人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 25.4 用列舉法求概率及頻率估計(jì)概率（知識(shí)講解）

專題25.4用列舉法求概率及頻率估計(jì)概率（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】通過具體情境了解概率的意義，體會(huì)概率是描述不確定現(xiàn)象的規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，理解概率的取值范圍的意義，能夠運(yùn)用列舉法（包括列表、畫樹形圖）計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率；能夠通過實(shí)驗(yàn)，獲得事件發(fā)生的頻率；利用穩(wěn)定后的頻率值來估計(jì)概率的大小，理解頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、古典概型滿足下列兩個(gè)特點(diǎn)的概率問題稱為古典概型.(1)一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的；(2)一次試驗(yàn)中，各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等的.古典概型可以從事件所包含的各種可能的結(jié)果在全部可能的試驗(yàn)結(jié)果中所占的比例分析事件的概率.特別說明：如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=.要點(diǎn)二、用列舉法求概率常用的列舉法有兩種：列表法和樹形圖法.1.列表法：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.特別說明：(1)列表法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)，求概率的問題；(2)列表法適用于涉及兩步試驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率.2.樹形圖：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多個(gè)因素時(shí)，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖.樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.特別說明：(1)樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)，求概率的問題；(2)在用列表法或樹形圖法求可能事件的概率時(shí)，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同.要點(diǎn)三、利用頻率估計(jì)概率當(dāng)試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個(gè)，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般用統(tǒng)計(jì)頻率的方法來估計(jì)概率.特別說明：用試驗(yàn)去估計(jì)隨機(jī)事件發(fā)生的概率應(yīng)盡可能多地增加試驗(yàn)次數(shù)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，結(jié)果將較為精確.【典型例題】類型一、用列舉法求概率1．小亮和小芳都想?yún)⒓訉W(xué)校社團(tuán)組織的暑假實(shí)踐活動(dòng)，但只有一個(gè)名額，小亮提議用如下的辦法決定誰去參加活動(dòng)：將一只轉(zhuǎn)盤九等份，分別標(biāo)上1至9九個(gè)數(shù)字，隨意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，若轉(zhuǎn)到“2的倍數(shù)”小芳去參加活動(dòng)；若轉(zhuǎn)到“不是2的倍數(shù)”，小亮去參加活動(dòng)．轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)到2的倍數(shù)的概率是多少?你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)到2的倍數(shù)的概率為(2)游戲不公平，理由見分析【分析】利用概率公式計(jì)算出小亮和小芳去參加活動(dòng)的概率，然后比較判斷即可．解：（1）共有9種等可能的結(jié)果，其中2的倍數(shù)有2，4，6，8，共4種可能，不是2的倍數(shù)有1，3，5，7，9共5種可能，∴轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)到2的倍數(shù)的概率為，（2）∵轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)到2的倍數(shù)的概率為，轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)到不是2的倍數(shù)的概率為：；∴可知小芳去的概率為，小亮去的概率為；∴游戲不公平．【點(diǎn)撥】本題考查了游戲的公平性，判斷游戲公平性需要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．舉一反三：【變式1】從長(zhǎng)為9，6，5，4的四根木條中任取三根．(1)請(qǐng)直接寫出不同的取法有幾種？分別列舉出來．(2)求能組成三角形的概率．【答案】(1)4種，見分析(2)【分析】（1）根據(jù)枚舉法，得到9、6、5；9、6、4；9、5、4；6、5、4共四種．