重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期定時檢測（二）數(shù)學(xué)試題

西南大學(xué)附中高2026屆高一上定時檢測（二）數(shù)學(xué)試題（滿分：150分；考試時間120分鐘）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用并集運算求解，再利用補集運算求解即可.【詳解】因為集合，所以，又，所以.故選：B2.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)被開方數(shù)為非負數(shù)，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出即可.【詳解】由題意得，則定義域為.故選：C3.下面命題正確的是（）A.已知，則“”是“”的充要條件B.命題“若，使得”的否定是“”C.已知，則“”是“”的既不充分也不必要條件D.已知，則“”是“”的必要不充分條件【答案】D【解析】【分析】利用充分不必要條件的定義判斷A；利用存在量詞命題的否定判斷B；利用既不充分也不必要定義判斷C；利用必要不充分條件的定義判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)時，或，故能推出，但不能推出，所以“”是“”的充分不必要條件，錯誤；對于B，由存在量詞命題的否定為全稱量詞命題知：命題“若，使得”的否定是“”，錯誤；對于C，由得或，故推不出，但是當(dāng)時，一定成立，即能推出，所以“”是“”的必要不充分條件，錯誤；對于D，已知，當(dāng)時，滿足，但是不滿足，反之，當(dāng)時，則，即，所以“”是“”必要不充分條件，正確.故選：D4.設(shè)函數(shù)（且），若，則（）A.3 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計算可得.【詳解】因為（且），所以，所以，解得或（舍去）.故選：A5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用冪函數(shù)的單調(diào)性判定即可．【詳解】由單調(diào)遞增，則可知，由單調(diào)遞增，又，可得所以．故選：C．6.已知，且，則的最小值是（）A.2 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意，直接利用基本不等式求解最小值即可.【詳解】因為，所以，，又，所以,所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以的最小值是2.故選：A7.血氧飽和度是血液中被氧結(jié)合的氧合血紅蛋白的容量占全部可結(jié)合的血紅蛋白容量的百分比，即血液中血氧的濃度，它是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù)．正常人體的血氧飽和度一般不低于，在以下為供氧不足．在環(huán)境模擬實驗室的某段時間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：描述血氧飽和度（單位：%）隨給氧時間（單位：時）的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，為參數(shù)．已知，給氧1小時后，血氧飽和度為80．若使得血氧飽和度達到正常值，則給氧時間至少還需要（?。ǎ〢.約小時 B.約小時 C.約小時 D.約小時【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意分別列出相應(yīng)不等式，從而求解.【詳解】由題意知，，，當(dāng)小時，，得：要使血氧飽和度達到正常，即需：，即：，化簡得：，所以得：因為已經(jīng)給氧1小時，所以還需要繼續(xù)給氧時間至少為：小時.故選：B.8.若定義在上的奇函數(shù)，對，且，都有，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由題意可以推出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，然后對進行分類討論解不等式即可.【詳解】因為對任意的，且，都有，即對任意兩個不相等的正實數(shù)，不妨設(shè)，都有，所以有，所以函數(shù)是上的減函數(shù)，又因為為奇函數(shù)，即有，有，所以有，所以為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增.由知，所以，當(dāng)時，有，，由得，所以，所以，所以，即，因為，所以，解得或，又，所以；當(dāng)且時，有，由得，所以，所以，所以，即，因為，所以，解得，又且，所以或；綜上所述，不等式的解集為.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是由已知條件去構(gòu)造函數(shù)，并結(jié)合已知導(dǎo)出其函數(shù)性質(zhì)，從而分類討論解不等式即可.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，則下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷A，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷B，利用作差法或者特例法判斷C，利用不等式性質(zhì)判斷D.【詳解】對于A：因為，所以，又函數(shù)單調(diào)遞增，所以，錯誤；對于B：因為，所以，正確；對于C：，因為，所以，但是的正負號不確定，所以與大小不確定，例如時，，錯誤；對于D：由得，則，正確；故選：BD10.下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于成中心對稱B.函數(shù)（且）的圖象一定經(jīng)過點C.函數(shù)的圖象不過第四象限，則的取值范圍是D.