5.4三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（原卷版）

5.4三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)1：正弦、余弦函數(shù)的圖像知識(shí)點(diǎn)①正弦函數(shù)的圖像★★★1．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)實(shí)數(shù)集與角的集合之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,而一個(gè)確定的角對(duì)應(yīng)著唯一確定的正弦(或余弦)值．這樣,任意給定一個(gè)實(shí)數(shù)x,有唯一確定的值sinx(或cosx)與之對(duì)應(yīng)．由這個(gè)對(duì)應(yīng)法則所確定的函數(shù)y=sinx(或y=cosx)叫做正弦函數(shù)(或余弦函數(shù)),其定義域是R．2．利用正弦線作正弦函數(shù)的圖象如圖，在直角坐標(biāo)系的x軸上取一點(diǎn)O1，以O(shè)1為圓心，單位長(zhǎng)為半徑作圓，從⊙O1與x軸的交點(diǎn)A起，把⊙O1分成12等份（等份越多，畫出的圖象越精確）．過(guò)⊙O1上各分點(diǎn)作x軸的垂線，得到對(duì)應(yīng)于等角的正弦線．相應(yīng)地，再把x軸上從0到(≈6．28)這一段分成12等份．把角x的正弦線向右平移，使它的起點(diǎn)與x軸上的點(diǎn)x重合，再把這些正弦線的終點(diǎn)用光滑的曲線連接起來(lái)，即得到函數(shù)y=sinx，的圖象．將函數(shù)y=sinx，的圖象向左、向右平行移動(dòng)（每次個(gè)單位長(zhǎng)度），就可以得到正弦函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象，如圖．正弦函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象叫做正弦曲線（sinecurve）．知識(shí)點(diǎn)②五點(diǎn)法作圖★★★3．五點(diǎn)法作y=sinx,的簡(jiǎn)圖在函數(shù)y=sinx，的圖象上，起關(guān)鍵作用的點(diǎn)有以下五個(gè)：,如下表：x0y=sinx0100描出這五個(gè)點(diǎn)后,函數(shù)y=sinx，的圖象形狀就基本上確定了．因此，在精確度要求不高時(shí)，我們可以先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后用光滑的曲線順次將它們連接起來(lái)，就得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖，這種作圖的方法稱為五點(diǎn)法作圖．知識(shí)點(diǎn)③余弦函數(shù)的圖像★★☆1．利用圖象變換作余弦函數(shù)的圖象根據(jù)誘導(dǎo)公式，由，可知余弦函數(shù)的圖象可以通過(guò)將正弦曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到．如圖所示．類似地，我們把余弦函數(shù)的圖象叫做余弦曲線（cosinecurve）．2．用五點(diǎn)法作余弦函數(shù)的圖象與正弦函數(shù)的圖象一樣，在函數(shù)的圖象上，起關(guān)鍵作用的點(diǎn)有以下五個(gè)：,如下表：x0y=cosx1001同樣，在精確度要求不高時(shí)，我們可以先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后用光滑的曲線順次將它們連接起來(lái)，就得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖，這種作圖的方法也稱為五點(diǎn)法作圖．用五點(diǎn)法作函數(shù)y＝2sinx－1的圖象時(shí)，首先應(yīng)描出的五點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以是（）A．0，，π，，2πB．0，，，，πC．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，不等式的解集為（）A． B． C． D．使得正確的一個(gè)區(qū)間是（）A．B．C． D．用“五點(diǎn)法”作函數(shù)在上的圖象時(shí)，應(yīng)取的五個(gè)點(diǎn)依次為_(kāi)__________?___________?___________?___________?___________.根據(jù)函數(shù)圖像，可得方程的解為_(kāi)__________.函數(shù)相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間距離為_(kāi)_________．已知余弦函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則的值為_(kāi)_________．若函數(shù)與x軸有5個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.用五點(diǎn)法作函數(shù)圖像時(shí)，最高點(diǎn)為_(kāi)__________.滿足的的取值范圍是_________．（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）利用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y＝1－sinx(0≤x≤2π)的簡(jiǎn)圖．（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）利用正弦曲線，求滿足的x的集合．