的變位識別與罐容表標定

（B）2010年上海世博會影響力的定量評估（C）關于輸油管的設計方案（D）對學生宿舍設計方案的評價

2011年:（A）城市表層土壤重金屬污染分析（B）交巡警服務平臺的設置與調度（C）企業(yè)退休職工養(yǎng)老金制度的改革（D）天然腸衣搭配問題CUMCM歷年賽題2012年:（A）葡萄酒的評價（B）太陽能小屋的設計（C）腦卒中發(fā)病環(huán)境因素分析及干預（D）機器人避障問題CUMCM歷年賽題分析從問題實際意義分析,大體上可分為:工業(yè)、農業(yè)、工程設計、交通運輸、經濟管理、生物醫(yī)學和社會事業(yè)等七個大類。工業(yè)類：電子通信、機械加工與制造、機械設計與控制等行業(yè),共有8個題，占26.7%。農業(yè)類：１個題，占3.3%。工程設計類:3個題，占10.0%。交通運輸類：3個題，占10.0%經濟管理類：5個題，占16.7%生物醫(yī)學類：5個題，占16.7%社會事業(yè)類:5個題，占16.7%

有的問題屬于交叉的，或者是邊緣的。(1992年-2006年）

CUMCM歷年賽題分析

從問題的解決方法上分析，涉及到的數學建模方法：幾何理論、組合概率、統(tǒng)計(回歸)分析、優(yōu)化方法（規(guī)劃）、圖論與網絡優(yōu)化、層次分析、插值與擬合、差分方法、微分方程、排隊論、模糊數學、隨機決策、多目標決策、隨機模擬、灰色系統(tǒng)理論、神經網絡、時間序列、綜合評價、機理分析等方法。用的最多的方法是優(yōu)化方法和概率統(tǒng)計的方法.

用到優(yōu)化方法的共有21個題，占總數的70%，其中整數規(guī)劃4個，線性規(guī)劃6個，非線性規(guī)劃14

個,多目標規(guī)劃5個.

用到概率統(tǒng)計方法的有16個題，占53.3%，幾乎是每年至少有一個題目用到概率統(tǒng)計的方法.

用到圖論與網絡優(yōu)化方法的問題有5個.

用到層次分析法的問題有３個.CUMCM歷年賽題分析用到插值擬合的問題有6個；用到神經網絡的4個；用到灰色系統(tǒng)理論的4個;

用到時間序列分析的至少2個;

用到綜合評價方法的至少3個；

機理分析方法和隨機模擬都多次用到;

其他的方法都至少用到一次。大部分題目都可以用兩種以上的方法來解決,即綜合性較強的題目有25個，占83.3%.CUMCM歷年賽題分析CUMCM歷年賽題分析從問題的題型上分析（1）“即時性”較強的問題有10個,占35.7%：1993B：足球隊排名問題；1998B：災情巡視路線問題；2000A：DNA序列分類問題；2000B：鋼管訂購與運輸問題；2001B：公交車的調度問題；2002B：彩票中的數學問題；2003A：SARS的傳播問題；2004A：奧運會臨時超市網點設計問題2004B：電力市場的輸電阻塞管理問題2005A:長江水質的評價和預測問題

CUMCM歷年賽題分析(2)理論性較強的問題有12個,占46.2%:04A,94B,95A,96A,97A,98B,99A,00B,01A,02A,03A,04B;(3)實用性較強的問題有15個,占50%:93A,94B,95B,96B,98B,99B,00B,01A,01B,02B,03A,04B,05A,05B，06A；(4)算法要求強的問題有6個,占21.4%:95A,97B，99B,00A,00B,05B;(5)數據量較大的問題有12個,占40%:00A,00B，01A,01B,02B,03A,04A,04B,05A,05B.06A，06B。CUMCM歷年賽題分析題目的特點(1)綜合性：一題多解，方法融合，結果多樣，學科交叉。(2)開放性：題意的開放性，思路的開放性，方法的開放性，結果的開放性。(3)實用性：問題和數據來自于實際，解決方法切合于實際，模型和結果可以應用于實際。(4)即時性：國內外的大事，社會的熱點，生活的焦點,近期發(fā)生和即將發(fā)生被關注的問題。(5)數據結構的復雜性：數據的真實性，數據的海量性，數據不完備性，數據的冗余性。CUMCM歷年賽題分析對近幾年題目的簡單分析（１）2006Ａ：出版社的資源配置問題題型：屬于生產管理問題，包括生產資源開發(fā)利用和人力資源的合理分配問題，即要考慮經濟效益，又要考慮社會效益。特點：海量數據、數據不完備（冗余）、數據結構復雜、綜合性和實用性強、開放性較強。方法：主題方法是優(yōu)化，包括線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、多目標規(guī)劃、模糊優(yōu)化和網絡優(yōu)化等。結果：不唯一。題型：屬于生物醫(yī)學的管理問題，包括過去治療方法的評價與未來治療效果的預測問題。特點：大數據量、數據的殘缺、數據結構較復雜，綜合性強、實用性和開放性也較強。方法：主要方法統(tǒng)計回歸擬合，其它方法包括線性插值、二次插值、二次和三次曲線擬合方法,

