2022年高一數(shù)學(xué)突破5. 3 誘導(dǎo)公式重難點(diǎn)突破

突破5.3誘導(dǎo)公式重難點(diǎn)突破

一、考情分析

六組基本的誘導(dǎo)公式一

三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

r1一全正，二正弦，三正切，四余弦

記憶技巧“口訣”

一2.奇變偶不變，符號(hào)看象限

二、經(jīng)驗(yàn)分享

考點(diǎn)1誘導(dǎo)公式

誘導(dǎo)公式一：sin(cr+2%左)=sin。，cos(a+2k/r)=cosa,tan(a+2攵笈)=tana,其中ZwZ

誘導(dǎo)公式二：sin0r+a)=-sina,cos〃r+a)=-cosa,tan(〃+a)=tana,其中攵cZ

誘導(dǎo)公式三：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana,其中kwZ

誘導(dǎo)公式四：sin(7一a)=sina,cos(^-a)=-cosa,tan(；r-a)=-tana,其中ZcZ

誘導(dǎo)公式五：sin\--a\=cosa,cos工一a=sina,其中kcZ

誘導(dǎo)公式六：sin[?+aj=cosa,cos[]+aj=-sina,其中keZ

考點(diǎn)2誘導(dǎo)公式的記憶

記憶口訣"奇變偶不變，符號(hào)看象限”，意思是說角七?90土a（Z為常整數(shù)）的三角函數(shù)值：當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正

弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)女為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變，然后a的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)視a為銳角時(shí)原函數(shù)值的符

號(hào).

1

三、題型分析

重難點(diǎn)題型突破01利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值

例1.(1).(2020?福建高二學(xué)業(yè)考試)化簡(jiǎn)tan(乃+。)=()

A.sinaB.cos6zC.-sinczD.tana

【答案】D

,、sin〃r+a)-sina

【解析】tan(乃+。)=----------=-------=tana,故選：D.

cosO+a)-cosa

(2).(2020?山東高一期末)設(shè)adR,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

A.sin(乃+a)=—sinaB.cos(7t-a)--cosa

兀

C.cos(—+a)=-sinaD.tan(—a—%)=tana

2

【答案】D

【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式

公式二，有sin(7+a)=—sina公式四，有cos(兀一。)=一cose

JI

公式六，有cos(—+a)=-sina公式二、三，有tan(-c-7r)=-tan(;r+e)=-tana

2

故選：D

TT

(3).(2020?赤峰二中高三三模(理))已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)(-4,-3),則cos(^+2a)=()

24121224

A.---B.---C.——D.—

25252525

【答案】A

3

【解析】因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過點(diǎn)(-4,-3),所以tana=-

4

71

所以cos(]+2a)=-sin2a=-2sinacosa,

sinacosatana24

=-2^^----------=-2---；-----=----,故選：A

sirTa+cosatarra+125

【變式訓(xùn)練11.(2019?山東師范大學(xué)附中高一月考)已知XER,則下列等式恒成立的是()

A.sin(-x)=sinx

(71\.

C.cos——bx=-sinxD.COS(X-^T)=-COSLX

(2)

E.tan(x+^)=tanx

【答案】CDE

2

【變式訓(xùn)練2】.（2020.輝縣市第二高級(jí)中學(xué)高一月考）化簡(jiǎn)下列各式.

sin（-2^-?）cos

（1）—

3汽

tan（2;r-a）cos（?+a）sin+a

2

Jl—2sinl00cosl0。

（2）

sinl0°-A/l-sin2190°

【答案】（1）tana；（2）-1

（一sina）（sina）

【解析】（1）原式==tana

（一tana）?（-cosa）?（一cosa）

（2）原式="sinlO"-coslO"）_coslO"-sinlO"=_]

sinlO"-coslO""sinlO"-coslO"

【變式訓(xùn)練3】.（2018秋?道里區(qū)校級(jí)期末）已知點(diǎn)尸（1,1）在角a的終邊上，求下列各式的值.

（j）cos（;r+a）sin（萬一a）

tan（zr+6r）+sin2（y-a）

?z37r、.37r、

sin（5+a）cos（?--a）

（II）

cos2a-sin2a+tan（^-a）

【分析】由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義求得sin。，cosa,tan。的值，再利用誘導(dǎo)公式即可求得要求式子

的值.

【答案】解：???角a終邊上有一點(diǎn)

:.x=\,y=1,r=|OP|=V2,

,.yOx^2y

..s\na=—=——,cosa=—=——，tan=—=1,

r2r2x

y/2V2

-----x----

（?）cos（4+a）sin（4一a）_-cosa*sina_22_1

"tanS+cO+sirq-aJtana+cos%-]+（也）2-3，

.,3乃34V2>/2

（H）osm（爹+n）cos（5a）Jcosahsina）_（=）（=）二]

cos2a-sin2a+tan（^-a）cos2a-sin2a-tana2

2~2~

3

重難點(diǎn)題型突破02分類討論

例2、化簡(jiǎn)：sin(——-7r-a)+cos(^n+n-a)(neZ).

44

【分析】對(duì)〃分當(dāng)〃=2左與〃=22+10lwZ)討論，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可.

▼史注、曲?/4〃-1.An+\、?/兀、/萬、

L合泰】解：sm(-------7r-a)+cos(--------7V-a)=sin(n7r-------a)+cos(〃〃+-----a),

4444

當(dāng)〃=2k(kwZ)時(shí)，上式=-sin(—+a)+cos(—一a)=-sin[--a)]+cos(工-a)=0;

44244

當(dāng)〃=2Z+1(2￡Z)時(shí)，上式=sin(-—a)+cos(--a)=sin(—+a)~cos(--a)=cos(--a)-cos(-—a)=0.

