中考數(shù)學重要考點題型精講精練人教版：專題06 相似三角形（熱考題型）-原卷版

專題05相似三角形判定、性質及其模型【思維導圖】◎考點題型1相似三角形的判定-定義法三個對應角相等，三條對應邊成比例的兩個三角形相似．例．（2022·全國·九年級課時練習）在與’中，有下列條件，如果從中任取兩個條件組成一組，那么能判斷的共有（

）組．①；②；③；④．A． B． C． D．變式1．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，點P在的邊上，若要判定，則下列添加的條件不正確的是（

）A． B．C． D．變式2．（2022·河北石家莊·九年級期末）將兩個完全相同的等腰直角△ABC與△AFG按圖所示的方式放置，那么圖中一定相似（不含全等）的三角形是（）A．△AEC與△ADB B．△ABE與△DAE C．△ABC與△ADE D．△AEC與△ADC變式3．（2023·河北·九年級專題練習）如圖，在中，P、Q分別為AB、AC邊上的點，且滿足．根據(jù)以上信息，嘉嘉和淇淇給出了下列結論：嘉嘉說：連接PQ，則PQ//BC．淇淇說：．對于嘉嘉和淇淇的結論，下列判斷正確的是（

）A．嘉嘉正確，淇淇錯誤 B．嘉嘉錯誤，淇淇正確 C．兩人都正確 D．兩人都錯誤◎考點題型2相似三角形的判定-平行法平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似．例．（2021·河北保定·九年級期末）如圖，點F是矩形ABCD的邊CD上一點，射線BF交AD的延長線于點E，則下列結論錯誤的是（

）A． B． C． D．變式1．（2021·上海市奉賢區(qū)實驗中學九年級期中）在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，聯(lián)結DE，那么下列條件中不能判斷△ADE和△ABC相似的是（）A．DEBC B．∠AED＝∠B C． D．變式2．（2021·四川宜賓·九年級期中）如圖，，，AE、FD分別交BC于點G、H，則圖中的相似三角形共有（

）A．3對 B．4對 C．5對 D．6對變式3．（2021·北京大興·九年級期中）下列條件中，不能判斷△ABC與△DEF相似的是（?）A．∠A=∠D，∠B=∠F B．且∠B=∠DC． D．且∠A=∠D◎考點題型3判定定理1如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似．例．（2019·安徽·安慶市第四中學九年級階段練習）下列條件中能判斷△ABC∽△A′B′C′的是（）A．∠A＝∠B，∠A′＝∠BB．∠A＝∠A′，∠B＝∠CC．∠A＝∠A′，D．∠A＝∠A′，AB＝AC，A′B′＝A′C′變式1．（2022·廣西·靖西市教學研究室九年級期中）如圖，在中，點D、E分別在AB、AC邊上，DE與BC不平行，那么下列條件中，不能判斷∽的是（

）．A． B． C． D．變式2．（2022·河北·石家莊市欒城區(qū)教育局教研室九年級期末）如圖，△ABC中，CE⊥AB，垂足為E，BD⊥AC，垂足為點D，CE與BD交于點F，則圖中相似三角形有幾對（）A．6對 B．5對 C．4對 D．3對變式3．（2021·全國·九年級課時練習）如圖，在中，是的平分線，過點F作，交于點E，交的延長線于點D，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．◎考點題型4判定定理2如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似．例．（2022·河北保定·九年級期末）如圖，，請你再添加一個條件，使得．則下列選項不成立的是（

）A． B． C． D．變式1．（2021·江蘇·九年級專題練習）如圖，四邊形的兩條不等長對角線，相交于點，且將四邊形分成甲、乙、丙、丁四個三角形．若，則（

）A．甲、丙相似，乙、丁相似 B．甲、丙相似，乙、丁不相似C．甲、丙不相似，乙、丁相似 D．甲、丙不相似，乙、丁不相似變式2．（2021·河北承德·九年級期末）如圖，在中，為上一點，若，則（

）A．～ B．～ C．～ D．無法判斷變式3．（2020·廣西賀州·九年級階段練習）如圖，在中，，，垂足為D，，，則CB的長為（

）A． B．4 C．12 D．16◎考點題型5判定定理3如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似．簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似例．（2020·安徽·九年級階段練習）如圖，已知與都是等邊三角形，點在邊上（不與點、重合），與相交于點，下列結論中不一定成立的是（

