2023年天津市南開區(qū)中考二模數(shù)學試卷（含答案解析）

2023年天津市南開區(qū)中考二模數(shù)學試卷

學校:姓名：班級:考號：

一、單選題

1.計算（-3）-（-5）的結果是（）

A.-8B.-2C.8D.2

2.下列三角函數(shù)中，結果為g的是（）

A.cos30°B.tan3O°C.sin60°D.cos60°

3.下列綠色能源圖標中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

4.將數(shù)字192000000用科學記數(shù)法可表示為（）

A.19.2xl07B.19.2x10sC.1.92xl08D.1.92xl（）9

5.如圖是由若干個小正方體堆成的幾何體的主視圖（正視圖），這個幾何體是（）

Bb

主視圖

6.估計后的值在（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

7.化簡士x+-1上1的結果為（）

xx

A.%B.1C.rD.-1

8.點4（%,-6）,B?,-2），C13,3）都在反比例函數(shù)＞=--的圖象上，則陽,巧，了3大

小關系是（）

A.x3<X,<x2B.x3<x2<xlC.x2<x3<x[D.<x2<x3

9.方程3/-5工-7=0的兩根為A，x?,下列各式正確的是)

n57

A.X+%2=5,=-7B.玉+/=一§，用工2=§

57c57

C.D.，X\X2=-

10.如圖，ABCD的頂點坐標分別為A（1,4）,B（1,1）,C（5,2）,則點D的坐

標為（）

C.(6,6)D.(5,4)

11.對折矩形A3CO,使A。和3c重合，得到折痕石尸，把紙片展平，再一次折疊紙片，

使點A落在痔上的N點處，并使折痕經(jīng)過點4,得到折痕BM,同時得到線段3N,則

下列結論錯誤的是（）

A.AE=-BNB.MN=、BNC.ZABM=ZNBM

22

D.4ENB=/NBM

12.如圖所示是拋物線廣加+加+《。＜0）的部分圖像，其頂點坐標為（L〃），且與x

軸的一個交點在點（3。）和（4,0）之間，則下列結論：①a—h+oO：②3〃+c＞0：③

b2=4a（c-n）；④一元二次方程〃2+笈+°=〃一2沒有實數(shù)根.其中正確的結論個數(shù)是

()

試卷第2頁，共6頁

二、填空題

13.計算a./-%3=;

14.計算（"+VH）（6-而）的結果等于:

15.有6張背面完全相同的卡片，正面分別標有0,1,-1,2,-2,3,把這6張卡片

背面朝上，隨機抽取其中的一張，卡片上的數(shù)是負數(shù)的概率為;

16.直線y=2x+b與y軸交于正半軸，則b的值可以是.

17.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、8。相交于點O,AB=OB,點、E,

點尸分別是04,的中點，連接EF,ZCEF=45°,EM_LBC于點M,EM交BD于

點N,FN=4y/5,則線段BC的長為

18.如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，圓上的點A,B,C及點。均在格點

上

(1)/ABC的大小為(度)；

(2)P為CL>上一點，連接AP,將AP繞點B順時針旋轉90。得到MN.請用無刻度的

直尺，在如圖所示的格中，畫出線段MN,并簡要說明點N的位置是如何找到的

(不要求證明).

三、解答題

<x-4①

19.解不等式組I請按下列步驟完成解答：

[4x+122x-5②

?___?__??____illill??

-5-4-3-2-1012345

(1)解不等式①，得；

(2)解不等式②，得；

(3)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；

(4)原不等式組的解集為.

20.某校為了解八年級學生參加社會實踐活動情況，隨機調(diào)查了本校部分八年級學生在

第一學期參加社會實踐活動的天數(shù)，并用得到的數(shù)據(jù)繪制了統(tǒng)計圖①和圖②，請根據(jù)圖

中提供的信息，回答下列問題：

圖②

試卷第4頁，共6頁

(1)本次接受隨機抽樣調(diào)查的學生人數(shù)為,圖①中的m的值為；

(2)求本次抽樣調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；

(3)若該校八年級學生有1200人，估計參加社會實踐活動時間大于7天的學生人數(shù).