（2）判斷構(gòu)成三角形的種數(shù)，用它除以總的可能性種數(shù)即可．解：（1）根據(jù)題意，得一共有4種等可能性，具體如下：9、6、5；9、6、4；9、5、4；6、5、4共四種．（2）能構(gòu)成三角形的有9、6、5；9、6、4；6、5、4共三種，故能組成三角形的概率是．【點(diǎn)撥】本題考查了概率的計(jì)算，熟練掌握枚舉法計(jì)算概率是解題的關(guān)鍵．【變式2】某校為了加強(qiáng)初一同學(xué)們的安全意識(shí)，隨機(jī)抽取部分同學(xué)進(jìn)行了一次安全知識(shí)測(cè)試，按照測(cè)試成績(jī)從高到低分為優(yōu)秀、良好、合格和不合格四個(gè)等級(jí)，繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．參加測(cè)試的學(xué)生有______人，等級(jí)為合格的學(xué)生比例為______；該年級(jí)有800名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)該年級(jí)安全意識(shí)較強(qiáng)（測(cè)試成績(jī)能達(dá)到良好及以上等級(jí)）的學(xué)生有______人；成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的甲、乙兩同學(xué)被選中參加安全宣講活動(dòng)，該活動(dòng)隨機(jī)分為，組．求甲、乙兩人恰好分在同一組的概率．【答案】(1)40；25%(2)560(3)【分析】（1）用等級(jí)為良好的學(xué)生人數(shù)除以其所占百分比即可求出參加測(cè)試的學(xué)生人數(shù)；用參加測(cè)試的的學(xué)生人數(shù)減去等級(jí)為優(yōu)秀，良好和不合格的人數(shù)求出等級(jí)為合格的人數(shù)，再除以參加測(cè)試的人數(shù)即可求出等級(jí)為合格的學(xué)生比例．（2）先求出安全意識(shí)較強(qiáng)的學(xué)生所占百分比，再乘以該年級(jí)學(xué)生人數(shù)即可．（3）根據(jù)題意列舉出甲、乙兩人所有可能的分組情況，再根據(jù)概率公式求解即可．（1）解：16÷40%=40（人）；40-12-16-2=10（人），10÷40=25%．故答案為：40；25%．（2）解：（12+16）÷40=70%，70%×800=560（人）．故答案為：560．（3）解：第一種情況，甲、乙都在A組；第二種情況，甲在A組，乙在B組；第三種情況，甲在B組，乙在A組；第四種情況，甲、乙都在B組．由列舉情況可知共有4種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人恰好在同一組的結(jié)果有2種．所以甲、乙兩人恰好分在同一組的概率為．答：甲、乙兩人恰好分在同一組的概率為．【點(diǎn)撥】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖信息關(guān)聯(lián)，用樣本估計(jì)總體，列舉法求概率，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．類型二、用列表法和樹狀圖求概率2.中國(guó)共產(chǎn)黨的助手和后備軍——中國(guó)共青團(tuán)，擔(dān)負(fù)著為中國(guó)特色社會(huì)主義事業(yè)培養(yǎng)合格建設(shè)者和可靠接班人的根本任務(wù).成立一百周年之際，各中學(xué)持續(xù)開展了A：青年大學(xué)習(xí)；B：背年學(xué)黨史；C：中國(guó)夢(mèng)宣傳教育；D：社會(huì)主義核心價(jià)值觀培育踐行等一系列活動(dòng)，學(xué)生可以任選一項(xiàng)參加.為了解參與情況，進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，根據(jù)收集的數(shù)據(jù)繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：(1)在這次調(diào)查中，一共抽取了____________名學(xué)生；(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(3)若該校共有學(xué)生1280名，請(qǐng)估計(jì)參加B項(xiàng)活動(dòng)的學(xué)生數(shù)；(4)小杰和小慧參加了上述活動(dòng)，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求他們參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率.【答案】(1)200；(2)見分析；(3)估計(jì)參加B項(xiàng)活動(dòng)的學(xué)生數(shù)有512名；(4)畫樹狀圖見分析，他們參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為．【分析】（1）根據(jù)D項(xiàng)活動(dòng)所占圓心角度數(shù)和D項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)計(jì)算即可；（2）根據(jù)總?cè)藬?shù)求出參加C項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)，進(jìn)而可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）用該?？