基本初等函數(shù)復(fù)習(xí)資料老師版

必修1第二章根本初等函數(shù)(Ⅰ)〖2.1〗指數(shù)函數(shù)【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算〔1〕根式的概念①如果，且，那么叫做的次方根．當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，的次方根用符號(hào)表示；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的正的次方根用符號(hào)表示，負(fù)的次方根用符號(hào)表示；0的次方根是0；負(fù)數(shù)沒有次方根．②式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．③根式的性質(zhì)：；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．〔2〕分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：且．0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0．②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：且．0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)．〔3〕分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①②③第1講§2.1.1指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解有理指數(shù)冪的含義，通過具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，掌握有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算.¤知識(shí)要點(diǎn)：1.假設(shè)，那么x叫做a的n次方根，記為，其中n>1，且.n次方根具有如下性質(zhì)：〔1〕在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的奇次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)；正數(shù)的偶次方根是兩個(gè)絕對(duì)值相等、符號(hào)相反的數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次方根沒有意義；零的任何次方根都是零.〔2〕n次方根〔〕有如下恒等式：；；，〔a0〕.2.規(guī)定正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：〔〕；.¤例題精講：【例1】求以下各式的值：〔1〕〔〕；〔2〕.解：〔1〕當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.〔2〕.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【例2】，求的值. 解：.【例3】化簡(jiǎn)：〔1〕；〔2〕〔a＞0，b＞0〕；〔3〕.解：〔1〕原式=.〔2〕原式====.〔3〕原式=.點(diǎn)評(píng)：根式化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪時(shí)，切記不能混淆，注意將根指數(shù)化為分母，冪指數(shù)化為分子，根號(hào)的嵌套，化為冪的冪.正確轉(zhuǎn)化和運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)，是復(fù)雜根式化簡(jiǎn)的關(guān)鍵.【例4】化簡(jiǎn)與求值：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕原式====4.〔2〕原式===.點(diǎn)評(píng)：形如的雙重根式，當(dāng)是一個(gè)平方數(shù)時(shí)，那么能通過配方法去掉雙重根號(hào)，這也是雙重根號(hào)能否開方的判別技巧.而分母有理化中，常常用到的是平方差公式，第2小題也表達(dá)了一種消去法的思想.第〔1〕小題還可用平方法，即先算得原式的平方，再開方而得.【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)〔4〕指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義0101函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)0101圖象定義域值域過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，．奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對(duì) 圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，越大圖象越低．第2講§2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)〔一〕¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖像，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).¤知識(shí)要點(diǎn)：1.定義：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽.2.以函數(shù)與的圖象為例，觀察這一對(duì)函數(shù)的圖象，總結(jié)如下性質(zhì)：定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，，即圖象過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在R上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在R上是增函數(shù).¤例題精講：【例1】求以下函數(shù)的定義域：〔1〕；〔2〕；〔3〕.解：〔1〕要使有意義，其中自變量x需滿足，即.∴其定義域?yàn)?〔2〕要使有意義，其中自變量x需滿足，即.∴其定義域?yàn)?〔3〕要使有意義，其中自變量x需滿足，即.∴其定義域?yàn)?【例2】求以下函數(shù)的值域：〔1〕；〔2〕解：〔1〕觀察易知，那么有.∴原函數(shù)的值域?yàn)?〔2〕.令，易知.那么.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，由其對(duì)稱軸觀察得到在上為增函數(shù)，所以.∴原函數(shù)的值域?yàn)?【例3】〔05年福建卷.理5文6〕函數(shù)的圖象如圖，其中a、b為常數(shù)，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔〕.A． B．C． D．解：從曲線的變化趨勢(shì)，可以得到函數(shù)為減函數(shù)，從而0<a<1；從曲線位置看，是由函數(shù)的圖象向左平移|-b|個(gè)單位而得，所以-b>0，即b<0.