444444

【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，分類討論是關(guān)鍵，是基本知識(shí)的考查.

【變式訓(xùn)練1】(2019春?集寧區(qū)校級(jí)月考)設(shè)4為整數(shù)，化簡(jiǎn).伏"a)cos>7)乃-a]

sin[(k+1)乃+a]cos(Z;r+a)

【分析】分女為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況，分別利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.

【答案】解：當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，sin(1-—a)cos[(k-l)"-a]=sin(-a).(-c°sa)

sinf(A:+1)4+a]cos(44+a)-sina?cosa

w,斗大必sin(^-a)cos[(A:-X)7i-a]sina*cosa]

：3k.為，寸:奴時(shí),--------------------------------------——1,

sin[(k+1))+a]cos(k7r+a)sina?(—cosa)

綜卜可得sin/一一a)cos[(Z—1)乃一a]=

sin[(k+1)]+a]cos(匕r+a)

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題.

【變式訓(xùn)練2】(2019?廣東模擬)化簡(jiǎn)則竺土型㈣絲二￡1,neZ.

cos[(〃+l)萬一a]

【答案】解：當(dāng)〃=2%(%eZ)時(shí)，原式=smacosa=_sina；

-cosa

當(dāng)〃=2%-l(ZeZ)時(shí)，原式=(Tina)(-c°sa)=sina

cosa

【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用.注意三角函數(shù)的正負(fù)號(hào)的判斷.

重難點(diǎn)題型突破03靈活拆分

例3.(2016?新課標(biāo)I,文14)已知。是第四象限角，且sin@+C)=3,則tan(6-工)=

454

【答案】-3

3

【解析】???，是第四象限角，.??一工+2版則一工+2攵萬＜6+工＜工+2%不攵GZ,

2444

又sin(04-—)=-，cos(0+—)=Jl-sin2(0+—)=Jl-(-)2=-，cos(^--0)=sin(匹+8)3

454V4V55445

1sin(。7T-6)4

sin(——，)=cos(e+—)=—,則tan(g——)=-tan(——&)------------------=_5=-i

J3

44544cos￡.e)

5

4

【變式訓(xùn)練1】.(2020?山西應(yīng)縣一中高一期中(理))已知cos［今=則cos［*+a)=.

【答案】—《

【解析】

故答案為：—q.

【變式訓(xùn)練2】已知cos(a-55o)=-g,且a為第四象限角，求sin(a+125。)的值.

【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin(a-55。)的值,再利用誘導(dǎo)公式求得sin(a+125°)的值.

【答案】解：?jcos(a-55。)=-g，且a為第四象限角，

a-55。為第三象限角，sin(a-55°)=—-cos2(a-55°)=一2，.

sin(a+125°)=sin(a-55°+l80°)=-sin(a-55°)=述.

【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

【變式訓(xùn)練3］已知sin(a-&)=」，貝ljcos(a+至)的值等于()

434

A.-1B.1C-述D.也

3333

【分析】直接對(duì)函數(shù)的關(guān)系式利用誘導(dǎo)公式變換求出結(jié)果.

【答案】解：已知sin(a-工)=,，

43

/5萬、/兀、、/71.714、f

ox：cos(tzH-----)=cosr%+(a+-)1=-cos(a+—)=-sinl----(aH■一)1

44424

=-sin(?_a)=sin(a_g=g.

故選：B.

5

四、遷移應(yīng)用

1.已知a為第二象限角，且3sina+cosa=0,貝ijsin(/+aj=()

AMR3ViorVlO口3M

10101010

【答案】D

【解析】

?.?3sina+cosa=0..'.Ssina=-cosa.

,,,.2129

,.,sin2cn+cos2?=1,，sin2a+9sin2a=1，sirra=歷，cos-a=—,

已知a為第二象限角，cosa<0,cosa=一。10,

10

3V10

即sin(工+acosa-------

(2)10

故選：D

4(3

2.若sin6-cose=-,且一兀，兀,則sin(元一。)一cos(兀-6)=()

314

AV2B拒CDi

3333

【答案】A

【解析】

由題意，sin。一cos。=3=>1-2sin。cos0=—t則2sin，cos0=--<0,

399

由于6w1［兀，兀J,則sin(7t_8)_cos(7T_6)=sin8+cos0=-J(sin6+cos6)2=-Jl+2sin6cos6=-.

故選A.

6

5泊卜一升0$隆34+0卜11(7—a)

3.(202。永州市第四中學(xué)高一月考)已知。是第四象限角，、2

/(?)=

tan(?-a)sin(一萬-a)

(1)化簡(jiǎn)/3).

什(3萬3

(2)若cos[a--—求/(a)的值.

4

【答案】(1)-cosa；(2)--

【解析】

./萬、,37r、/、

sm(a----)cos(——+a)tan(4-a)

(1)/(a)=----------2--------2---------------------

tan(乃-a)sin(-^-a)

冗

-sin(--a)sina(-tana)

-tanasincr

cosa?sina?lana

一lana?sina

一cosa.

37r

(2)因?yàn)閏os(a-：—)

2

=cos號(hào)一a)

3

=-sintz=—,

5

一,3

所以sina=——

因?yàn)閍是第四象限角,

4

所以cosa=—

5

4

所以/(a)=-cosa=--