2023-2024學(xué)年上海市嘉定區(qū)嘉一中高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2023-2024學(xué)年上海市嘉定區(qū)嘉一中高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．函數(shù)的最大值與最小值分別為()A.3，－1 B.3，－2C.2，－1 D.2，－22．表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，是方程的根，則（）A. B.C. D.3．用長(zhǎng)度為24米的材料圍成一矩形場(chǎng)地，中間加兩道隔墻（如圖），要使矩形的面積最大，則隔墻的長(zhǎng)度為A.3米 B.4米C.6米 D.12米4．已知角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若，則（）A. B.C. D.5．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B.C. D.6．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)的和為（）A. B.C. D.7．已知全集，集合則下圖中陰影部分所表示的集合為（）A. B.C. D.8．若則A. B.C. D.9．，，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.11．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)12．設(shè)，，那么等于A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．直線l與平面α所成角為60°，l∩α＝A，則m與l所成角的取值范圍是_______.14．設(shè)，則________15．已知實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最小值為____________.16．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值等于_____三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分別是PA，BC的中點(diǎn)，且AD=2PD=2（1）求證：MN∥平面PCD；（2）求證：平面PAC⊥平面PBD；（3）求四棱錐P-ABCD的體積18．（1）已知求的值（2）已知，且為第四象限角，求的值.19．已知,.（Ⅰ）求證：函數(shù)在上是增函數(shù)；（Ⅱ）若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．一種專門占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒，能在短時(shí)間內(nèi)感染大量文件，使每個(gè)文件都不同程度地加長(zhǎng)，造成磁盤空間的嚴(yán)重浪費(fèi).這種病毒開機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存2KB，每3分鐘后病毒所占內(nèi)存是原來(lái)的2倍.記x分鐘后的病毒所占內(nèi)存為yKB.（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）如果病毒占據(jù)內(nèi)存不超過(guò)1GB（1GB=21021．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A為單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P為單位圓上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)P沿單位圓按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角后到達(dá)點(diǎn).（1）求陰影部分的面積；（2）當(dāng)時(shí)，求的值.22．已知全集，求：（1）；（2）.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、D【解析】分析：將化為，令，可得關(guān)于t的二次函數(shù)，根據(jù)t的取值范圍，求二次函數(shù)的最值即可.詳解：利用同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)，設(shè)，則，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)當(dāng)時(shí)，y取最大值2，當(dāng)時(shí)，y取最小值.故選D.點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題，此類問(wèn)題一般分為兩類，一種是解析式化為的形式，用換元法求解；另一種是將解析式化為的形式，根據(jù)角的范圍求解.2、B【解析】先求出函數(shù)的零點(diǎn)的范圍，進(jìn)而判斷的范圍，即可求出.【詳解】由題意可知是的零點(diǎn)，易知函數(shù)是（0，）上的單調(diào)遞增函數(shù)，而，，即所以，結(jié)合性質(zhì)，可知.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題3、A【解析】主要考查二次函數(shù)模型的應(yīng)用解：設(shè)隔墻長(zhǎng)度為，則矩形另一邊長(zhǎng)為=12－2，矩形面積為=（12－2）=，0<<6，所以=3時(shí)，矩形面積最大，故選A4、C【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，又由，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得且，解得.故選：C.5、B【解析】先求出函數(shù)的定義域，然后將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)、外函數(shù)，分別討論內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則，得到函數(shù)y=log3（x2-2x）的單調(diào)遞增區(qū)間【詳解】函數(shù)y=log5（x2-2x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（2，+∞），令t=x2-2x，則y=log5t，∵y=log5t為增函數(shù)，t=x2-2x在（-∞，0）上為減函數(shù)，在（2，+∞）為增函數(shù)，∴函數(shù)y=log5（x2-2x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2，+∞），故選B【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，其中復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”是解答本題的關(guān)鍵6、C【解析】根據(jù)分組求和可得結(jié)果.【詳解】，故選：C7、C【解析】根據(jù)題意，結(jié)合Venn圖與集合間的基本運(yùn)算，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，易知圖中陰影部分所表示.