數(shù)學模型與算法

數(shù)學模型與算法概述

2016.09.283428183435線性規(guī)劃解法：圖解法、MATLAB、lingo數(shù)值解法：單純形法，大M法，兩階段法整數(shù)規(guī)劃定義：部分變量限定為整數(shù)整數(shù)規(guī)劃用matlab求解都需要自己編寫算法，lingo不需要。算法：分枝定界法、蒙特卡洛算法（隨機取樣法）、隱枚舉法……0-1規(guī)劃指派問題（最小值）：非線性規(guī)劃定義：目標函數(shù)或約束條件中包含非線性函數(shù)?？尚薪饪梢栽谌我恻c達到方法：MATLAB函數(shù)，迭代法。凸規(guī)劃的可行域為凸集，其局部最優(yōu)解即為全局最優(yōu)解無約束問題方法：一維搜索法（試探法、斐波那契法、0.618法、插值法、切線法），多維非線性規(guī)劃（梯度法、牛頓法、變尺度法、最小二乘法）有約束問題的方法：消元法、拉格朗日乘子法，罰函數(shù)法動態(tài)規(guī)劃把全過程轉(zhuǎn)化為一系列結(jié)構(gòu)相似的子問題定義：多階段決策過程最優(yōu)化方法：逆序解法，順序解法圖與網(wǎng)絡(luò)模型定義：可以用圖或網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)來描述的優(yōu)化問題算法：迪克斯特拉算法，F(xiàn)loyd算法……排隊論模型1、概念：性態(tài)問題，即研究各種排隊系統(tǒng)的概率規(guī)律性，主要是研究隊長分布、等待時間分布和忙期分布等，包括了瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩種情形；最優(yōu)化問題，又分靜態(tài)最優(yōu)和動態(tài)最優(yōu)，前者指最優(yōu)設(shè)計，后者指現(xiàn)有排隊系統(tǒng)的最優(yōu)運營。2、前提：排隊系統(tǒng)的統(tǒng)計推斷，即判斷一個給定的排隊系統(tǒng)符合于哪種模型，以便根據(jù)排隊理論進行分析研究。3、典型排隊模型：指數(shù)分布，泊松分布，生滅過程，等待制排隊模型（單服務(wù)臺模型、多服務(wù)臺模型），損失制排隊模型，混合制排隊模型，有限源排隊模型，服務(wù)率或到達率依賴狀態(tài)的排隊模型，非生滅過程排隊模型，愛爾朗（Erlang）排隊模型4、排隊系統(tǒng)的優(yōu)化：M/M/1模型中的最優(yōu)服務(wù)率μ，M/M/s模型中的最優(yōu)的服務(wù)臺數(shù)s*對策論1、社會及經(jīng)濟的發(fā)展帶來了人與人之間或團體之間的競爭及矛盾，應(yīng)用科學的方法來解決這樣的問題。2、定義：對策論亦稱競賽論或博弈論。是研究具有斗爭或競爭性質(zhì)現(xiàn)象的數(shù)學理論和方法。（研究對策行為中斗爭各方是否存在著最合理的行動方案，以及如何找到這個合理的行動方案的數(shù)學理論和方法。）3、理論：零和對策，穩(wěn)定解的條件，純策略，混合策略，線性規(guī)劃解；二人非常數(shù)和對策4、實例：轟炸機和戰(zhàn)斗機……層次分析法定義：對一些較為復(fù)雜、較為模糊的問題作出決策的簡易方法，它特別適用于那些難于完全定量分析的問題。步驟：建立遞階層次結(jié)構(gòu)模型；構(gòu)造出各層次中的所有判斷矩陣；層次單排序及一致性檢驗；層次總排序及一致性檢驗。