原子物理與量子力學課件：力學量用厄米算符表達

原子物理與量子力學§4.1算符及其運算規(guī)則（一）算符算符：只是代表對函數(shù)施加某種運算的符號，是一種數(shù)學語言工具。例如等。量子力學中的力學量在與波函數(shù)的作用中，往往表現(xiàn)為一種運算形式，例如動量與相當，自由粒子體系的能量與相當。于是，用算符表示力學量的假設被人們初步認識。在量子力學中常把它稱為是把算符“作用”到波函數(shù)上,作用的結(jié)果是得到了另外一個波函數(shù).（二）算符的運算規(guī)則

如果量子力學的力學量F在經(jīng)典力學中有對應的力學量，則表示這個力學量的算符,將代入由經(jīng)典表示式，即

如果沒有經(jīng)典力學表達式的量子力學力學量，比如電子的自旋，它的算符由量子力學獨立建立。例如，角動量算符(三)算符運算的基本性質(zhì)定義1：線性算符

由于態(tài)疊加原理，在量子力學中的力學量算符應是線性算符。滿足以下運算規(guī)則的算符稱為線性算符：ψ1、ψ2是任意的兩個波函數(shù)，c1與c2是兩個任意復常數(shù)。定義2：單位算符單位算符

：對任意波函數(shù)運算后保持不變的算符，即其中ψ是任意波函數(shù)。那么，就說算符定義3：兩個算符相等若兩個算符和作用于任意一個波函數(shù)ψ所得的運算結(jié)果相同（即同一個函數(shù)），則稱兩個算符相等。例2：不能說算符與算符相等，因為它們是作用在一個特定的函數(shù)上，而不是作用于任意的函數(shù)上。定義4：算符之和如果把算符作用在任意函數(shù)ψ，所得到的結(jié)果和把算符分別作用在ψ上得到的兩個新函數(shù)之和相等，即稱算符等于與之和。寫作例3：哈密頓算符就是動能算符與勢能算符之和。算符求和滿足交換律與結(jié)合律，當然，線性算符之和仍是線性算符。定義5：算符之積如果把算符作用于任意函數(shù)u

上得到一個新函數(shù)，且再使算符對這個新函數(shù)作用所得的結(jié)果等于另一個算符直接作用在

u

上所得的結(jié)果，即稱算符為算符與的乘積。寫成注意算符之積對波函數(shù)運算的先后次序，不能隨便交換。一般地說算符之積不滿足交換律，即定義6：對易式定義任意兩個算符、的對易式為則稱算符不對易；若若則稱算符對易。類似地，定義兩個算符、的反對易式為若或，稱算符和反對易。下面是幾個常見的對易式滿足的恒等式定義7：逆算符設能夠唯一地解出，即則稱為算符的逆算符。并非所有的算符都存在逆算符。性質(zhì)：若算符存在逆算符，則定義8：波函數(shù)的內(nèi)積“標積”一個量子體系的任意兩個波（態(tài)）函數(shù)與的內(nèi)積定義為其中指對全空間的積分，是積分體積微元。由內(nèi)積的定義式，可以證明式中c1、c2為任意常數(shù)。定義9：轉(zhuǎn)置算符算符的轉(zhuǎn)置算符定義式中與是任意兩個波函數(shù)?；蛘邔懗啥x10：復共軛算符算符的復共軛算符定義為算符的復共軛可以把相應算符中的所有量換成復共軛就行了。例6：在坐標表象中算符的厄米共軛算符定義為定義11：厄米共軛算符實際上，算符的厄米共軛算符等價于共軛轉(zhuǎn)置算符，即證明：于是，有推論4：定義12：厄米算符厄米算符也稱為自共軛算符，滿足以下關(guān)系：由于厄米算符的平均值必是實數(shù)，滿足力學量是可觀測量（也是實數(shù)）的要求，在量子力學中，力學量用厄米算符算符表達。例8：等都是厄米算符證明：動量算符為厄米算符是厄米算符推論5：若是厄米算符，則。推論6：若兩個厄米算符對易，則是厄米算符。例10：定義徑向動量算符證明：證明：§4.2量子力學中的力學量用厄米算符表達(一)量子力學中的力學量用厄米算符表達1測量的平均值與漲落若測得結(jié)果A1的次數(shù)為m1，A2為m2，…，An為mn。設總次數(shù)為M，即M=m1+m2+…+mn，則測量該物理量的平均值為某一測量值Ai的次數(shù)mi與總測量次數(shù)的M之比mi/M稱為Ai的概率，記為Pi。因此上式可用測量概率來表示

當可能值為離散值時:一個物理量的平均值等于物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應的概率求和；當可能值為連續(xù)值時：一個物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應的概率密度求積分。位置平均值量子力學中，粒子處于波函數(shù)為態(tài)，在時刻t，粒子位置在x~x+dx之間的概率正比于，粒子的平均位置如果是歸一化的，則動量平均值對于歸一化波函數(shù)，動量的平均值,是位置的函數(shù)對于給定的波函數(shù)，測量粒子的動量在范圍內(nèi)的概率為，其中可以通過傅里葉變換得到。借助于來計算動量的平均值式中用到傅立葉逆變換及的算符運算規(guī)則。這樣，就得到在中計算動量的公式平均值和漲落量子力學中計算力學量（相應的算符為）在態(tài)下的平均值公式為某一物理量的測量結(jié)果則圍繞平均值有漲落（偏差）。定義漲落為記稱為測量結(jié)果的不確定度例1：求一維無限深勢阱中運動的粒子基態(tài)平均動量厄米算符的性質(zhì)厄米算符及測量平均值的定義，證明厄米算符兩個重要定理。定理：體系的任何狀態(tài)下，其厄米算符的平均值必為實數(shù)。