所以選D.點(diǎn)評(píng)：觀察圖象變化趨勢(shì)，得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得到參數(shù)a的范圍.根據(jù)所給函數(shù)式的平移變換規(guī)律，得到參數(shù)b的范圍.也可以取x=1時(shí)的特殊點(diǎn)，得到，從而b<0.【例4】函數(shù).〔1〕求該函數(shù)的圖象恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)；〔2〕指出該函數(shù)的單調(diào)性.解：〔1〕當(dāng)，即時(shí)，.所以，該函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn).〔2〕∵是減函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，在R上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在R上是減函數(shù).點(diǎn)評(píng)：底數(shù)兩種情況的辨析，實(shí)質(zhì)就是分類討論思想的運(yùn)用.而含參指數(shù)型函數(shù)的研究，要求正確處理與參數(shù)相關(guān)的變與不變.第3講§2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)〔二〕¤知識(shí)要點(diǎn)：以函數(shù)與的圖象為例，得出這以下結(jié)論：〔1〕函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.〔2〕指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)，圖象由下至上，底數(shù)由下到大.¤例題精講：【例1】按從小到大的順序排列以下各數(shù)：，，，.解：構(gòu)造四個(gè)指數(shù)函數(shù)，分別為，，，，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)，圖象由下至上，依次是，，，.如右圖所示.由于，所以從小到大依次排列是：，，，.點(diǎn)評(píng)：利用指數(shù)函數(shù)圖象的分步規(guī)律，巧妙地解決了同指數(shù)的冪的大小比擬問題.當(dāng)然，我們?cè)诤竺娴膶W(xué)習(xí)中，可以直接利用冪函數(shù)的單調(diào)性來比擬此類大小.【例2】.〔1〕討論的奇偶性；〔2〕討論的單調(diào)性.解：〔1〕的定義域?yàn)镽.∵.∴為奇函數(shù).〔2〕設(shè)任意，且，那么.由于，從而，即.∴，即.∴為增函數(shù).點(diǎn)評(píng)：在這里，奇偶性與單調(diào)性的判別，都是直接利用知識(shí)的定義來解決.需要我們理解兩個(gè)定義，掌握其運(yùn)用的根本模式，并能熟練的進(jìn)行代數(shù)變形，得到理想中的結(jié)果.【例3】求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕設(shè).由知，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).根據(jù)的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，y關(guān)于u為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，y關(guān)于u為減函數(shù).∴當(dāng)時(shí)，原函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，原函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.〔2〕函數(shù)的定義域?yàn)?設(shè).易知為減函數(shù).而根據(jù)的圖象可以得到，在區(qū)間與上，y關(guān)于u均為減函數(shù).∴在上，原函數(shù)為增函數(shù)；在上，原函數(shù)也為增函數(shù).點(diǎn)評(píng)：研究形如的函數(shù)的單調(diào)性，可以有如下結(jié)論：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性與的單調(diào)性相同；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性與的單調(diào)性相反.而對(duì)于形如的函數(shù)單調(diào)性的研究，也需結(jié)合的單調(diào)性及的單調(diào)性進(jìn)行研究.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性研究，遵循一般步驟和結(jié)論，即：分別求出與兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，再按口訣“同增異減〞得出復(fù)合后的單調(diào)性，即兩個(gè)函數(shù)同為增函數(shù)或者同為減函數(shù)，那么復(fù)合后結(jié)果為增函數(shù)；假設(shè)兩個(gè)函數(shù)一增一減，那么復(fù)合后結(jié)果為減函數(shù).為何有“同增異減〞？我們可以抓住“x的變化→的變化→的變化〞這樣一條思路進(jìn)行分析.【2.2.1】對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算〔1〕對(duì)數(shù)的定義①假設(shè)，那么叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù)．②負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)．③對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：．〔2〕幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式，，．〔3〕常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)常用對(duì)數(shù)：，即；自然對(duì)數(shù)：，即〔其中…〕．〔4〕對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果，那么①加法：②減法：③數(shù)乘：④⑤⑥換底公式：第4講§2.2.1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算〔一〕¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解對(duì)數(shù)的概念；能夠說明對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系；掌握對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化，并能運(yùn)用指對(duì)互化關(guān)系研究一些問題.¤知識(shí)要點(diǎn)：1.定般地，如果，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)〔logarithm〕.