基本不等式學案

根本不等式導學案目標：〔1〕掌握根本不等式〔2〕能運用根本不等式求最值問題。過程：一、引入：圖一是在北京召開的第24屆數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖〞設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，我們把“風車〞造型抽象成圖二圖1圖2思考1：這個“風車〞中含有哪些的幾何圖形？他們的面積有什么關(guān)系呢？思考2：假設(shè)設(shè)，問題1、正方形ABCD的面積可用、表示為=________________。問題2、四個全等的直角三角形的面積之和可用、表示為=____________。問題3、與有什么樣的大小關(guān)系？用、表示出來____________________________________________________________________________問題4、如圖3，當其中直角三角形變成等腰直角三角形時，與是什么關(guān)系？此時與是什么關(guān)系？問題5、總結(jié)一下問題3與問題4.歸納得出關(guān)于、的不等式。這里、都為正數(shù)，將其推廣到一切實數(shù)后是否成立，并證明.圖3________________________________________________________〔重要不等式〕證明：問題6、假設(shè)果，我們用、分別代替上面不等關(guān)系中的、，可得到怎樣的結(jié)論？能否證明他___________________________________________________________________〔根本不等式〕〔注1：叫做a與b的幾何平均數(shù)，叫做a與b的算術(shù)平均數(shù)〕證明：二、合作探究如圖,AB是圓的直徑，Q是AB上任一點，AC=a,BC=b,過點C作垂直于AB的弦DE，連A當AD,BD。(1)那么AB用、表示AB=.〔2〕是否相似，CD=那么DE=2CD=.〔3〕圓的直徑AB與弦長DE有何大小關(guān)系，用、表示出來：你能從這里得到根本不等式的幾何解釋嗎？根本不等式可變形為；三、分組討論：〔1〕時，，當且僅當=時等號成立.〔2〕時，那么的最小值是，此時.〔3〕假設(shè)，那么.此命題是否正確.從這里可看出，假設(shè)兩正數(shù)乘積為定值時，兩數(shù)時，和有最小值。(4)假設(shè)正數(shù)滿足,求的最大值，此時分別為多少？(5)當時，求的最大值，求此時的值.〔6〕當時，求的最大值，求此時的值.從這里可看出，假設(shè)兩正數(shù)之和為定值，兩數(shù)時，乘積有最小值.四、小結(jié)：1.兩個不等式〔1〕，那么〔當且僅當a=b時，等號成立〕〔2〕，那么〔當且僅當a=b時，等號成立〕注意：1.兩公式條件，前者要求a,b為實數(shù)；后者要求a,b為正數(shù)。2.公式的正向、逆