第4章三角形證明 題型解讀1 三角形內(nèi)角和定理及外角定理題型-2020-2021學(xué)年北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊

《三角形證明》題型解讀1：三角形內(nèi)角和定理及外角定理題型【知識梳理】1.三角形內(nèi)角和定理①三角形的三個內(nèi)角的和等于1800。②證明過程---解題思路：把三角形三個內(nèi)角，通過平行線性質(zhì)，轉(zhuǎn)化成一個平角。如圖，過△ABC的頂點A作DE//BC，∵DE//BC，∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，∴∠B+∠BAC+∠C=180°，即三角形的三個內(nèi)角和是180°.③拓展：n邊形內(nèi)角和公式（n-2）×18002.三角形的外角①三角形外角的特征：頂點在三角形的一個頂點上；一條邊是三角形的一邊；另一條邊是三角形另一邊的延長線；如圖2，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6均是△ABC的外角；由于這6個角中存在三組對頂角，所以一般說一個三角形的外角，是指它的三個外角。②三角形的外角和定理：三角形的三個外角和等于360o如圖2，∠1+∠3+∠5=∠2+∠4+∠6=360°；③三角形的外角性質(zhì)：三角形的任意一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，注意：“不相鄰”；如圖2，∠1=∠2=∠ACB+∠ABC、∠3=∠4=∠BAC+∠ACB、∠5=∠6=∠BAC+∠ABC.④三角形的外角大于和它不相鄰的任意一個內(nèi)角，注意：“不相鄰”；⑤拓展：四邊形的外角性質(zhì):如圖，當(dāng)∠A+∠C=180°時∠EDC=∠B【典型例題】例1.已知AB//CD，求證：∠B=∠E+∠D【解析】：這是平行線中三大典型模型的“牛角模型”，未知外角性質(zhì)定理時，我們的證明過程如下：當(dāng)我們學(xué)習(xí)了外角性質(zhì)定理時，證明過程就要簡潔一些了。證明：∵AB//CD（已知），∴∠B=∠1（兩直線平行，同位角相等），∵∠1=∠D+∠E（三角形外角性質(zhì)），∴∠B=∠D+∠E（等量代換）.例2.當(dāng)三角形中一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角β的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”，如果一個“特征三角形”的“特征角”為100°，則這個“特征三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為____.【解析】：定義新運算題型，考查數(shù)學(xué)閱讀理解能力，運用三角形的內(nèi)角和定理即可解答?！窘忸}過程】由題意可得：當(dāng)“特征角”α=100°時，則β=50°，依三角形內(nèi)角和定理，可得出這個“特征三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為180°-100°-50°=30°.例3.在非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD和CE所在的直線相交于點H，求∠BHC的度數(shù).【解析】在初中幾何題中，遇到這兩種情形，則必須首先考慮分類討論：①沒圖的幾何題；②遇到題目涉及到高時；如此題，由于無圖，△ABC可以是銳角三角形，也可以是鈍角三角形，則它們的高可以是界內(nèi)高，也可以是界外高，則∠BHC可以在△ABC的內(nèi)部，也可能在外部，所以首先考慮分類討論，解題過程大致為：先畫圖，再依三角形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)求解?！窘忸}過程】①當(dāng)△ABC為銳角三角形時，如圖1，在△ABD中，∵∠A=45°，∠ADB=90°，∴∠ABD=180°-45°-90°=45°，∴∠BHC=∠ABD+∠BEH=45°+90°=135°；②當(dāng)△ABC為銳角三角形時，如圖2，在△AEC中，∵∠A=45°，∠AEC=90°，∴∠ACE=180°-45°-90°=45°，∴∠DCH=∠ACE=45°，∴∠BHC=180°-∠ADH-∠DCH=180°-45°-90°=45°；綜上所述，∠BHC的度數(shù)為135°或45°.例4.如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).【解析】利用三角形外角性質(zhì)，將∠A、∠B、∠C、∠D、∠E轉(zhuǎn)移到△AFG內(nèi)，再利用三角形內(nèi)角和定理即可解答?！窘忸}過程】由三角形外角性質(zhì)可得：∠AGF=∠B+∠D，∠AFE=∠C+∠E，在△AFG中，∵∠A+∠AFG+∠AGF=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠AFG+∠AGF=180°.例5.如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù).【解析】:利用三角形外角性質(zhì)，將∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F轉(zhuǎn)移到△GMH附近，再利用三角形外角和定理即可解答?！窘忸}過程】由三角形外角性質(zhì)可得：∠AGH=∠A+∠B，∠DMH=∠C+∠D，∠FHG=∠E+∠F，∵∠AGH、∠DMH、∠FHG是△GMH的三外角，∴∠AGH+∠DMH+∠FHG=360°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.例6.已知