記作，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)2.我們通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)〔commonlogarithm〕，并把常用對(duì)數(shù)簡(jiǎn)記為lgN……為底的對(duì)數(shù)，以e為底的對(duì)數(shù)叫自然對(duì)數(shù)，并把自然對(duì)數(shù)簡(jiǎn)記作lnN3.根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，得到對(duì)數(shù)與指數(shù)間的互化關(guān)系：當(dāng)時(shí)，.4.負(fù)數(shù)與零沒有對(duì)數(shù)；，¤例題精講：【例1】將以下指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕ln100=4.606.解：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕.【例2】計(jì)算以下各式的值：〔1〕；〔2〕；〔3〕.解：〔1〕設(shè)，那么，即，解得.所以，.〔2〕設(shè)，那么，即，解得.所以，.〔3〕設(shè)，那么，即，解得.所以，.【例3】求證：〔1〕；〔2〕.證明：〔1〕設(shè)，那么，解得.所以.〔2〕設(shè)，，那么，.因?yàn)?，那?所以，.點(diǎn)評(píng)：對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)是對(duì)數(shù)運(yùn)算的靈魂，其推導(dǎo)以對(duì)數(shù)定義得到的指對(duì)互化關(guān)系為橋梁，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)而得到.我們需熟知各種運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo).【例4】試推導(dǎo)出換底公式：〔，且；，且；〕.證明：設(shè)，，，那么，，.從而，即.由于，那么.所以，.點(diǎn)評(píng)：換底公式是解決對(duì)數(shù)運(yùn)算中底數(shù)不相同時(shí)的核心工具.其推導(dǎo)也密切聯(lián)系指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，牢牢扣住指對(duì)互化關(guān)系.第5講§2.2.1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算〔二〕¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過閱讀材料，了解對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用；理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；理解推導(dǎo)這些運(yùn)算性質(zhì)的依據(jù)和過程；能較熟練地運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)解決問題.¤知識(shí)要點(diǎn)：1.對(duì)數(shù)的運(yùn)算法那么：，，，其中，.三條法那么是有力的解題工具，能化簡(jiǎn)與求值復(fù)雜的對(duì)數(shù)式.2.對(duì)數(shù)的換底公式.如果令b=N，那么得到了對(duì)數(shù)的倒數(shù)公式.同樣，也可以推導(dǎo)出一些對(duì)數(shù)恒等式，如，，等.¤例題精講：【例1】化簡(jiǎn)與求值：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕原式=====.〔2〕原式====.【例2】假設(shè)，那么=.〔教材P83B組2題〕解：由，得，.那么.【例3】〔1〕方程的解x=________；〔2〕設(shè)是方程的兩個(gè)根，那么的值是.解：〔1〕由，得，即，整理為.解得x=－5或x=2.∵x＞0，∴x=2.〔2〕設(shè)，那么原方程化為，其兩根為.由，得到.點(diǎn)評(píng)：同底法是解簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)方程的法寶，化同底的過程中需要結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).第2小題巧妙利用了換元思想和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.【例4】〔1〕化簡(jiǎn)：；〔2〕設(shè)，求實(shí)數(shù)m的值.解：〔1〕原式=.〔2〕原式左邊=,∴，解得.點(diǎn)評(píng)：換底時(shí)，一般情況下可以換為任意的底數(shù)，但習(xí)慣于化為常用對(duì)數(shù).換底之后，注意結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)完成后階段的運(yùn)算.【2.2.2】對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)〔5〕對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱對(duì)數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)圖象001001定義域值域過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，．奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對(duì) 圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，越大圖象越靠高．(6)反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，從式子中解出，得式子．如果?duì)于在中的任何一個(gè)值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子表示是的函數(shù)，函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作，習(xí)慣上改寫成．〔7〕反函數(shù)的求法①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式中反解出；③將改寫成，并注明反函數(shù)的定義域．〔8〕反函數(shù)的性質(zhì)①原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．②函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域．③假設(shè)在原函數(shù)的圖象上，那么在反函數(shù)的圖象上．④一般地，函數(shù)要有反函數(shù)那么它必須為單調(diào)函數(shù)．