多面體與球切、接的問題(講)

縱觀近幾年高考對(duì)于組合體的考查，與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問題是高考命題的熱點(diǎn)之一.高考命題小題綜合化傾向尤為明顯，要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計(jì)算能力，才能順利解答.從實(shí)際教學(xué)來看，這局部知識(shí)學(xué)生掌握較為薄弱、認(rèn)識(shí)較為模糊，看到就頭疼的題目.分析原因，除了這類題目的入手確實(shí)不易之外，主要是學(xué)生沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理.下面結(jié)合近幾年高考題對(duì)球與幾何體的切接問題作深入的探究,以便更好地把握高考命題的趨勢(shì)和高考的命題思路,力爭(zhēng)在這局部?jī)?nèi)容不失分.從近幾年全國(guó)高考命題來看,這局部?jī)?nèi)容以選擇題、填空題為主，大題很少見.首先明確定義1：假設(shè)一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，那么稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球。定義2：假設(shè)一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，那么稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球.1球與柱體的切接規(guī)那么的柱體，如正方體、長(zhǎng)方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者外表積等相關(guān)問題.球與正方體如下圖，正方體，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，為棱的中點(diǎn)，為球的球心.常見組合方式有三類：一是球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，截面圖為正方形和其內(nèi)切圓，那么；二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形和其外接圓，那么；三是球?yàn)檎襟w的外接球，截面圖為長(zhǎng)方形和其外接圓，那么.通過這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個(gè)幾何體的軸截面，通過兩個(gè)截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.〔1〕正方體的內(nèi)切球，如圖1.位置關(guān)系：正方體的六個(gè)面都與一個(gè)球都相切，正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，這時(shí)有.〔2〕正方體的外接球，如圖2.位置關(guān)系：正方體的八個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上；正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，這時(shí)有.〔3〕正方體的棱切球，如圖3.位置關(guān)系：正方體的十二條棱與球面相切，正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，這時(shí)有.例1棱長(zhǎng)為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的外表上，分別是棱，的中點(diǎn)，那么直線被球截得的線段長(zhǎng)為〔〕A． B． C． D．思路分析：由題意推出，球?yàn)檎襟w的外接球.平面截面所得圓面的半徑得知直線被球截得的線段就是球的截面圓的直徑.球與長(zhǎng)方體例2自半徑為的球面上一點(diǎn)，引球的三條兩兩垂直的弦，求的值．思路分析：此題欲計(jì)算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個(gè)封閉的圖形內(nèi)進(jìn)行計(jì)算，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián)．例3〔全國(guó)卷I高考題〕各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，那么這個(gè)球的外表積為〔〕.A.B.C.D.思路分析：正四棱柱也是長(zhǎng)方體.由長(zhǎng)方體的體積16及高4可以求出長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為2，可得長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2，2，4，長(zhǎng)方體內(nèi)接于球，它的體對(duì)角線正好為球的直徑.2球與錐體的切接規(guī)那么的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者外表積等相關(guān)問題.2.1正四面體與球的切接問題〔1〕正四面體的內(nèi)切球，如圖4.位置關(guān)系：正四面體的四個(gè)面都與一個(gè)球相切，正四面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，高為；球的半徑為，這時(shí)有；〔可以利用體積橋證明〕〔2〕正四面體的外接球，如圖5.位置關(guān)系：正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，正四面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，高為；球的半徑為，這時(shí)有；〔可用正四面體高減去內(nèi)切球的半徑得到〕〔3〕正四面體的棱切球，如圖6.位置關(guān)系：正四面體的六條棱與球面相切，正四面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，高為；球的半徑為，這時(shí)有例4設(shè)正四面體中，第一個(gè)球是它的內(nèi)切球，第二個(gè)球是它的外接球，求這兩個(gè)球的外表積之比及體積之比．思路分析：此題求解的第一個(gè)關(guān)鍵是搞清兩個(gè)球的半徑與正四面體的關(guān)系，第二個(gè)關(guān)鍵是兩個(gè)球的半徑之間的關(guān)系，依靠體積分割的方法來解決的．