故選：C.8、A【解析】集合A三個(gè)實(shí)數(shù)0，1，2，而集合B表示的是大于等于1小于2的所有實(shí)數(shù)，所以兩個(gè)集合的交集{1}，故選A.考點(diǎn)：集合的運(yùn)算.9、B【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：因?yàn)?，，所以由不能推出，由能推出，故是的必要不充分條件故選：B10、D【解析】當(dāng)時(shí)，為單調(diào)增函數(shù)，且，則的解集為，再結(jié)合為奇函數(shù)，可得答案【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，等價(jià)于，即，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，所以等價(jià)于，即，所以不等式的解集為故選：D11、B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，故利用零點(diǎn)存在定理可判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間.【詳解】因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，為上的增函數(shù)，故為上的增函數(shù).又，，由零點(diǎn)存在定理可知在存在零點(diǎn)，故選B.【點(diǎn)睛】函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題有兩種類型，（1）計(jì)算函數(shù)的零點(diǎn)，比如二次函數(shù)的零點(diǎn)等，有時(shí)我們可以根據(jù)解析式猜出函數(shù)的零點(diǎn)，再結(jié)合單調(diào)性得到函數(shù)的零點(diǎn)，比如；（2）估算函數(shù)的零點(diǎn)，如等，我們無(wú)法計(jì)算此類函數(shù)的零點(diǎn)，只能借助零點(diǎn)存在定理和函數(shù)的單調(diào)性估計(jì)零點(diǎn)所在的范圍.12、B【解析】由題意得．選B二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】根據(jù)直線l與平面α所成角是直線l與平面α內(nèi)所有直線成的角中最小的一個(gè)，直線l與平面α所成角的范圍，即可求出結(jié)果【詳解】由于直線l與平面α所成角為60°，直線l與平面α所成角是直線l與平面α內(nèi)所有直線成的角中最小的一個(gè)，而異面直線所成角的范圍是（0，]，直線m在平面α內(nèi)，且與直線l異面，故m與l所成角的取值范圍是.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查直線和平面所成的角的定義和范圍，判斷直線與平面所成角是直線與平面α內(nèi)所有直線成的角中最小的一個(gè)，是解題的關(guān)鍵14、【解析】根據(jù)自變量取值判斷使用哪一段解析式求解，分別代入求解即可【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以故答案為?15、【解析】利用基本不等式可得，即求.【詳解】依題意，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.故答案為：.16、【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為，所以，所以，故填.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）見解析（2）見解析（3）【解析】（1）先證明平面MEN∥平面PCD，再由面面平行的性質(zhì)證明MN∥平面PCD；（2）證明AC⊥平面PBD，即可證明平面PAC⊥平面PBD；（3）利用錐體的體積公式計(jì)算即可【詳解】（1）證明：取AD的中點(diǎn)E，連接ME、NE，∵M(jìn)、N是PA、BC的中點(diǎn)，∴在△PAD和正方形ABCD中，ME∥PD，NE∥CD；又∵M(jìn)E∩NE=E，PD∩CD=D，∴平面MEN∥平面PCD，又MN?平面MNE，∴MN∥平面PCD；（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，且PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD；（3）∵PD⊥底面ABCD，∴PD是四棱錐P-ABCD的高，且PD=1，∴正方形ABCD的面積為S=4，∴四棱錐P-ABCD的體積為VP-ABCD=×S四邊形ABCD×PD=×4×1=【點(diǎn)睛】本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了錐體體積計(jì)算問(wèn)題，是中檔題18、（1）；（2）.【解析】（1）由誘導(dǎo)公式得，進(jìn)而由，將所求的式子化為二次齊次式，進(jìn)而得到含的式子，從而得解（2）由，結(jié)合角的范圍可得解.【詳解】（1）由，得，所以，.（2），所以，又為第四象限角，所以，所以.19、（Ⅰ）答案見詳解;（Ⅱ）.【解析】(Ⅰ)利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性;(Ⅱ)判斷函數(shù)奇偶性,并結(jié)合的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為不等式組,求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(Ⅰ)任取,則,,即,所以函數(shù)在上是增函數(shù);(Ⅱ)因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又,所以函數(shù)為奇函數(shù),又,即,即,由(Ⅰ)知函數(shù)在上是增函數(shù),所以,即,故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】(1)大題中一般采用定義法證明函數(shù)單調(diào)性;(2)利用單調(diào)性解不等式問(wèn)題,一般需要注意三個(gè)方面:①注意函數(shù)定義域范圍限制;②確定函數(shù)的單調(diào)性;③部分需要結(jié)合奇偶性轉(zhuǎn)化.20、（1）y=2x3（2）57分鐘【解析】（1）根據(jù)題意可得，y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）先根據(jù)題意，換算病毒占據(jù)的最大內(nèi)存1GB【小問(wèn)1詳解】因?yàn)檫@種病毒開機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存2KB，每3分鐘后病毒所占內(nèi)存是原來(lái)的2倍.所以x分鐘后的病毒所占內(nèi)存為，得y=2x3【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椴《菊紦?jù)內(nèi)存不超過(guò)1GB時(shí)，計(jì)算機(jī)能夠正常使用，故有2x3+1所以本次開機(jī)計(jì)算機(jī)能正常使用的時(shí)長(zhǎng)為57分鐘.21、（1）（2）【解析】（1）由三角函數(shù)定義求出點(diǎn)坐標(biāo)，用扇形面積減三角形面積可得弓形面積；（2）由三角函數(shù)定義寫出點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算后用二倍