21.已知。中，直徑AC長為12,MA.MB分別切。于點A,B,弦AOBM.

(1)如圖I,若加仍=120。，求NC的大小和弦C。的長；

(2)如圖2,過點C的切線分別與A。、MB的延長線交于點E,F,S.CE=^-EF,求弦

4

CD的長.

22.如圖，為測量一段筆直自西向東的河流的河面寬度，小明在河北岸C處測得對岸A

處一棵樹位于南偏西50。方向，8處一棵樹位于南偏東57。方向，已知兩樹AB相距46m,

求此段河面的寬度.(結果取整數(shù).參考數(shù)據(jù)：sin50°?0.766,cos50°?0.643,

tan50°?1.192,sin57°，0.839,cos57°?0.545,tan57°?1.540)

23.某實驗室對甲、乙兩機器人進行裝卸貨物測試，在實驗場地的一條直線上依次設置

貨物裝卸點A,B,C三地，甲、乙兩機器人同時從A地勻速出發(fā)，甲機器人到達C地

后裝貨1分鐘，再以原速原路返回A地，乙機器人到達B地后裝貨1分鐘，再以原速前

往C地，結果甲、乙兩機器人同時到達各自目的地，在兩機器人行駛的過程中，甲、乙

兩機器人距A地的距離)(單位：米)與甲機器人所用時間x(單位：分)之間的函數(shù)

圖象如圖所示：

(D填空:

①A、C兩地之間的距離為米；

②甲機器人從出發(fā)到返回A地，共用時分鐘；

③甲機器人的速度為米/分；

④乙機器人的速度為米/分；

⑤兩機器人在第分時相距120米.

(2)寫出乙機器人行駛的全過程中y與x的函數(shù)關系式.

24.四邊形Q4BC在平面直角坐標系中，已知點4-8,4),B、C兩點分別在)'軸、x軸

正半軸上，且45=8C=OA.

(2)如圖2,點尸為線段8c上一點，把線段尸8繞點尸順時針旋轉90。得到線段PO.

①連接。/5,設點P的橫坐標為機，88的面積為S,求S與，”的函數(shù)關系式，并直

接寫出自變量機的取值范圍；

②如圖3,連接”，點E在”的延長線上，且ZDPE=2ZDBE,若點P的橫坐標等于

3,請直接寫出四邊形8阻＞的面積以及E點的坐標.

25.已知拋物線y=a?+6x+c(。，b,c是常數(shù))的開口向上且經(jīng)過點A(0,l),B(2-1).

(1)當a=l時，求拋物線的頂點坐標；

⑵若二次函數(shù)產(chǎn)加+灰+c在14x43時，》的最大值為2,求。的值；

(3)若射線54與拋物線y=依2+6x+c+3a-l僅有一個公共點，求。的取值范圍.

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.D

【分析】直接利用有理數(shù)的減法運算法則計算得出答案.

【詳解】解：(-3)-(-5)=(-3)+(+5)=2,

故選：D.

【點睛】此題主要考查了有理數(shù)的減法，正確掌握有理數(shù)減法法則是解題關鍵.

2.D

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答即可得到答案.

【詳解】解：A.cos300=且，不符合題意，選項錯誤；

2

B.tan30°=—,不符合題意，選項錯誤；

C.sin6(T=g，不符合題意，選項錯誤；

D.cos600=1,符合題意，選項正確，

故選：D.

【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關鍵.

3.B

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可得解，把一個圖形

繞某一點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心

對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸

對稱圖形.

【詳解】解：A、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

B、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意：

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意.

故選：B.

【點睛】本題考查了中心對稱圖形以及軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，

圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合.