插值與擬合1、插值：拉格朗日多項式插值、牛頓插值、分段線性插值、Hermite插值、三次樣條插值和B樣條函數(shù)插值2、擬合：最小二乘擬合數(shù)據(jù)的統(tǒng)計描述和分析定義：研究的對象是受隨機因素影響的數(shù)據(jù)的科學內(nèi)容：統(tǒng)計描述、參數(shù)估計、假設(shè)檢驗實例：是否有顯著區(qū)別，是否提高方差分析定義：用數(shù)理統(tǒng)計分析試驗結(jié)果、鑒別各因素對結(jié)果影響程度的方法稱為方差分析類別：單因素方差分析（均衡數(shù)據(jù)，非均衡數(shù)據(jù)，多重比較），雙因素方差分析（單獨影響和交互影響），正交試驗插值與擬合1、插值：拉格朗日多項式插值、牛頓插值、分段線性插值、Hermite插值、三次樣條插值和B樣條函數(shù)插值2、擬合：最小二乘擬合數(shù)據(jù)的統(tǒng)計描述和分析定義：研究的對象是受隨機因素影響的數(shù)據(jù)的科學內(nèi)容：統(tǒng)計描述、參數(shù)估計、假設(shè)檢驗實例：是否有顯著區(qū)別，是否提高方差分析定義：用數(shù)理統(tǒng)計分析試驗結(jié)果、鑒別各因素對結(jié)果影響程度的方法稱為方差分析類別：單因素方差分析（均衡數(shù)據(jù)，非均衡數(shù)據(jù)，多重比較），雙因素方差分析（單獨影響和交互影響），正交試驗回歸分析1、定義：簡單地說，回歸分析就是對擬合問題作的統(tǒng)計分析。2、應(yīng)用：建立因變量y與自變量x1,x2,…,xm之間的回歸模型（經(jīng)驗公式）；對回歸模型的可信度進行檢驗；判斷每個自變量xi(i=1,2,…,m)對y的影響是否顯著；診斷回歸模型是否適合這組數(shù)據(jù)；利用回歸模型對y進行預(yù)報或控制。3、類型：一元線性回歸（最小二乘估計），多元線性回歸（和一元線性回歸差不多），多項式回歸，非線性回歸，逐步回歸4、F檢驗，t檢驗常微分方程的解法只有線性常系數(shù)微分方程，并且自由項是某些特殊類型的函數(shù)時，才可以肯定得到這樣的解，而絕大多數(shù)變系數(shù)方程、非線性方程都是所謂“解不出來”的數(shù)值解法：歐拉方法、龍格——庫塔方法matlab符號運算命令dsolve算解析解差分方程模型所謂差分方程就是隨時間變化的離散數(shù)據(jù)前后數(shù)據(jù)的關(guān)系它的解法和常微分方程解法一模一樣通解、特解Z變換馬氏鏈模型定義：系統(tǒng)未來時刻的情況只與現(xiàn)在有關(guān)，而與過去的歷史無直接關(guān)系。特殊轉(zhuǎn)移矩陣：正則陣，吸收鏈應(yīng)用：應(yīng)用馬爾可夫鏈的計算方法進行馬爾可夫分析，主要目的是根據(jù)某些變量現(xiàn)在的情況及其變動趨向，來預(yù)測它在未來某特定區(qū)間可能產(chǎn)生的變動，作為提供某種決策的依據(jù)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型偏微分方程的數(shù)值解各種物理性質(zhì)的定常（即不隨時間變化）過程，都可用橢圓型方程來描述。其最典型、最簡單的形式是泊松(Poisson)方程：帶有穩(wěn)定熱源或內(nèi)部無熱源的穩(wěn)定溫度場的溫度分布，不可壓縮流體的穩(wěn)定無旋流動及靜電場的電勢：熱傳導(dǎo)過程，氣體擴散現(xiàn)象及電磁場的傳播等隨時間變化的非定常物理問題：一維振動與波動問題：現(xiàn)代優(yōu)化算法1、模擬退火算法當搜索最優(yōu)解的迭代過程中，如果新的可行解的目標函數(shù)值大于上一個解的目標函數(shù)值，新的解以一定概率取代上一個解。2、粒子群算法模擬鳥群尋找食物的行為，選定一些可行解（粒子）模擬鳥群。每個粒子以兩個方向合成的速度來更新自己，一個是粒子本身找到的最優(yōu)解方向，一個是整個粒子群目