知識(shí)點(diǎn)2：正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)④正、余弦函數(shù)的圖像的應(yīng)用★★★知識(shí)點(diǎn)⑤正、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)★★☆知識(shí)點(diǎn)⑥函數(shù)的周期性★★☆知識(shí)點(diǎn)⑦求與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域★☆☆知識(shí)點(diǎn)⑧求與三角函數(shù)有關(guān)的幾種常見(jiàn)函數(shù)的值域（或最值）★☆☆知識(shí)點(diǎn)⑨正、余弦函數(shù)的單調(diào)性★★☆1．周期性由正弦函數(shù)的圖象和周期函數(shù)的定義可得：正弦函數(shù)是周期函數(shù)，都是它的周期，最小正周期是．同理可得，余弦函數(shù)也是周期函數(shù)，都是它的周期，最小正周期是．2．奇偶性觀察正弦曲線和余弦曲線，可以看到正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，余弦曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，因此正弦函數(shù)y=sinx，x∈R為奇函數(shù)，余弦函數(shù)為偶函數(shù)．3．單調(diào)性正弦函數(shù)y=sinx，x∈R在每一個(gè)閉區(qū)間上都是增函數(shù)，其值從?1增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間上都是減函數(shù)，其值從1減小到?1．類似地,余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間上都是增函數(shù)，其值從?1增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間上都是減函數(shù)，其值從1減小到?1．4．最大值與最小值(值域)正弦函數(shù)y=sinx，x∈R,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值1；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值-1．余弦函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值1；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值?1．【微點(diǎn)撥】1.正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)：性質(zhì)圖象定義域值域最值當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．周期性奇偶性,奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．對(duì)稱性對(duì)稱中心對(duì)稱軸，既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形。2.余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)：性質(zhì)圖象定義域值域最值當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．周期性奇偶性偶函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．對(duì)稱性對(duì)稱中心對(duì)稱軸，既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱圖形?？挤?1函數(shù)的周期性及其應(yīng)用求三角函數(shù)的周期，一般有兩種方法：（1）公式法，即將函數(shù)化為或的形式，再利用求得;（2）定義法，即利用定義去研究，但這種方法需要證明T是最小正周期，高考中對(duì)此不作要求，往往采取的是利用變換的方法或作出函數(shù)的圖象，通過(guò)觀察圖象得到最小正周期．已知函數(shù)，則它的最小正周期為（）A． B． C． D．函數(shù)y＝|cosx|的周期為（）A．2πB．πC． D．考法02函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用（1）對(duì)于函數(shù)（A>0,ω>0）：時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)；時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)．（2）對(duì)于函數(shù)（A>0,ω>0）：時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)；時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)．已知函數(shù)，則函數(shù)的部分圖象可以為（）A． B． C． D．下列函數(shù)不是奇函數(shù)的是（）A．y＝sinxB．y＝sin2xC．y＝sinx＋2 D．y＝sinx下列函數(shù)中，周期為π，又是偶函數(shù)的是（）A．y＝sinxB．y＝cosxC．y＝cos2x D．y＝sin2x考法03函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用（1）求函數(shù)或的單調(diào)區(qū)間，一般將視作整體，代入或相關(guān)的單調(diào)區(qū)間所對(duì)應(yīng)的不等式，解之即得．