2023-2024學年吉林省高中學校數學高一上期末質量檢測試題含解析

2023-2024學年吉林省高中學校數學高一上期末質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．《九章算術》中“方田”章給出了計算弧田面積時所用的經驗公式，即弧田面積=×（弦×矢+矢）．弧田（如圖1）由圓弧和其所對弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現有圓心角為，半徑為2米的弧田（如圖2），則這個弧田面積大約是（）平方米．（，結果保留整數）A.2 B.3C.4 D.52．17世紀德國著名的天文學家開普勒曾經這樣說過：“幾何學里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦.”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認為是最美的三角形，它是一個頂角為的等腰三角形(另一種是頂角為108°的等腰三角形).例如，五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，如圖所示，在其中一個黃金中，.根據這些信息，可得（）A. B.C. D.3．在下列圖象中，函數的圖象可能是A. B.C. D.4．函數y=xcosx+sinx在區(qū)間[–π，π]的圖象大致為（）A. B.C. D.5．在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A.1010.1 B.10.1C.lg10.1 D.6．函數的部分圖象大致是（）A. B.C. D.7．已知集合，集合，則集合A. B.C. D.8．點P從O點出發(fā)，按逆時針方向沿周長為l的圖形運動一周，O、P兩點的距離y與點P所走路程x的函數關系如圖所示，那么點P所走的圖形是（）A. B.C. D.9．函數f（x）=lnx+3x-4的零點所在的區(qū)間為（）A. B.C. D.10．函數的圖象可能是A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．給出下列命題：①存在實數，使；②函數是偶函數；③若是第一象限角，且，則；④是函數的一條對稱軸方程以上命題是真命題的是_______（填寫序號）12．=_______________.13．已知函數=，若對任意的都有成立，則實數的取值范圍是______14．已知，，則的值為___________.15．已知，，則________.（用m，n表示）16．已知函數，若關于的不等式在[0，1]上有解，則實數的取值范圍為______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知直線及點.（1）證明直線過某定點，并求該定點的坐標；（2）當點到直線的距離最大時，求直線的方程.18．從某小學隨機抽取100多學生，將他們的身高（單位：）數據繪制成頻率分布直方圖（如圖）.（1）求直方圖中的值；（2）試估計該小學學生的平均身高；（3）若要從身高在三組內的學生中，用分層抽樣的方法選取24人參加一項活動，則從身高在內的學生中選取的人數應為多少人？19．已知函數.（1）若在上單調遞增，求的取值范圍；（2）討論函數的零點個數.20．已知函數f(x)＝(a，b為常數)，且方程f(x)－x＋12＝0有兩個零點分別為3和4.求函數f(x)的解析式21．已知函數.（1）求函數的周期和單調遞減區(qū)間；（2）將的圖象向右平移個單位，得到的圖象，已知，，求值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】先由已知條件求出，然后利用公式求解即可【詳解】因為，所以，在中，，所以,所以，所以這個弧田面積為，故選：A2、C【解析】先求出，再根據二倍角余弦公式求出，然后根據誘導公式求出.【詳解】由題意可得：，且，所以，所以，故選：C【點睛】本題考查了二倍角的余弦公式和誘導公式，屬于基礎題.3、C【解析】根據函數的概念，可作直線從左向右在定義域內移動，得到直線與曲線的交點個數，即可判定.【詳解】由函數的概念可知，任意一個自變量的值對應的因變量的值是唯一的，可作直線從左向右在定義域內移動，得到直線與曲線的交點個數是0或1，顯然A、B、D均不滿足函數的概念，只有選項C滿足.故選：C.【點睛】本題主要考查了函數概念，以及函數的圖象及函數的表示，其中解答中正確理解函數的基本概念是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想的應用.4、A【解析】首先確定函數的奇偶性，然后結合函數在處的函數值排除錯誤選項即可確定函數的圖象.【詳解】因為，則，即題中所給的函數為奇函數，函數圖象關于坐標原點對稱，據此可知選項CD錯誤；且時，，據此可知選項B錯誤.故選：A.