函數(shù)（且），，則的單調(diào)遞減區(qū)間是【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)分式分離得，結(jié)合反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)即可得的對稱中心，從而判斷A；由指數(shù)函數(shù)的定點可得函數(shù)的定點，從而判斷B；由指數(shù)函數(shù)的圖象平移可得函數(shù)的圖象不過第四象限時的取值范圍，從而判斷C；利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)即可判斷D.【詳解】函數(shù)，其圖象是由反比例函數(shù)的圖象向左平移一個單位，再向上平移兩個單位得到，故函數(shù)的圖象關(guān)于成中心對稱，故A正確；當(dāng)時，，則函數(shù)（且）的圖象一定經(jīng)過點，故B錯誤；由指數(shù)函數(shù)的圖象可得函數(shù)的圖象不過第四象限，則，所以的取值范圍是，故C錯誤；函數(shù)中，，又且，所以，則，由于函數(shù)，單調(diào)減區(qū)間為上，單調(diào)增區(qū)間為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故D正確.故選：AD.11.已知函數(shù)是奇函數(shù)，下列選項正確的是（）A.B.，且，恒有C.函數(shù)在上的值域為D.對，恒有成立的充分不必要條件是【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的概念即可得的值，從而可判斷A；根據(jù)指數(shù)函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)可判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，從而可判斷B；由函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)值即可得函數(shù)在上的值域，從而可判斷C；由函數(shù)單調(diào)性解不等式，結(jié)合含參一元不等式恒成立即可求的取值范圍，從而可判斷D.【詳解】函數(shù)的定義域為，又是奇函數(shù)，所以，故，故A正確；，由于函數(shù)在上遞增，函數(shù)在上遞增，所以函數(shù)上遞增，則，且，恒有，故B正確；因為在上單調(diào)遞增，，又，所以函數(shù)在上的值域為，故C錯誤；若對，恒有成立，則，即整理得的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，不符合題意當(dāng)時，要使得解集為，則有，解得，綜上，對，恒有可得，其成立的充分不必要條件是，故D正確.故選：ABD.12.對于定義域為的函數(shù)，若滿足，且，都有，我們稱為“嚴格下凸函數(shù)”，比如函數(shù)即為“嚴格下凸函數(shù)”．對于“嚴格下凸函數(shù)”，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)是“嚴格下凸函數(shù)”；B.指數(shù)函數(shù)且為“嚴格下凸函數(shù)”的充要條件是；C.函數(shù)為“嚴格下凸函數(shù)”的充要條件是；D.函數(shù)是“嚴格下凸函數(shù)”．【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)“嚴格下凸函數(shù)”的定義，依次判斷各選項即可.詳解】對于A，任取，，則，，所以，所以函數(shù)函數(shù)是“嚴格下凸函數(shù)”；A正確；對于B，對于函數(shù)，任取，，則，，所以，所以函數(shù)為“嚴格下凸函數(shù)”，所以不是指數(shù)函數(shù)且為“嚴格下凸函數(shù)”的必要條件，B不正確;對于C選項，若函數(shù)為“嚴格下凸函數(shù)”，則由于，所以，不等式等價于上述不等式對于任意的，且恒成立，則，解得，故C正確；對于D選項，（方法一）則因為，所以所以，即，故在區(qū)間上的圖象不是嚴格下凸函數(shù).（方法二）取，則，顯然，即，所以在區(qū)間上的圖象不是嚴格下凸函數(shù).故選：AC.【點睛】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則的值為________．【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)定義可得出關(guān)于實數(shù)的等式與不等式，即可解得實數(shù)的值.【詳解】因為函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則，解得.故答案為：.14.已知上的函數(shù)為奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性與對稱性可得函數(shù)的周期為，利用周期性與對稱性化簡求值即可的值.【詳解】已知上的函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即①又，所以②，即③由②③可得，所以函數(shù)的周期為則，由①可得.故答案為：.15.已知函數(shù)關(guān)于點對稱，若對任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_______.【答案】【解析】【分析】由得使得不等式一邊是參數(shù)，另一邊是不含關(guān)于的式子，分離參數(shù).【詳解】由為奇函數(shù)，可得其圖像關(guān)于對稱，所以的圖像關(guān)于對稱，由題目可知函數(shù)關(guān)于點對稱，可得，對任意的，恒成立恒成立，即在恒成立，所以，令，由，可得，設(shè)，當(dāng)時，取得最大值，所以的取值范圍是.故答案為：.