）A． B． C． D．變式1．（2020·浙江·濱蘭實驗學校九年級階段練習）如圖，四邊形，四邊形，四邊形都是正方形，圖中與相似的三角形為（

）A． B． C． D．變式2．（2021·江蘇·九年級專題練習）在△ABC中，點D、E分別為邊AB、AC的中點，則△ADE與△ABC的周長之比為（）A． B． C． D．變式3．（2021·浙江杭州·九年級階段練習）如圖，在正三角形ABC中，點D、E分別在AC、AB上，且，AE=BE，則有（

）A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD◎考點題型6相似三角形基本圖形--8字型有一組隱含的等角(對頂角)，此時需從已知條件或圖中隱含條件通過證明得另一對角相等INCLUDEPICTURE"D雪晨浙數(shù)108A.TIF"(AB、CD不平行，∠A＝∠C)(AB∥CD)例．（2021·江蘇·九年級專題練習）如圖，為平行四邊形的邊延長線上的一點，連接．交于，交于．求證：．變式1．（2021·重慶·九年級期末）如圖與交于，且．（1）求證：∽．（2）若，，，求的長．變式2．（2021·全國·九年級專題練習）已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，點F在邊AB上，BC2=BF?BA，CF與DE相交于點G．（1）求證：DF?AB=BC?DG；（2）當點E為AC中點時，求證：2DF?EG=AF?DG．變式3．（2013·云南德宏·中考真題）如圖，是一個照相機成像的示意圖．(1)如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍攝的景物高度AB是4.9m，拍攝點離景物有多遠？(2)如果要完整的拍攝高度是2m的景物，拍攝點離景物有4m，像高不變，則相機的焦距應調整為多少？◎考點題型7相似三角形基本圖形--A字型有一個公共角(圖①、圖②)或角有公共部分(圖③，∠DAF＋∠BAD＝∠DAF＋∠EAF)，此時需要找另一對角相等或相等角的兩邊對應成比例例．（2021·遼寧丹東·九年級期中）如圖，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一時刻，動點M從點A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點B勻速運動；同時，動點N從點D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點A勻速運動，運動的時間為ts．（1）求t為何值時，△AMN的面積是△ABD面積的；（2）當以點A，M，N為頂點的三角形與△ABD相似時，求t值．變式1．（2021·江蘇·九年級）在中，，D為上一點，過D作DEBC交于點E，連接．設，求的取值范圍．變式2．（2021·山東·嘉祥縣馬集鎮(zhèn)中學九年級階段練習）中，，，，現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發(fā)，沿線段CB也向點B方向運動，如果點P的速度是4cm/s，點Q的速度是2cm/s，它們同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設運動時間為t秒．（1）求運動時間為多少秒時，P、Q兩點之間的距離為10cm?（2）若的面積為，求關于t的函數(shù)關系式．（3）當t為多少時，以點C，P，Q為頂點的三角形與相似?變式3．（2021·上海市金山初級中學九年級期中）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，點E、點F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．◎考點題型8相似三角形基本圖形--母子型有一個公共角及一個直角(圖①為母子型的特殊形式AC2＝AD·AB仍成立，另CD2＝AD·BD)例．（2022·江蘇南京·九年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．變式1．（2022·廣東·江門市第二中學九年級開學考試）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，∠COB＝2∠PCB．（1）求證：CP是⊙O的切線；（2）若M是弧AB的中點，CM交AB于點N，若AB＝6，求MC?MN的值．變式2．（2021·安徽合肥·九年級期中）中，，，點E為的中點，連接并延長交于點F，且有，過F點作于點H．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求的長．變式3．（2021·安徽滁州·九年級期中）如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．◎考點題型9相似三角形基本圖形--K字型如圖①，∠D＋∠DBA＝∠E＋∠EBC＝∠DBA＋∠EBC＝90°，∴∠EBC＝∠D，∠E＝∠DBA，且一組直角相等，用任意兩組等角即可證得三角形相似例．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）等邊△ABC邊長為6，P為BC上一點，含30°、60°的直角三角板60°角的頂點落在點P上，使三角板繞P點旋轉．(1)如圖1，當P為BC的三等分點，且PE⊥AB時，判斷△EPF的形狀；(2)在（1）問的條件下，F(xiàn)E、PB的延長線交于點G，如圖2，求△EGB的面積；(3)在三角板旋轉過程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如圖3，求PE的長．變式1．（2022·山東菏澤·三模）（1）問題如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當時，求證：．（2）探究若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結論還成立嗎？說明理由．（3）應用如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在BC上，點E在AC上，點F在BC上，且，若，求CD的長．變式2．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點D，點E是直線AC上一動點，連接DE，過點D作FD⊥ED，交直線BC于點F．（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，若m＝n，點E在線段AC上，則＝；（2）數(shù)學思考：①如圖2，若點E在線段AC上，則＝（用含m，n的代數(shù)式表示）；②當點E在直線AC上運動時，①中的結論是否仍然成立？請僅就圖3的情形給出證明；（3）拓展應用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長．變式3．（2021·吉林·長春市綠園區(qū)教師進修學校九年級期末）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結CP，作，PE與邊BC交于點E，當是等腰三角形時，直接寫出AP的長．◎考點題型10相似基本模型（手拉手型）基礎模型：旋轉放縮變換，圖中必有兩對相似三角形.例．（2021·全國·九年級專題練習）在和中，，，與在同一條直線上，點與點重合，，如圖為將繞點順時針旋轉后的圖形，連接，，若，求和的面積．變式1．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，已知點在內，，，，．（1）當時，求證：；變式2．（2022·河南周口·九年級期末）觀察猜想(1)如圖1，在等邊中，點M是邊上任意一點（不含端點B、C），連接，以為邊作等邊，連接，則與的數(shù)量關系是______．(2)類比探究如圖2，在等邊中，點M是延長線上任意一點（不含端點C），（1）中其它條件不變，（1）中結論還成立嗎？請說明理由．(3)拓展延伸如圖3，在等腰中，，點M是邊上任意一點（不含端點B、C），連接，以為邊作等腰，使頂角．連按．試探究與的數(shù)量關系，并說明理由．變式3．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，為等邊三角形，D為AC邊上一點，連接BD，M為BD的中點，連接AM．(1)如圖1，若AB＝2+2，∠ABD＝45°，求的面積；(2)如圖2，過點M作與AC交于點E，與BC的延長線交于點N，求證：AD＝CN；(3)如圖3，在（2）的條件下，將沿AM翻折得，連接B'N，當B'N取得最小值時，直接寫出的值．◎考點題型11相似基本模型（一線三等角型）基礎模型：如圖1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一線三等角）如圖2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一線三等角）如圖3，特別地，當D時BC中點時：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，F(xiàn)D平分∠EFC.例．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在中，點分別在邊上，連接，且．（1）證明：；（2）若，當點D在上運動時（點D不與重合），且是等腰三角形，求此時的長．變式1．（2021·全國·九年級專題練習）已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，點B，C，E都在同一直線上，且△ABC和△DCE在該直線同側．（1）如圖①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，請猜想線段AF與DF之間的數(shù)量關系和位置關系，并證明你的猜想；（2）如圖②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，請直接寫出線段AF與DF之間的數(shù)量關系和位置關系；（3）如圖③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，請直接寫出線段AF與DF之間的數(shù)量關系和位置關系（用含α的式子表示）．變式2．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝8，過BC邊上一點P，作∠DPE＝60°，分別與邊AB，AC相交于點D與點E．（1）在圖中找出與∠EPC始終相等的角，并說明理由；（2）若△PDE為正三角形時，求BD+CE的值；（3）當DE∥BC時，請用BP表示BD，并求出BD的最大值．變式3．（2020·全國·九年級課時練習）如圖，B、C、D在同一直線上，△ABC和△DCE都是等邊三角形，且在直線BD的同側，BE交AD于F，BE交AC于M，AD交CE于N．（1）求證：AD=BE；