第6講§2.2.2對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)〔一〕¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過具體實(shí)例，直觀了解對(duì)數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，初步理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).¤知識(shí)要點(diǎn)：1.定義：一般地，當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)(logarithmicfunction).自變量是x；函數(shù)的定義域是〔0，+∞〕.2.由與的圖象，可以歸納出對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：定義域?yàn)?，值域?yàn)镽；當(dāng)時(shí)，，即圖象過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上遞減，當(dāng)時(shí)，在上遞增.¤例題精講：【例1】比擬大?。骸?〕，，；〔2〕，，.解：〔1〕∵在上是減函數(shù)，且，∴.又，所以.〔2〕由，得.又，，所以.【例2】求以下函數(shù)的定義域：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕由，得，解得.所以原函數(shù)的定義域?yàn)?〔2〕由，即，所以，解得.所以，原函數(shù)的定義域?yàn)?【例3】函數(shù)的區(qū)間上總有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：∵，∴當(dāng)時(shí)，，即.∵，∴，解得.當(dāng)時(shí)，，即.∵，∴，解得.綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.點(diǎn)評(píng)：先對(duì)底數(shù)a分兩種情況討論，再利用函數(shù)的單調(diào)性及條件，列出關(guān)于參數(shù)a的不等式組，解不等式〔組〕而得到參數(shù)的范圍.解決此類問題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化與分類討論，不等式法求參數(shù)范圍.【例4】求不等式中x的取值范圍.解：當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得.當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得.所以，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為；當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為.點(diǎn)評(píng)：結(jié)合單調(diào)性，將對(duì)數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式組，注意對(duì)數(shù)式有意義時(shí)真數(shù)大于0的要求.當(dāng)?shù)讛?shù)a不確定時(shí)，需要對(duì)底數(shù)a分兩種情況進(jìn)行討論.第7講§2.2.2對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)〔二〕¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并能應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)解決實(shí)際中的問題.知道指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù).〔a>0,a≠1〕¤知識(shí)要點(diǎn)：1.當(dāng)一個(gè)函數(shù)是一一映射時(shí),可以把這個(gè)函數(shù)的因變量作為一個(gè)新函數(shù)的自變量,而把這個(gè)函數(shù)的自變量新的函數(shù)的因變量.我們稱這兩個(gè)函數(shù)為反函數(shù)〔inversefunction〕.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.2.函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).3.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性研究，口訣是“同增異減〞，即兩個(gè)函數(shù)同增或同減，復(fù)合后結(jié)果為增函數(shù)；假設(shè)兩個(gè)函數(shù)一增一減，那么復(fù)合后結(jié)果為減函數(shù).研究復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的具體步驟是：〔i〕求定義域；〔ii〕拆分函數(shù)；〔iii〕分別求的單調(diào)性；〔iv〕按“同增異減〞得出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.¤例題精講：【例1】討論函數(shù)的單調(diào)性.解：先求定義域，由,解得.設(shè)，易知為減函數(shù).又∵函數(shù)是減函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.【例2】〔05年山東卷.文2〕以下大小關(guān)系正確的選項(xiàng)是〔〕.A.B.C.D.解：在同一坐標(biāo)系中分別畫出的圖象，分別作出當(dāng)自變量x取3，0.4，0.3時(shí)的函數(shù)值.觀察圖象容易得到：.應(yīng)選C.【例3】指數(shù)函數(shù)的圖象與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象有何關(guān)系？解：在指數(shù)函數(shù)的圖象上任取一點(diǎn)，那么.由指對(duì)互化關(guān)系，有.所以，點(diǎn)在對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象上.因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以指數(shù)函數(shù)的圖象與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.點(diǎn)評(píng)：兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性，由任意點(diǎn)的對(duì)稱而推證出來.這種對(duì)稱性實(shí)質(zhì)是反函數(shù)的圖象特征，即函數(shù)與互為反函數(shù)，而互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱.第8講§2.3冪函數(shù)¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過實(shí)例，了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=1/x,y=x1/2的圖像，了解它們的變化情況.知識(shí)要點(diǎn)：1.冪函數(shù)的根本形式是，其中是自變量，是常數(shù).要求掌握，，，，這五個(gè)常用冪函數(shù)的圖象.2.