4.C

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為。x10"的形式，其中1＜忖＜10,〃為整數(shù).確定”的

答案第1頁，共20頁

值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當

原數(shù)絕對值210時，〃是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，〃是負數(shù).據(jù)此可得出結果.

【詳解】解：192000000=1.92x10S

故選：C.

【點睛】此題主要考查科學記數(shù)法的表示方法.正確確定“的值以及”的值是本題的關鍵.

5.C

【分析】根據(jù)題意，主視圖是由3個小正方形組成，利用空間想象力可得出該幾何體由2

層，2排小正方形組成，第一排有上下兩層，第二排有一層組成.

【詳解】解：根據(jù)題意得：小正方體有兩排組成，而A,B,D,都有3排，故只有C符合.

故選C.

【點晴】此題主要考查三視圖，解題的關鍵是熟知三視圖的定義.

6.D

【分析】根據(jù)算術平方根的意義估算即可解答.

【詳解】解：-.36＜37＜49,

.忌〈而〈屈,即6＜歷＜7,

故選：D.

【點睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，理解算術平方根的意義是正確解答的關鍵.

7.B

【分析】利用分式的減法運算規(guī)則化簡即可.

【詳解】解：---=^^=-=1.

XXXX

故選：B.

【點睛】本題考查了分式的減法運算，熟練掌握相關運算規(guī)則是解題的關鍵.

8.A

12

【分析】將點4和-6),B(X2,-2),C(03)分別代入反比例函數(shù)y=-上，求得為，&

x

的值后，再來比較一下它們的大小.

1?

【詳解】解：??,點43,-6),B(X2,-2),C(右3)都在反比例函數(shù)y=-上的圖象上，

x

121212

=---,即內(nèi)=2，-2=----,即％=6；3=----,即七=-4,

?.,Yv2v6,

答案第2頁，共20頁

...x3<X,<x2；

故選：A.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.所有反比例函數(shù)圖象上的點的坐標都

滿足該函數(shù)的解析式.

9.C

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系直接求解即可.

57

【詳解】根據(jù)題意有：x,+%2=|,%七=-；，

故選：C.

【點睛】本題考查了一元二次方程依2+bx+c=0(a#0)的根與系數(shù)的關系：若方程的兩根為

,bc

巧，*2，則n％+X,=__，X|X,=—.

aa

10.A

【詳解】解：???四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB//CD,AB=CD,

VA(1,4)、8(1,1)、C(5,2),

.'.AB=3,

...點。的坐標為(5,5).

故選A.

點睛：平行四邊形的對邊平行且相等.

11.B

【分析】根據(jù)折疊，軸對稱的性質，可以得出相等的線段，或倍數(shù)線段，進而對每一個選項

進行判斷即可.

【詳解】解：如圖:

由折疊可知A8=8N,AE=BE=—AB,

2

AE=；BN,故選項A不符合題意；

答案第3頁，共20頁

由折疊可知8N=43=28E,

在RlBNE中,可得4孫出=30。，ZABN=60°,ZABM=ZNBM=30°,

故選項C、D不符合題意.

tan乙MBN=tan30°=—=—

BN3

.-.MN=—BN,故選項B符合題意.

3

故選：B.

【點睛】本題考查了翻折變換(折疊問題)，矩形的性質，折疊軸對稱的性質，掌握軸對稱

的性質以及折疊的性質是正確判斷的關鍵.

12.C

【分析】根據(jù)拋物線的頂點坐標和對稱性可得到拋物線與與x軸的另一個交點在點(-2,0)和

(-1,0)之間，又開口向下可判斷①；根據(jù)對稱軸方程可得到b=-2a,進而可判斷②；根據(jù)

頂點坐標公式可判斷③；由函數(shù)的最大值>'=〃結合圖像可判斷④.