（2）求證：△ABF∽△ADB．

◎考點題型12利用相似求坐標例．（2023·江西·九年級專題練習）圖，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點，與軸交于點．(1)求，，的值．(2)是軸上一點，若，求點的坐標．變式1．（2022·湖南常德·一模）如圖，矩形的頂點、分別在軸和軸上，點的坐標為，雙曲線的圖象經(jīng)過BC的中點，且與交于點，連接(1)求的面積(2)若點是邊上一點，且∽，求點坐標．變式2．（2021·陜西榆林·二模）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx（a≠0）過點B（1，3）和點A（4，0），過點B作直線BC∥x軸，交y軸于點C．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)點P是直線BC下方拋物線上一動點，過點P作直線BC的垂線，垂足為D．連接OB，是否存在點P，使得以B，D，P為頂點的三角形與△BOC相似，若存在，求出對應點P的坐標；若不存在，請說明理由．變式3．（2021·全國·九年級專題練習）直線y＝kx+b與反比例函數(shù)（x＞0）的圖象分別交于點A（m，3）和點B（6，n），與坐標軸分別交于點C和點D．（1）求直線AB的解析式；（2）若點P是x軸上一動點，當△COD與△ADP相似時，求點P的坐標．◎考點題型13相似三角形的性質--邊和角相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等例．（2022·河南濮陽·八年級期末）如圖，等邊三角形中，為邊上的一點，為邊上的一點．且，，，則的邊長為（