【點睛】①分離參數(shù)法：遇到類似或等不等式恒成立問題，可把不等式化簡為或的形式，達到分離參數(shù)的目的，再求解的最值處理恒成立問題；②恒成立問題最終轉(zhuǎn)化為最值問題，而分離參數(shù)法，最好之處就是轉(zhuǎn)化后的函數(shù)不含參，避免了麻煩的分離討論.16.已知定義在上的函數(shù)滿足，，且當(dāng)時，，，則關(guān)于的不等式的解集為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義得為奇函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的定義知在R上單調(diào)遞增，構(gòu)造函數(shù)，從而為R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)性遞增，原不等式等價于，利用單調(diào)性解不等式即可.【詳解】定義在上的函數(shù)滿足，，令，可得，所以，令，得到，即，所以為奇函數(shù)，設(shè)，由題意，所以，又因為，所以，所以，即，所以在R上單調(diào)遞增，不等式等價于，令，因為，且的定義域為R，所以為R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)性遞增，由得，所以等價于，等價于，所以，解得，所以不等式的解集為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)于抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷常常用定義法解決，對于解抽象函數(shù)不等式問題，往往要根據(jù)式子結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求解即可.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.計算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用指數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)即可；（2）用對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)即可.【小問1詳解】原式【小問2詳解】原式18.已知函數(shù)的定義域為集合，函數(shù)的值域為集合.（1）求集合、；（2）若，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）解不等式可得集合，求得的取值范圍，利用指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域；（2）由可得，由此可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，進而可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）對于函數(shù)，有，即，解得，即.，則，則，即；（2）由，得，所以，，即，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.19.已知函數(shù)在上有定義，且滿足.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，對均有成立，求實數(shù)m取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)換元法和配湊法可求函數(shù)解析式.(2)依題意，，設(shè)，則在區(qū)間內(nèi)恒成立，用一次函數(shù)性質(zhì)求解.【小問1詳解】，∴，又∵，∴.【小問2詳解】，對均有成立，在上單調(diào)遞增，，依題意有對均有成立，即在時恒成立，∴，解得，∴實數(shù)m的取值范圍是.20.設(shè)常數(shù)，函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的值域．（2）若函數(shù)的最小值為,求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出的值域，再求出的值域即可；（2）通過討論的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，求出的值即可．【詳解】（1）時，，令，，，，，即，，則，，，∵在，遞增，且，∴，故的值域是.（2）函數(shù)，，，令，，，，，即，，故，，，當(dāng)時，在，遞增，的最小值是，解得：，符合題意；當(dāng)時，在，遞減，在，遞增，故的最小值是，解得：，不合題意；當(dāng)時，在，遞減，的最小值是，解得：，不合題意；綜上所述：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意對稱軸和區(qū)間位置關(guān)系的討論.21.設(shè)函數(shù)（1）解關(guān)于的方程；（2）令，求的值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意,將代入原方程化簡可得關(guān)于的方程,利用換元法令,轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程,解方程即可求得的值.（2）根據(jù)解析式,分析并計算可知為定值,即可求值.【詳解】（1）因為函數(shù)代入可得令則解得或即或解得或（2）根據(jù)題意則所以且所以【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式求值,函數(shù)性質(zhì)的分析及應(yīng)用,指數(shù)冪的化簡求值,屬于基礎(chǔ)題.22.已知.（1）求函數(shù)的表達式；（2）用函數(shù)單調(diào)性定義證明的單調(diào)性；（3）若對恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）設(shè)，得，代入已