第5章生活中的軸對稱 題型解讀4 等邊三角形題型-2020-2021學年北師大版七年級數(shù)學下冊

題型解讀4等邊三角形題型【知識梳理】1.概念：三邊都相等的三角形是等邊三角形，也稱正三角形.2.性質：①等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸；②等邊三角形的三個內角都相等，且每個內角都是60°；③等邊三角形的三個“三線合一”；3.判定：①三邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個角都是60°的三角形是等邊三角形；③有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.【典型例題】例1.在△MNP中,∠P=60°,MN=NP,MQ⊥PN于點Q,延長MN到點G,使NG=NQ,若△MNP的周長為12,MQ=a,則△MGQ的周長為______【解析】由“有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形”可判定△PMN是等邊三邊形，由“三線合一”可知MQ是角平分線，PQ=QN，利用外角定理易證△NQG是等腰三角形，即可得出△QMG中QG、NG的長度，進而得出結論。∵∠P=60°,MN=NP,∴△PMN是等邊三邊形，∴PN=MN=4，∠PMN=∠PNM=60o，∵MQ⊥PN，∴PQ=QN=2，∠QMN=30o，∵NG=NQ=2，∴∠PNM=2∠G，∴∠G=30o，∴MQ=QG=a,∴△MGQ的周長=MQ+MG+MN+NG=6+2a.例2.已知△ABC是等邊三角形,點B,C,D,E在同一直線上,且CG=CD,DF=DE,則∠E=_________度【解析】利用等邊三角形性質、等腰三角形的性質及外角定理可求解.由題可知：△ABC是等邊三角形，△CDG、△DEF是等腰三角形，∴∠ACB=60o，∠CDG=∠CGD，∠E=∠DFE，∴∠ACB=2∠CDG=4∠E，∴∠E=15o.例3.如圖，下列圖形是將正三角形按一定規(guī)律排列，則第5個圖形中所有正三角形的個數(shù)有_______．【解析】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出數(shù)字與圖形之間的聯(lián)系，找出規(guī)律解決問題。特別注意圖形前后的變化規(guī)律：前一個圖形，即成了后一個圖形的三個角上圖形，利用這點可以快速找到規(guī)律。第一個圖形正三角形的個數(shù)為5，第二個圖形正三角形的個數(shù)為5×3+2=17，第三個圖形正三角形的個數(shù)為17×3+2=53，第四個圖形正三角形的個數(shù)為53×3+2=161，第五個圖形正三角形的個數(shù)為161×3+2=485例4．如圖，等邊△ABC邊長為10，P在AB上，Q在BC延長線，CQ＝PA，過點P作PE⊥AC點E，過點P作PF∥BQ，交AC邊于點F，連接PQ交AC于點D，則DE的長為．【分析】先證明△PFD和△QCD全等，推出FD＝CD，再通過證明△APF是等邊三角形和PE⊥AC，推出AE＝EF，即可推出AE+DC＝EF+FD，可得DE＝AC，即可推出DE的長度．【解答】解：∵PF∥BQ，∴∠Q＝∠FPD，∵△ABC是等邊三角形，∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∴△APF是等邊三角形，∴AP＝PF，∵AP＝CQ，∴PF＝CQ，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等邊三角形，∴AE＝EF，∴AE+DC＝EF+FD，∴DE＝AC，∵AC＝10，∴DE＝AC＝5．例5.如圖，AD、BE分別是等邊三角形ABC中BC、AC上的高，M、N分別在AD、BE的延長線上，∠CBM=∠ACN，求證：AM=BN.【解析】考查利用等邊三角形的性質進行三角形全等的判定及性質應用。利用等邊三角形的性質及題目條件，易證明△ABM≌△BCN即可得出結論.在等邊三角形ABC中，AB=BC，∠ABC=∠ACB，∵∠CBM=∠ACN，