）A． B． C． D．變式1．（2021·陜西渭南·九年級階段練習）若，與的面積比為，則與的對應邊的比是（

）A． B． C． D．變式2．（2021·江蘇·常州市金壇良常初級中學九年級階段練習）如圖，ABC∽DAC，∠B＝31°，∠D＝117°，則∠BCD的度數(shù)是（

）A．32° B．48° C．64° D．86°變式3．（2022·河南許昌·九年級期末）如圖，點D、E分別在的邊BA、CA的延長線上，且，若，，則（

）A．12 B．18 C．24 D．36◎考點題型14相似三角形的性質--線段的比相似三角形中的重要線段的比等于相似比；相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比.例．（2022·全國·九年級課時練習）如下圖所示，在△ABC中，點D在線段AC上，且△ABC∽△ADB，則下列結論一定正確的是(

)A． B．C． D．變式1．（2020·浙江寧波·九年級期中）如圖，∽，且，則與的相似比為（

）A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．1:2變式2．（2022·甘肅天水·九年級期末）如圖，平行于BC的直線DE把△ABC分成的兩部分面積相等，則為（

）A． B． C． D．變式3．（2021·江蘇·九年級專題練習）已知，且相似比為，則與的對應高之比為（

）A． B． C． D．◎考點題型15似三角形的性質--面積比相似三角形的面積比等于相似比的平方．例．（2021·遼寧大連·九年級期末）如圖，△ABC中，DE∥BC，，則等于（

）A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9變式1．（2022·河北唐山·八年級期末）的面積是，則它的三條中位線所圍成的三角形的面積是（

）A． B． C． D．變式2．（2022·海南省直轄縣級單位·九年級期末）如圖，與位似，、、分別為OA、OB、OC的中點，若面積是5，則的面積為（

）A．10 B．20 C．25 D．50變式3．（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級期末）與的位似比是，已知的面積是3，則的面積是（

）A．3 B．6 C．9 D．12◎考點題型16相似三角形中的動點問題例．（2021·吉林·長春外國語學校八年級階段練習）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，點P從點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度，沿AC邊向終點C運動，點Q從點B出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度，沿AB邊向終點A運動，兩點同時出發(fā)，設運動時間為．(1)求出點Q到AC的距離（用t表示）；(2)設△APQ的面積為y，求出y關于t的函數(shù)解析式；(3)當△APQ與△ABC相似時，直接寫出t值．變式1．（2022·寧夏吳忠·九年級期中）已知△AOB的三邊OA=，OB=6，AB=，以頂點O為原點，OB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示，點P從原點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿y軸正方向運動，設運動的時間為t秒，過點P作PN∥x軸，分別交AO，AB于點M，N，當點M與N重合時，點P停止運動．(1)求點A的坐標，并確定t的取值范圍；(2)求MN的長度(用含t的代數(shù)式表示)；(3)設△AMN的面積為S，寫出S關于t的函數(shù)關系式，并求S的最值．變式2．（2022·陜西寶雞·九年級期末）如圖，在中，，，點從點開始沿邊向點以2cm/s的速度移動，點從點開始沿邊以2cm/s的速度移動．如果點，分別從點，同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘后，以點、、三點為頂點的三角形與相似？變式3．（2021·湖南邵陽·九年級階段練習）如圖，已知，，點、分別是線段、上的動點，點從點出發(fā)，以每秒2個單位的速度向點運動，點從點出發(fā)，以每秒1個單位的速度向點運動，點、中有一個點停止時，另一個點也停止，設運動時間為秒．（1）當為何值時，為直角三角形；（2）當為何值時，是等腰三角形？并求此時點的坐標．◎考點題型17相似三角形中的折疊問題例．（2022·廣東茂名·二模）在矩形ABCD中，，，將矩形折疊，使點A落在點P處，折痕為DE．(1)如圖①，若點P恰好在邊BC上，連接AP，求的值；(2)如圖②，若E是AB的中點，EP的延長線交BC于點F，求BF的長．變式1．（2021·吉林·長春市第五十二中學九年級期中）將按如圖的方式折疊，使點落在邊上，記為點，折痕為EF．，，若以點，F(xiàn)，C為頂點的三角形與相似，求BF的長度．變式2．（2021·吉林·長春市第一零九中學九年級階段練習）（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．（2）如圖2，在三角形紙片ABC中，AC＝BC＝3，AB＝5，將△ABC折疊，使點B