【詳解】解：???拋物線的頂點坐標為。,〃)，

???拋物線的對稱軸為x=l,

：拋物線與x軸的一個交點在點(3,0)和(4,0)之間，

二拋物線與與x軸的另一個交點在點(-2,0)和(-1,0)之間，又開口向下，

???當％=-1時，y=a-b+c>0f故①正確；

???拋物線的對稱軸為直線X=-3=1,

2a

**.b=-2。,

a-b+c=3a+c>09故②正確；

?.?拋物線的頂點坐標為

.4ac-b2

??fi=-----,

4a

b~=4ac-4an=4o(c-n),故③正確；

?該函數(shù)的最大值為>=",

一元二次方程如2+公+。=〃_2有兩個不相等的實數(shù)根，故④錯誤，

綜上，正確的結論有3個，

答案第4頁，共20頁

故選：c.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質、拋物線與坐標軸的交點問題、二次函數(shù)與方程和

不等式的關系，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質，利用數(shù)形結合思想求解是解答的關鍵.

13.

【分析】利用同底數(shù)基的乘法運算，然后合并同類項即可.

【詳解】解：8/-2/=/-2/=一/

故答案為：-Y.

【點睛】本題考查了同底數(shù)暴的乘法，合并同類項，熟練掌握相關計算規(guī)則是解題的關鍵.

14.-5

【分析】先運用用平方差公式把括號展開，再根據(jù)二次根式的性質計算可得.

【詳解】（而+而）（卡-而）

=（伺L（加丫

=6-11

=-5,

故答案為：-5.

【點睛】本題考查了二次根式的混合運算的應用，熟練掌握平方差公式與二次根式的性質是

關鍵.

⑸|

【分析】直接用概率公式計算即可.

【詳解】解：???共有6個數(shù)，其中是負數(shù)的有2個，

抽到卡片上的數(shù)是負數(shù)的概率為2+6=：=]

63

故答案為：g.

【點睛】本題考查概率公式，熟練掌握事件A的概率等于所求事件數(shù)與總情況數(shù)之比.

16.1

【分析】先求出直線y=2x+b與y軸的交點坐標，再根據(jù)交點在y軸正半軸即可求出范圍，

問題得解.

【詳解】當x=0時，y=2x+b-b,

即直線y=2x+b與y軸的交點坐標：（0㈤，

答案第5頁，共20頁

?.?交點在y軸正半軸,

；">0,

即匕的值可以是1,

故答案為：1.（滿足b>0即可）

【點睛】本題考查了直線與坐標軸的交點問題，根據(jù)交點在）'軸正半軸得出〃>0,是解答

本題的關鍵.

17.16

【分析】連接8E.根據(jù)等腰三角形的性質得出BE_L,根據(jù)中位線的性質證.BMN0FEN,

得出EN,再用勾股定理列方程求出EN即可.

2

【詳解】解：如解圖，連接8E.

?.?在△04）中，點E、尸分別為。4、。。的中點，

AAE=OE,EF為△04。的中位線，

AEF=-AD,EF//AD,

2

?在YA8CD中，AD//BC,AD=BC,

：.EF=-AD=-BC,EF//AD//BC.

22

VAB=OB,AE=OE,

:.BE10A,

,：ZCEF=45°,EM±BC,

：.NCEM=90°-NCEF=45°,

，"EM=NECM=45。,

：.NEBM=NBEM=45。,

：.BM=CM=EM=-BC=EF,

2

又：EF//BC,

答案第6頁，共20頁

NFEM=NBMN=驕.

乙FEN=NBMN

在<BMN和△FEN中，，ZENF=NMNB,

EF=BM

.?一BMN緣FEN（AAS）,

EN=MN,EM=、EF=LBC,

224

又,在RtZ\EFN中，EF2+EN2=FN2,FN=4下,

：.5EN?=8。,

:.EN=4（負值己舍去），

二BC=4EN=16,

故答案為：16.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質、勾

股定理等知識，解題關鍵是恰當連接輔助線，通過全等、中位線和勾股定理等知識準確推理

計算.