（2）當(dāng)ω<0時(shí)，先利用誘導(dǎo)公式將變形為，將變形為，再求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（3）當(dāng)A<0時(shí)，要注意單調(diào)區(qū)間的變化，謹(jǐn)防將增區(qū)間與減區(qū)間混淆．（4）比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小，先利用誘導(dǎo)公式把兩個(gè)角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較．（5）比較兩個(gè)不同名的三角函數(shù)值的大小，一般應(yīng)先化為同名的三角函數(shù)，后面步驟同上．求函數(shù)y＝2sin(－x)的單調(diào)遞增區(qū)間．【名師點(diǎn)睛】討論函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)性的一般步驟：（1）若ω<0，利用誘導(dǎo)公式二把y＝Asin(ωx＋φ)中x的系數(shù)化為大于0的數(shù)；（2）引入變量u＝ωx＋φ(ω>0)；（3）討論函數(shù)y＝sinu的單調(diào)性；（4）解關(guān)于x的不等式得出y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間．不求值，比較下列各組中兩個(gè)三角函數(shù)值的大?。海?）sin14°與sin156°；（2）cos515°與cos530°．考法04三角函數(shù)的最值（1）對(duì)于求形如(或)的函數(shù)的最值或值域問(wèn)題,常利用正、余弦函數(shù)的有界性求解．求三角函數(shù)取最值時(shí)相應(yīng)自變量x的集合時(shí)，要注意考慮三角函數(shù)的周期性．（2）求解形如(或),的函數(shù)的值域或最值時(shí),一般先通過(guò)換元,令t=sinx(或cosx),將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù),然后利用配方法求值域或最值即可．求解過(guò)程中要注意t=sinx(或cosx)的取值范圍．在上的最大值與最小值的和為（）A．0 B．1 C．2 D．3設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，令，則t的最大值與最小值的和為（）A． B． C． D．求下列函數(shù)的值域：（1）y＝cos(x＋)，x∈[0，]；（2）y＝cos2x－4cosx＋5．在下列函數(shù)中，不是周期函數(shù)的是（）A．B．C． D．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則在上是（）A．增函數(shù) B．減函數(shù) C．增函數(shù)或減函數(shù) D．以上都不對(duì)設(shè)M和m分別表示函數(shù)的最大值和最小值，則等于（）A． B． C． D．-2的取值所在的范圍是（）A． B． C． D．函數(shù)y＝sin2x取得最小值時(shí)x的集合為_(kāi)_______．下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是A． B． C． D．（2022春?河?xùn)|區(qū)期末）函數(shù)的最小正周期為，則的值為A．4 B．2 C．1 D．（2022秋?深州市校級(jí)月考）下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是A． B． C． D．已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，其圖象的一條對(duì)稱軸方程為，則的值可能是A． B． C．1 D．函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是A．， B．， C．， D．，已知函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．函數(shù)在區(qū)間，的值域?yàn)锳．， B．， C．， D．，已知函數(shù)，其中，，若的值域是，，則的取值范圍是．函數(shù)的值域是．知識(shí)點(diǎn)3：正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)⑩正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)★☆☆知識(shí)點(diǎn)①①正切函數(shù)圖像的應(yīng)用★★☆知識(shí)點(diǎn)①②正切函數(shù)的單調(diào)性★★☆正切函數(shù)的性質(zhì)1．周期性由誘導(dǎo)公式可知，，因此是正切函數(shù)的一個(gè)周期.一般地，函數(shù)的最小正周期．2．奇偶性正切函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由于，因此正切函數(shù)是奇函數(shù)．3．單調(diào)性和值域單位圓中的正切線如下圖所示．利用單位圓中的正切線研究正切函數(shù)的單調(diào)性和值域，可得下表：角x正切線AT增函數(shù)增函數(shù)由上表可知正切函數(shù)在，上均為增函數(shù)，由周期性可知正切函數(shù)的增區(qū)間為．此外由其變化趨勢(shì)可知正切函數(shù)的值域?yàn)榛?，因此正切函?shù)沒(méi)有最值．正切函數(shù)的圖象利用正切線作出函數(shù)的圖象（如圖）．作法如下：(1)作直角坐標(biāo)系，并在y軸左側(cè)作單位圓．(2)把單位圓右半圓分成8等份，分別在單位圓中作出正切線．(3)描點(diǎn)．（橫坐標(biāo)是一個(gè)周期的8等分點(diǎn)，縱坐標(biāo)是相應(yīng)的正切線）(4)連線．根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖象向左、右擴(kuò)展，就可以得到正切函數(shù)，且的圖象，我們把它叫做正切曲線(如圖)．