2.2其它棱錐與球的切接問題球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球?yàn)槿忮F的外接球，此時(shí)三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，根據(jù)截面圖的特點(diǎn)，可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解.二是球?yàn)檎忮F的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個(gè)面相切，球心到四個(gè)面的距離相等，都為球半徑．這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個(gè)小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積.球與一些特殊的棱錐進(jìn)行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì)，可綜合利用截面法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解.例如，四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐，可利用直角三角形斜邊中點(diǎn)幾何特征，巧定球心位置.例5正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為，正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切．求球的外表積與體積．思路分析：此題求解的關(guān)鍵是搞清球的半徑與正三棱錐的高及底面邊長(zhǎng)的關(guān)系，由等體積法可得：，得到．例6〔福建高考題〕假設(shè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，那么其外接球的外表積是.思路分析：此題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設(shè)出球心，利用直角三角形計(jì)算球的半徑.而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法.三條側(cè)棱兩兩垂直，使我們很快聯(lián)想到長(zhǎng)方體的一個(gè)角，馬上構(gòu)造長(zhǎng)方體，由側(cè)棱長(zhǎng)均相等，所以可構(gòu)造正方體模型.點(diǎn)評(píng)：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補(bǔ)形的方法解決立體幾何中計(jì)算問題，這是解決幾何體與球切接問題常用的方法．例7【2023年新課標(biāo)高考卷】三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是邊長(zhǎng)為1的正三角形，是球的直徑，且；那么此棱錐的體積為〔〕A.B.C.D.思路分析：的外接圓是球面的一個(gè)小圓，由可得其半徑，從而得到點(diǎn)到面的距離.由為球的直徑點(diǎn)到面的距離即可求得棱錐的體積.3球與球相切問題對(duì)于球與球的相切組合成復(fù)雜的幾何體問題，要根據(jù)豐富的空間想象力，通過準(zhǔn)確確定各個(gè)小球的球心的位置，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)化平面問題求解.例8思路分析：結(jié)合圖形，的方程.例9把四個(gè)半徑都是1的球中的三個(gè)放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個(gè)球，使它與前三個(gè)都相切，求第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離．思路分析：關(guān)鍵在于能根據(jù)要求構(gòu)造出相應(yīng)的幾何體，由于四個(gè)球半徑相等，故四個(gè)球一定組成正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)且正四面體的棱長(zhǎng)為兩球半徑之和2．球與幾何體的各條棱相切問題球與幾何體的各條棱相切問題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，到達(dá)明確球心的位置為目的，然后通過構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對(duì)棱的一半：.例10把一個(gè)皮球放入如圖10所示的由8根長(zhǎng)均為20cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的外表與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)，那么皮球的半徑為〔〕 A．l0cm B． C．10cm D．思路分析：根據(jù)題意球心O在圖中AP上，過O作BP的垂線ON垂足為N，ON=R，OM=R，由各個(gè)棱都為20，得到AM=10，BP=20,BM=10，AB=,設(shè)，在BPM中，由,得.在PAM中,由,得.在ABP中得,，在ONP中得,,從而，.在OAM中,由,建立方程即可得解.球與旋轉(zhuǎn)體切接問題首先畫出球及其它旋轉(zhuǎn)體的公共軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體幾何元素之間的關(guān)系．例11求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比．思路分析：首先畫出球及它的外切圓柱、等邊圓錐，它們公共的軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體之間元素的關(guān)系．例12在棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)有兩個(gè)球相外切且又分別與正方體內(nèi)切．〔1〕求兩球半徑之和；〔2〕球的半徑為多少時(shí)，兩球體積之和最?。悸贩治觯捍祟}的關(guān)鍵在于作截面，一個(gè)球在正方體內(nèi)，學(xué)生一般知道作對(duì)角面，而兩個(gè)球的球心連線也應(yīng)在正方體的體對(duì)角線上，故仍需作正方體的對(duì)角面，得如圖的截面圖，在圖中，觀察與和棱長(zhǎng)間的關(guān)系即可．綜合上面的五種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決.如果外切的是多面體，那么作截面時(shí)主要抓住多面體過球心的對(duì)角面來作；把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的內(nèi)接問題