證明：由厄米算符的定義，在任意狀態(tài)下，厄米算符的平均值為則平均值必為實數(shù)。逆定理：在任何狀態(tài)下，平均值均為實數(shù)的算符必為厄米算符。推論設為厄米算符，則在任意態(tài)下，量子力學中力學量一定是線性厄米算符量子力學中的力學量都用算符來表示，力學量的平均值是由力學量算符和相應狀態(tài)決定，定義為實驗上可觀測的力學量，要求在任何狀態(tài)下平均值都是實數(shù)。根據(jù)厄米算符的性質(zhì)定理及其逆定理知道，只有厄米算符能滿足這個要求。而且量子力學狀態(tài)波函數(shù)滿足態(tài)疊加原理。(二)厄米算符的本征值與本征函數(shù)體系只有處于某些特殊的狀態(tài)，測量力學量A

所得的結(jié)果才是完全確定的，即漲落這種狀態(tài)稱為力學量A

的本征態(tài)。即這個方程是算符的本征方程本征態(tài)下，厄米算符與本征函數(shù)性質(zhì)定理1

厄米算符的本征值必為實數(shù)。證明：假定體系處于本征態(tài)，則厄米算符在任何狀態(tài)下的平均值必為實數(shù)，所以An也必為實數(shù)。定理2

對于一個厄米算符，屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交。即兩個波函數(shù)彼此正交。簡并態(tài)問題

簡并態(tài)：在求解量子力學體系的本征值問題時，力學量的同一個本征值有多個不同的本征態(tài)（波函數(shù)），體系處于這樣的狀態(tài)稱為簡并態(tài)。設力學量A的本征方程為即屬于本征值的本征態(tài)有個，稱本征值為重簡并。量子力學體系當出現(xiàn)簡并時，簡并態(tài)不一定彼此正交。通過適當線性組合，使之彼此正交。令此即個波函數(shù)的線性疊加構(gòu)成的波函數(shù)。選擇組合系數(shù)，使具有正交性，即總可以找到一組，使上式的正交性條件滿足?！?.3不確定度關(guān)系（一）量子力學的基本對易式與角動量的對易式

在量子力學中，同時涉及幾個力學量時，如何取值？在經(jīng)典力學中，兩個或者多個力學量永遠可以同時有確定值。在量子力學中，當體系處于任意可能態(tài)時，算符表示的力學量A沒有確定值；如果是不同算符表示的不同力學量，一般情況下就更不能同時有確定值，只能在特殊情況下才能同時有確定值。不同力學量能否同時有確定值依賴于它們各自的算符及其相互關(guān)系。1.量子力學的基本對易式下面以第一個式子為例證明，設ψ為任意波函數(shù)則由ψ的任意性得以上對易式概括為2.角動量對易式角動量算符在直角坐標系下運用算符運算角動量分量與坐標分量之間的對易關(guān)系記憶方法：從左至右以依次循環(huán)指標為正，任何一個指標錯位即為負，相同指標則為零。角動量分量之間的對易關(guān)系證明按照算符的行列式展開規(guī)則經(jīng)典物理中自己與自己差乘一定等于零。而在量子力學中角動量與角動量差乘可以不等于0.這主要是因為角動量在量子力學總不同于經(jīng)典力學，其根源是本征值為量子化的。角動量平方算符與角動量分量算符的對易關(guān)系角動量平方算符為可以證明(二)不確定度關(guān)系不確定度關(guān)系的物理表述及物理意義指量子力學體系中同時觀測兩個力學量（如A，B），得到的測量結(jié)果的不確定度所滿足的關(guān)系，即若這兩個力學量對應的算符彼此對易，則它們存在共同的本征態(tài)，在該本征態(tài)下的測量值就是相應的本征值；否則，它們沒有共同本征態(tài)，同時測量時的測量值滿足上述不確定度關(guān)系，其本質(zhì)是微觀粒子波粒二象性的表現(xiàn)。不確定度關(guān)系推導若算符和不對易時，常記為是一個力學量算符或普通的數(shù)。首先定義注意，仍為厄米算符，若巧妙設計積分利用的厄米性，可推出最后得出不確定關(guān)系

記為兩個力學量不對易時，導致兩力學量不能同時有確定,或者說，它們不能有共同本征函數(shù)。例如所以可見，若動量確定，；則，即位置完全不確定。試想，動量為的自由粒子以波長的狀態(tài)（平面波）彌散于空間時，你能說出粒子的確定位置嗎？反之，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，坐標本征函數(shù)可寫為即位于點r的波（粒子）是許多不同波長（動量）的平面波的疊加，你能說出該波的波長（粒子的動量）是多少嗎？總之，不確定關(guān)系所揭示的是量子力學規(guī)律的特點，是粒子具有波動性的必然結(jié)果。應用不確定關(guān)系估算一些力學量的不確定范圍可參見教材。共同本征態(tài)兩力學量同時有確定值的條件體系處于任意狀態(tài)ψ(x)時，力學量

A

一般沒有確定值。如果力學量A

有確定值，ψ(x)必為

A的本征態(tài)，即如果有另一個力學量B

在ψ

態(tài)中也有確定值，則ψ

一定也是B

的