倢W(xué)生人數(shù)乘以抽查的學(xué)生中參加B項(xiàng)活動(dòng)所占的比例即可；（4）畫出樹狀圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中他們參加同一項(xiàng)活動(dòng)的情況數(shù)有4種，然后根據(jù)概率公式計(jì)算即可．（1）解：（名），即在這次調(diào)查中，一共抽取了200名學(xué)生，故答案為：200；（2）參加C項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)為：200－20－80－40＝60（名），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖：（3）（名），答：估計(jì)參加B項(xiàng)活動(dòng)的學(xué)生數(shù)有512名；（4）畫樹狀圖如圖：由樹狀圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中他們參加同一項(xiàng)活動(dòng)的情況數(shù)有4種，所以他們參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為．【點(diǎn)撥】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，列表法或樹狀圖法求概率，能夠從不同的統(tǒng)計(jì)圖中獲取有用信息是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，將下列3張撲克牌洗勻后數(shù)字朝下放在桌面上．從中隨機(jī)抽取1張，抽得撲克牌上的數(shù)字為3的概率為；從中隨機(jī)抽取2張，用列表或畫樹狀圖的方法，求抽得2張撲克牌的數(shù)字不同的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）列表或畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中抽到2張撲克牌的數(shù)字不同的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．（1）解：根據(jù)題意，3張撲克牌中，數(shù)字為2的撲克牌有一張，數(shù)字為3的撲克牌有兩張，從中隨機(jī)抽取1張，抽得撲克牌上的數(shù)字為3的概率為，故答案為：；（2）解：畫樹狀圖如下：如圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中抽到2張撲克牌的數(shù)字不同的結(jié)果有4種，抽得2張撲克牌的數(shù)字不同的概率為．【點(diǎn)撥】本題考查用列表或畫樹狀圖求概率，列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件，解題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確利用列表法或畫樹狀圖法找出總情況數(shù)及所求情況數(shù)．【變式2】2022年4月15日是第七個(gè)全民國(guó)家安全教育日，某校七、八年級(jí)舉行了一次國(guó)家安全知識(shí)競(jìng)賽，經(jīng)過評(píng)比后，七年級(jí)的兩名學(xué)生（用，表示）和八年級(jí)的兩名學(xué)生（用，表示）獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．(1)從獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名分享經(jīng)驗(yàn)，恰好抽到七年級(jí)學(xué)生的概率是_________．(2)從獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名分享經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法，求抽取的兩名學(xué)生恰好一名來自七年級(jí)、一名來自八年級(jí)的概率．【答案】(1)；(2)作圖見分析，．【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．（1）從獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名分享經(jīng)驗(yàn)，恰好抽到七年級(jí)學(xué)生的概率是，故答案為：；（2）樹狀圖如下：由表知，共有12種等可能結(jié)果，其中抽取的兩名學(xué)生恰好一名來自七年級(jí)、一名來自八年級(jí)的有8種結(jié)果，所以抽取的兩名學(xué)生恰好一名來自七年級(jí)、一名來自八年級(jí)的概率為．【點(diǎn)撥】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．類型三、用頻率估計(jì)概率3.“網(wǎng)紅”長(zhǎng)沙入選2021年“五一”假期熱門旅游城市．本市某景點(diǎn)為吸引游客，設(shè)置了一種游戲，其規(guī)則如下：凡參與游戲的游客從一個(gè)裝有12個(gè)紅球和若干個(gè)白球（每個(gè)球除顏色外，其他都相同）的不透明紙箱中，隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸到紅球就可免費(fèi)得到一個(gè)景點(diǎn)吉祥物．據(jù)統(tǒng)計(jì)參與這種游戲的游客共有60000人，景點(diǎn)一共為參與該游戲的游客免費(fèi)發(fā)放了景點(diǎn)吉祥物15000個(gè)．（1）求參與該游戲可免費(fèi)得到景點(diǎn)吉祥物的頻率；（2）請(qǐng)你估計(jì)紙箱中白球的數(shù)量接近多少？【答案】（1）；（2）紙箱中白球的數(shù)量接近36個(gè)．