18.90見詳解

【分析】（1）利用勾股定理求出8C、BD、CD,再利用勾股定理的逆定理證明△8。是

直角三角形，問題得解；

（2）取網(wǎng)格點S、T、M（8C中點）、H,根據(jù)（1）可知NABC=90。，即AC為圓的直徑，

連接ST,交AC于點。，即。點為圓心，連接筋并延長交圓。點E,連接EO,交圓。點

F,連接8尸，并延長至G點，連接HC,交BG于點N,連接MN,問題得解.

【詳解】（1）根據(jù)勾股定理可得：BC2=42+22=20.BD-=42+22=20,CD1=62+22=40,

，BC2+BD2=CD2,

△88是直角三角形，

二ZABC=9Q°,

故答案為：90；

（2）如圖，取網(wǎng)格點5、T、M（BC中點）、H,連接57,交AC于點O,即。點為圓心，

連接階并延長交圓。點E,連接E。，交圓。點F,連接8F，并延長至G點，連接"C,

交BG于點M連接MN,MN即為所求.

答案第7頁，共20頁

證明：根據(jù)(1)可知NABC=90。，即AC為圓的直徑,

VSC=AT,ZSCO=ZOAT=90°,ZCOS=ZAOT,

二SCO^,TAO,

，CO=AO,

?/AC為圓的直徑，

??.0點為圓心，

尸為圓的直徑，

...ZEBF=90°,

，P點繞點B順時針旋轉90。得到的點在直線8尸上，

點為BC中點，ZABC=90°,

又?BM=BA=JF+2。=>/5,

A點繞點8順時針旋轉90。得到的點為M,

CM=HM=Vl2+22=y[5>CH+0=9,

，CM2+HM2=CH2,

/XHCM是直角三角形，且Z.HCM=45°,

由(1)可知在Rt38中，BC=BD,

：.NBDC=45°=ZHCM,

???NEBF=90°=ZABC,

：.AEBF-NCBE=ZABC-NCBE,

NFBC=NEBD,

在和。中,

答案第8頁，共20頁

BD=BC

?NFBC=ZEBD

ZBDC=45°=NHCM

：.CNB^DPB,

：.BN=BP,

又???尸點繞點B順時針旋轉90°得到的點在直線BF上,

P點繞點8順時針旋轉90。得到的點為N,

二即為所求，

故答案為：取網(wǎng)格點5、T、M(8C中點)、H,連接ST,交AC于點O,即。點為圓心，

連接8P并延長交圓。點E,連接E。，交圓。點凡連接的，并延長至G點，連接"C,

交8G于點N,連接MN.

【點睛】本題難度較大，考查了勾股定理及其逆定理，圓周角定理，全等三角形的判定與性

質，等腰三角形的判定與性質等知識，靈活運用圓周角定理是解答本題的關鍵.

19.(1)x41

(2)x>-3

(3)見詳解

(4)-34x41

【分析】(1)根據(jù)不等式的求解方法計算即可；

(2)根據(jù)不等式的求解方法計算即可；

(3)在數(shù)軸上表示即可；

(4)結合數(shù)軸，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定

不等式組的解集.

【詳解】(1)3(x-2)<x-4

3x-6<x-4

2x<2

x<],

故答案為：X<1;

(2)4x+l>2x-5

2x>-6

答案第9頁，共20頁

x>-3,

故答案為：x>-3；

(3)在數(shù)軸上表示如下:

-5-4-3-2-1012345

(4)結合數(shù)軸，可知不等式組的解集為：-3<x<l,

故答案為：-3<x<l.

【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同

大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.

20.(1)40,20；

(2)眾數(shù)5,中位數(shù)6,平均數(shù)6.4；

(3)240人

【分析】(1)根據(jù)5天的人數(shù)和所占的百分比求出抽樣調(diào)查總人數(shù)，用6天的人數(shù)除以總人

數(shù)即可求出，n的值；

(2)根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的計算公式分別進行解答即可；

(3)用八年級的人數(shù)乘以參加社會實踐活動時間大于7天的學生人數(shù)所占的百分比即可.