【點睛】函數圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項5、A【解析】由題意得到關于的等式，結合對數的運算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點睛】本題以天文學問題為背景,考查考生的數學應用意識、信息處理能力、閱讀理解能力以及指數對數運算.6、A【解析】分析函數的奇偶性及其在上的函數值符號，結合排除法可得出合適的選項.【詳解】函數的定義域為，，函數為偶函數，排除BD選項，當時，，則，排除C選項.故選：A.7、C【解析】故選C8、C【解析】認真觀察函數的圖象，根據其運動特點，采用排除法，即可求解.【詳解】觀察函數的運動圖象，可以發(fā)現兩個顯著特點：①點運動到周長的一半時，最大；②點的運動圖象是拋物線，設點為周長的一半，如下圖所示：圖1中，因為，不符合條件①，因此排除選項A；圖4中，由，不符合條件①，并且的距離不是對稱變化的，因此排除選項D；另外，在圖2中，當點在線段上運動時，此時，其圖象是一條線段，不符合條件②，因此排除選項B.故選：C9、B【解析】根據函數零點的判定定理可得函數的零點所在的區(qū)間【詳解】解：函數在其定義域上單調遞增，（2），（1），（2）（1）根據函數零點的判定定理可得函數的零點所在的區(qū)間是，故選【點睛】本題考查求函數的值及函數零點的判定定理，屬于基礎題10、C【解析】函數即為對數函數，圖象類似的圖象，位于軸的右側，恒過，故選：二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、②④【解析】根據三角函數的性質，依次分析各選項即可得答案.【詳解】解：①因為，故不存在實數，使得成立，錯誤；②函數，由于是偶函數，故是偶函數，正確；③若，均為第一象限角，顯然，故錯誤；④當時，，由于是函數的一條對稱軸，故是函數的一條對稱軸方程，正確.故正確的命題是：②④故答案為：②④12、【解析】解：13、【解析】轉化為對任意的都有，再分類討論求出最值，代入解不等式即可得解.【詳解】因為=，所以等價于，等價于，所以對任意的都有成立，等價于，（1）當，即時，在上為減函數，，在上為減函數，，所以，解得，結合可得.（2）當，即時，在上為減函數，，在上為減函數，在上為增函數，或，所以且，解得.（3）當，即時，，在上為減函數，，在上為增函數，，所以，解得，結合可知，不合題意.（4）當，即時，在上為減函數，在上為增函數，，在上為增函數，，此時不成立.（5）當時，在上為增函數，，在上為增函數，，所以，解得，結合可知，不合題意.綜上所述：.故答案為：14、【解析】利用和角正弦公式、差角余弦公式及同角商數關系，將目標式化為即可求值.【詳解】.故答案為：.15、【解析】根據指數式與對數式的互化，以及對數的運算性質，準確運算，即可求解.【詳解】因為，，所以，，所以，可得.故答案為：16、【解析】不等式在[0，1]上有解等價于，令，則.【詳解】由在[0，1]上有解，可得，即令，則，因為，所以，則當，即時，，即，故實數的取值范圍是故答案為【點睛】利用導數研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構造函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析，定點坐標為；(2)15x＋24y＋2＝0.【解析】（1）直線l的方程可化為a(2x＋y＋1)＋b(－x＋y－1)＝0，由，即可解得定點；（2）由（1）知直線l恒過定點A，當直線l垂直于直線PA時，點P到直線l的距離最大，利用點斜式求直線方程即可.試題解析：（1）證明：直線l的方程可化為a(2x＋y＋1)＋b(－x＋y－1)＝0，由，得，所以直線l恒過定點.（2）由（1）知直線l恒過定點A，當直線l垂直于直線PA時，點P到直線l的距離最大.又直線PA的斜率，所以直線l的斜率kl＝－.故直線l的方程為，即15x＋24y＋2＝0.18、（1）（2）（3）4人【解析】（1）根據頻率和為1，求出的值；（2）根據頻率分布直方圖，計算平均數即可（3）根據分層抽樣方法特點，計算出總人數以及應抽取的人數比即可；【小問1詳解】解：因為直方圖中的各個矩形的面積之和為1，所以有，解得；【小問2詳解】解：根據頻率分布直方圖，計算平均數為【小問3詳解】解：由直方圖知，三個區(qū)域內的學生總數為人，其中身高在內的學生人數為人，所以從身高在范圍內抽取的學生人數為人；19、（1）（2）當時，有一個零點；當時，且當時，有兩個零點，當時，有一個零點【解析】（1）由、都是單調遞增函數可得的單調性，利用單調性可得答案；（2）時有一個零點；當時，利用單獨單調性求得，分和討論可得答案.【小問1詳解】當時，單調遞增，當時，單調遞增，若在上單調遞增，只需，.【小問2詳解】當時，，此時，即，有一個零點；當時，，此時在上單調遞增，，若，即，此時有一個零點；若，即，此時無零點，故當時，有兩個零點，當時，有一個零點20、【解析】將3和4分別代入方程得，解得，進而可得.試題解析：將3和4分別代入方程－x＋12＝0得解得所以已知零點求函數