【分析】（1）利用免費(fèi)發(fā)放的景點(diǎn)吉祥物數(shù)量除以參與這種游戲的游客人數(shù)即可得；（2）設(shè)紙箱中白球的數(shù)量為個(gè)，先利用頻率估計(jì)概率可得隨機(jī)摸出一個(gè)球是紅球的概率，再利用概率公式列出方程，解方程即可得．解：（1）由題意得：，答：參與該游戲可免費(fèi)得到景點(diǎn)吉祥物的頻率為；（2）設(shè)紙箱中白球的數(shù)量為個(gè)，由（1）可知，隨機(jī)摸出一個(gè)球是紅球的概率約為，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的解，且符合題意，答：紙箱中白球的數(shù)量接近36個(gè)．【點(diǎn)撥】本題考查了利用頻率估計(jì)概率、已知概率求數(shù)量，熟練掌握概率公式是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】國(guó)務(wù)院教育督導(dǎo)委員會(huì)辦公室印發(fā)的《關(guān)于組織責(zé)任督學(xué)進(jìn)行“五項(xiàng)管理”督導(dǎo)的通知》指出，要加強(qiáng)中小學(xué)生作業(yè)、睡眠、手機(jī)、讀物、體質(zhì)管理．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)成員采用隨機(jī)抽樣的方法，抽取了八年級(jí)部分學(xué)生，對(duì)他們一周內(nèi)平均每天的睡眠時(shí)間（單位：）進(jìn)行了調(diào)查，將數(shù)據(jù)整理后得到下列不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：組別睡眠時(shí)間分組頻數(shù)頻率40.0880.1610210.420.14請(qǐng)根據(jù)圖表信息回答下列問題：（1）頻數(shù)分布表中，________，________；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，組所在扇形的圓心角的度數(shù)是________；（3）請(qǐng)估算該校600名八年級(jí)學(xué)生中睡眠不足7小時(shí)的人數(shù)；（4）研究表明，初中生每天睡眠時(shí)長(zhǎng)低于7小時(shí)，會(huì)嚴(yán)重影響學(xué)習(xí)效率．請(qǐng)你根據(jù)以上調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果，向?qū)W校提出一條合理化的建議．【答案】（1）0.2,7；（2）；（3）144人；（4）建議學(xué)校盡量讓學(xué)生在學(xué)校完成作業(yè)，課后少布置作業(yè)．【分析】（1）按照頻率=進(jìn)行求解，根據(jù)組別的頻數(shù)和頻率即可求得本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再按照公式頻率=進(jìn)行求解，即可得到，的值；（2）根據(jù)（1）中所求得的的值，即可得到其在扇形中的百分比，此題得解；（3）根據(jù)頻率估計(jì)概率，即可計(jì)算出該校600名八年級(jí)學(xué)生中睡眠不足7小時(shí)的人數(shù)；（4）根據(jù)（3）中結(jié)果，即可知道該學(xué)校每天睡眠時(shí)長(zhǎng)低于7小時(shí)的人數(shù)，根據(jù)實(shí)際情況提出建議．解：（1）根據(jù)組別，本次調(diào)查的總體數(shù)量=，∴組別的頻率=，∴組別的頻數(shù)=頻率×總體數(shù)量，∴，；（2）∵（1）中求得的值為0.2，∴其在扇形中的度數(shù)；（3）組別和的頻率和為：，∴八年級(jí)學(xué)生中睡眠不足7小時(shí)的人數(shù)（人）；（4）根據(jù)（3）中求得的該學(xué)校每天睡眠時(shí)長(zhǎng)低于7小時(shí)的人數(shù)，建議學(xué)校盡量讓學(xué)生在學(xué)校完成作業(yè)，課后少布置作業(yè)．【點(diǎn)撥】本題主要考查了用頻率估計(jì)概率，解題的關(guān)鍵是掌握頻率=，解答本題的關(guān)鍵是掌握頻率、頻數(shù)和總體數(shù)量的關(guān)系．【變式2】一個(gè)不透明的箱子里裝有3個(gè)紅色小球和若干個(gè)白色小球，每個(gè)小球除顏色外其他完全相同，每次把箱子里的小球搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下顏色后再放回箱子里，通過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅色小球的頻率穩(wěn)定于0.75左右．（1）請(qǐng)你估計(jì)箱子里白色小球的個(gè)數(shù)；（2）現(xiàn)從該箱子里摸出1個(gè)小球，記下顏色后放回箱子里，搖勻后，再摸出1個(gè)小球，求兩次摸出的小球顏色恰好不同的概率（用畫樹狀圖或列表的方法）．【答案】（1）1個(gè)；（2）【分析】（1）先利用頻率估計(jì)概率，得到摸到紅球的概率為0.75，再利用概率公式列方程，解方程可得答案；（2）利用列表或畫樹狀圖的方法得到所有的等可能的結(jié)果數(shù)，得到符合條件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計(jì)算即可得到答案．解：（1）∵通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.75左右，∴估計(jì)摸到紅球的概率為0.75，設(shè)白球有個(gè)，依題意得解得，．經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，且符合題意，所以箱子里可