結合優(yōu)化模型實現(xiàn)。結果：不唯一，也不是主要問題。(2)2006Ｂ：艾滋病療法的評價及預測問題題型：屬于生產加工問題。特點：來自于生活，實用性較強。方法：主題方法高等數學導數的應用。結果：基本上是唯一。(3)2006C：易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計問題(4)2006D：煤礦瓦斯和煤塵的監(jiān)測與控制問題題型：屬于生產管理問題，主要包括瓦斯和煤塵的監(jiān)測與控制兩個方面的問題。特點：數據量較大、數據結構較復雜，即時性、綜合性和實用性強，開放性也較強。方法：主題方法初等概率、線性或非線性擬合、線性或非線性規(guī)劃。結果：不唯一，大體上在一個正常范圍。(5)2005A：長江水質的評價與預測問題題型：屬于社會事業(yè)和管理問題，主要包括長江水質現(xiàn)狀的評價、未來污染的發(fā)展趨勢與控制措施等的問題。特點：數據量大、數據冗余、結構復雜，即時性、綜合性、實用性和開放性強。方法：主題方法數據的處理、綜合評價、微分方程、回歸擬合、灰色關聯(lián)分析與預測、時間序列和神經網絡等。結果：不唯一。(6)2005B：DVD的在線租賃問題題型：屬于經濟管理問題,主要包括DVD的采購計劃、客戶在線訂單的處理、DVD的合理分配，以及網站的科學管理等問題。特點：海量數據、結構復雜，綜合性、實用性和開放性強，算法要求強。方法：主題方法概率統(tǒng)計、大規(guī)模隨機整數規(guī)劃、網絡優(yōu)化、隨機決策分析等。結果：不唯一。(7)2005C：雨量預報方法的評價問題題型：屬于農業(yè)生產管理與社會事業(yè)問題，主要包括預報方法和預報方法的評價等問題。特點：數據較大，綜合性、實用性、算法要求較強。方法：主題方法插值與擬合和數據誤差分析等。結果：不唯一。(8)2004A：奧運會臨時超市網點的設計問題題型：屬于社會事業(yè)問題，主要包括觀眾的出行、用餐和購物的規(guī)律,各商區(qū)的人流分布規(guī)律,

以及各商區(qū)的大小超市的設計數量等問題。特點：海量數據、數據冗余、結構復雜，即時性、綜合性、實用性和開放性強。方法：主題方法數據的處理、統(tǒng)計分析、數據挖掘數學規(guī)劃等。結果：不唯一，對結果沒有明確要求。(9)2004B：電力市場的輸電阻塞管理問題題型：屬于社會事業(yè)和經濟管理問題，主要包括各發(fā)電機組的出力計算方法、報價的清算方法,

出力分配方案和阻塞的調整等問題。特點：數據量大、結構較復雜，即時性、綜合性、實用性和開放性強。方法：主題方法統(tǒng)計分析、多元線性回歸、線性與非線性規(guī)劃等。結果：不唯一，但有大體上合理的范圍。(10)2004C：飲酒駕車問題題型：屬于社會事業(yè)和生物醫(yī)學問題，主要包括酒精濃度在血液中變化、存留的時間、含量最高的時間及作用等問題。特點：即時性、綜合性、實用性強。方法：主題方法機理分析、微分方程等。結果：不唯一。(11)2004D：公務員招聘問題題型：屬于社會事業(yè)問題，主要包括充分考慮應聘人員和用人單位兩個方面的要求研究錄用和分配方案等問題。特點：數據量較大，即時性、綜合性、實用性強。方法：主題方法數據的處理與分析、模糊隸屬度、整數線性規(guī)劃等。結果：不唯一，對結果無要求。賽題預測問題

中國大學生數學建模競賽已進入了第二十個年頭，回首往事，縱覽歷年的競賽題，我們可以發(fā)現(xiàn)中國大學生數學建模競賽的發(fā)展過程和競賽水平在不斷地提高。對過去問題做簡單地分析可以發(fā)現(xiàn)，題目涉及工業(yè)、農業(yè)、工程設計與制造、交通運輸、經濟管理、生物醫(yī)學和社會事業(yè)等多個不同的領域。這些題目的綜合性、實用性都在不斷地增強，使得問題的解決難度在增加，特別是開放性和即時性也在增強。雖然每年的賽題都有些新的變化，但從問題所涉及的領域、即時性和開放性的程度、解決問題所用的主要方法、所建立模型的類型及相互之間的關系等方面還是有一些規(guī)律性?，F(xiàn)在請你對過去歷年賽題作一定的綜合分析，建模分析研究今年的賽題所涉及到的下列問題：（1）賽題最有可能涉及哪個領域，甚至哪個行業(yè)？（2）賽題可能會用到哪些建模方法？（3）結合今年的社會熱點問題和人們對問題關注的程度，最有可能的即時性問題是哪個方面的問題？數學建模競賽的發(fā)展趨勢數學建模競賽有很強的可比性和競爭性,競賽成績是反映能力和水平的一個實力型指標。由于數學建模在創(chuàng)新人才培養(yǎng)中的地位和作用，數學建模受到了越來越多的人的重視和關注。數學建模競賽發(fā)展情況：平均年增長量30%數學建模競賽的發(fā)展趨勢賽題的水平不斷提高、難度在增加、實用性在增強;綜合性和開放性也在增強；隨著計算機技術和工具軟件功能的增強,數據信息量也會逐步增大，從海量數據信息中獲得真知，這也是現(xiàn)代應用的特點之一。數學建模競賽的發(fā)展趨勢有人說21世紀的社會是信息的社會，數據信息是已成為21世紀的基本特征。由全球經濟一體化、社會管理的全球化、生命科學指數增長的數據，以及互聯(lián)網數據的涌現(xiàn)，使得數據化社會已經形成。一方面人們都被數據的海洋所淹沒，另一方面人們期望從數據的海洋中獲得所需要的信