觀察出冪函數(shù)的共性，總結(jié)如下：〔1〕當(dāng)時(shí)，圖象過定點(diǎn)；在上是增函數(shù).〔2〕當(dāng)時(shí)，圖象過定點(diǎn)；在上是減函數(shù)；在第一象限內(nèi)，圖象向上及向右都與坐標(biāo)軸無限趨近.3.冪函數(shù)的圖象，在第一象限內(nèi)，直線的右側(cè)，圖象由下至上，指數(shù)由小到大.軸和直線之間，圖象由上至下，指數(shù)由小到大.¤例題精講：【例1】?jī)绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，試討論其單調(diào)性.解：設(shè)，代入點(diǎn)，得，解得，所以，在R上單調(diào)遞增.【例2】?jī)绾瘮?shù)與的圖象都與、軸都沒有公共點(diǎn)，且的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，求的值．解：∵冪函數(shù)圖象與、軸都沒有公共點(diǎn)，∴，解得.又∵的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴為偶數(shù)，即得.【例3】?jī)绾瘮?shù)與在第一象限內(nèi)的圖象如下圖，那么〔〕.A．B．C．D．解：由冪函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的分布規(guī)律，觀察第一象限內(nèi)直線的右側(cè)，圖象由下至上，依次是，，，，，所以有.選B.點(diǎn)評(píng)：觀察第一象限內(nèi)直線的右側(cè)，結(jié)合所記憶的分布規(guī)律.注意比擬兩個(gè)隱含的圖象與.〖2.3〗冪函數(shù)〔1〕冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中為自變量，是常數(shù)．〔2〕冪函數(shù)的圖象〔3〕冪函數(shù)的性質(zhì)①圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象．冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于軸對(duì)稱)；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限．②過定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)．③單調(diào)性：如果，那么冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在上為增函數(shù)．如果，那么冪函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近軸與軸．④奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)．當(dāng)〔其中互質(zhì)，和〕，假設(shè)為奇數(shù)為奇數(shù)時(shí)，那么是奇函數(shù)，假設(shè)為奇數(shù)為偶數(shù)時(shí)，那么是偶函數(shù)，假設(shè)為偶數(shù)為奇數(shù)時(shí)，那么是非奇非偶函數(shù)．⑤圖象特征：冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)，假設(shè)，其圖象在直線下方，假設(shè)，其圖象在直線上方，當(dāng)時(shí)，假設(shè)，其圖象在直線上方，假設(shè)，其圖象在直線下方．〖補(bǔ)充知識(shí)〗二次函數(shù)〔1〕二次函數(shù)解析式的三種形式①一般式：②頂點(diǎn)式：③兩根式：〔2〕求二次函數(shù)解析式的方法①三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式．②拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大〔小〕值有關(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式．③假設(shè)拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)時(shí)，選用兩根式求更方便．〔3〕二次函數(shù)圖象的性質(zhì)①二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為頂點(diǎn)坐標(biāo)是．②當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，．③二次函數(shù)當(dāng)時(shí)，圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)．〔4〕一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這局部知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理〔韋達(dá)定理〕的運(yùn)用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實(shí)根的分布．設(shè)一元二次方程的兩實(shí)根為，且．令，從以下四個(gè)方面來分析此類問題：①開口方向：②對(duì)稱軸位置：③判別式：④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)．①k＜x1≤x2EQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,af(k)＞0,－\f(b,2a)＞k))②x1≤x2＜kEQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,af(k)＞0,－\f(b,2a)＜k))③x1＜k＜x2af(k)＜0④k1＜x1≤x2＜k2EQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,a＞0,f(k1)＞0,f(k2)＞0,k1＜－\f(b,2a)＜k2))或\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,a＜0,f(k1)＜0,f(k2)＜0,k1＜－\f(b,2a)＜k2))⑤有且僅有一個(gè)根x1〔或x2〕滿足k1＜x1〔或x2〕＜k2f(k1)f(k2)0，并同時(shí)考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2EQ\b\lc\{(\a\al(a＞0,f(k1)＞0,f(k2)＜0,f(p1)＜0,f(p2)＞0))或\b\lc\{(\a\al(a＜0,f(k1)＜0,f(k2)＞0,f(p1)＞0,f(p2)＜0))此結(jié)論可直接由⑤推出．〔5〕二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值設(shè)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，令．〔Ⅰ〕當(dāng)時(shí)〔開口向上〕最小值假設(shè)，那么②假設(shè)，那么xyxy0aOabx2pqf(p)f(q)xy0aOabx2pqf(p)f(q)③假設(shè)，那么xxy0aOabx2pqf(p)f(