正切曲線是被相互平行的直線所隔開(kāi)的無(wú)窮多支曲線組成的．考法01正切函數(shù)的性質(zhì)熟練掌握正切函數(shù)的性質(zhì)：（1）定義域：；（2）值域：；（3）最小正周期：；（4）奇偶性：奇函數(shù)；（5）單調(diào)性：在每一個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)均為增函數(shù)．求函數(shù)的定義域、值域，并判斷它的奇偶性和單調(diào)性.【名師點(diǎn)睛】（1）正切函數(shù)的定義域?yàn)椋@是解決正切函數(shù)相關(guān)問(wèn)題首先要關(guān)注的地方．（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，將視為整體，代入函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可，注意的符號(hào)對(duì)單調(diào)區(qū)間的影響．考法02正切函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用（1）利用正切函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)正切值的大小，實(shí)際上是將兩個(gè)角利用函數(shù)的周期性或誘導(dǎo)公式放在一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)比較大?。?）三角函數(shù)與二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，一般是研究函數(shù)的值域或最值，求解方法是通過(guò)換元或整體代換將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)型的函數(shù)值域問(wèn)題，對(duì)于新引入的元或整體，要注意其范圍的變化．求下列函數(shù)的定義域：（1）函數(shù)y＝＋lg(1－tanx)；（2）函數(shù)y＝tan(sinx)．求函數(shù)y＝－tan2x＋10tanx－1，x∈[，]的值域．考法03正切函數(shù)的圖象及其應(yīng)用（1）的周期性：函數(shù)及的周期是其對(duì)應(yīng)函數(shù)周期的一半，而函數(shù)的圖象是把在x軸下方的圖象翻折到x軸上方，但其周期與的周期相等，均為π.（2）解三角不等式的方法一般有兩種：一是利用三角函數(shù)線，借助于單位圓在直角坐標(biāo)系中找出角的區(qū)域，再求出不等式的解集；二是利用三角函數(shù)圖象，先在一個(gè)周期內(nèi)求出x的范圍，再在整個(gè)定義域上求出不等式的解集.利用正切函數(shù)的圖象求角的范圍時(shí)，主要是利用其單調(diào)性.這是數(shù)形結(jié)合思想方法的一個(gè)具體應(yīng)用.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期?對(duì)稱中心；（2）作出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖.函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)相鄰的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，且函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，求函數(shù)解析式．作出函數(shù)y＝|tanx|的圖象，并根據(jù)圖象求其最小正周期和單調(diào)區(qū)間．考法04利用函數(shù)性質(zhì)求待定參數(shù)：若函數(shù)在上是遞增函數(shù)，則的取值范圍是________下列點(diǎn)不是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的是（）A． B． C． D．在內(nèi)，使成立的x的取值范圍為（）A．B．C． D． 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，若，則（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D． 已知函數(shù)y=3tan．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的定義域；（3）說(shuō)明此函數(shù)的圖象是由y=tanx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的？已知函數(shù)．（1）求的定義域；（2）求的周期；（3）求的單調(diào)遞增區(qū)間．已知函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，若，則A． B． C． D．3的圖象與直線的兩相鄰交點(diǎn)間的距離為，則A． B． C．1 D．2函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A． B． C． D．（2022春?漢中期中）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A．函數(shù)的定義域?yàn)?B．函數(shù)的最小正周期為4 C．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為， D．函數(shù)圖像的對(duì)稱中心為，（2022春?遼寧期中）已知函數(shù)的圖像與直線的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，則的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是A．， B．， C．， D．