【詳解】(1)解：本次接受隨機抽樣調(diào)查的學生人數(shù)為：14-e-35%=40(人)，

Q

,n%=—xl00%=20,則%=20；

40

故答案為：40；20；

(2)解：在這組樣本數(shù)據(jù)中，5出現(xiàn)了14次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，

則眾數(shù)是5天;

將這組數(shù)據(jù)從小到達排列，其中處于中間的兩個數(shù)都是6,有寧=6,

則這組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6天；

5x14+6x8+7x10+8x4+9x4...十、

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是:--------------------------=6.4（天）；

(3)解：根據(jù)題意得:

1200x(10%+10%)=240(A),

答：參加社會實踐活動時間大于7天的學生人數(shù)有240人.

答案第10頁，共20頁

【點睛】本題考查的是條形統(tǒng)計圖的綜合運用.讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是

解決問題的關鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù).

21.⑴NC=60°,CD=6

⑵3得

【分析】（1）利用平行線的性質和圓的切線的性質定理求得NAC。的度數(shù)，再利用三角函數(shù)

即可得出結論；

（2）連接08、OF、。m，，利用切線的性質定理和全等三角形的判定與性質得到尸。=尸8,

MB=MA,利用切線的性質定理和平行四邊形的判定定理得到四邊形/VW花為平行四邊形,

則=MA=EF;設設CE=5匕貝lj￡F=4k,在RtAEC中，利用勾股定理列出關于

%的方程，解方程求得k值，最后利用三角形的面積公式解答即可得出結論.

【詳解】（1）解：M4、MB分別切，。于點A,B,

：.ZMBO=ZMAO=90°,

在四邊形MAOB中，

ZAOB=360°--ZAffiO—ZM4O=360°-120°—90°-90°=60°,

:.AD//BM,OBX.BM,

:.OB±AD,

AC是。的直徑，

.\ZADC=90°,即A￡>J_C￡）,

：.OB//CD,

ZC=ZAOB=60°,

CD=ACcosC=ACcos60°=12x—=6

2

（2）解：連接OB、OF.QM,如圖，F(xiàn)C,所為。的切線，

OC±FC,OB1FB,

答案第II頁，共20頁

在RtFCO和Rt.ESO中，

[FO=FO

[OC=OB

??.R3/CO且RL尸8O(HL)

:.FC=FB,

同理：MB=MA,

FC,MA為一。的切線，

J.ACLFC,MA1.AC,

:.MAFC,

ADBM,

???四邊形40/7E為平行四邊形，

：.MF=AE,MA=EF,

QCE=-EF

4f

設。E=5Z,則跖=4太

，MA=MB=EF=4k,FC=FB=9k,

??.MF=MB+FB=13匕/.AE=MF=13k,

在Rt_AEC中，

AC2+EC2=AE2,即122+(5Z)2=(13Z)2,

k>0y.\k=1f

:.EC=5,AE=\3.

AC是O的直徑，

ZADC=90°,

.?.8為斜邊AE上的高，

S.AeFcC=2-ACEC=-2AECD,

ACEC=AECD,12x560

1313

【點睛】本題主要考查了圓的有關性質，圓周角定理，圓的切線的性質定理，平行線的性質，

平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，連接經(jīng)過切點的半徑是解

答案第12頁，共20頁

決此類問題常添加的輔助線.

22.17m

【分析】過點C作C0J_AB于點。，則此段河面的寬度為線段C。的長，用三角函數(shù)表示出

AD.BD的長，再根據(jù)=列方程解答即可.

【詳解】解：過點。作于點D,則此段河面的寬度為線段C。的長，

/.ZCDA=ZCDB=90°,

在RtZ\CD4中，AD=C￡>tan50°,

在RtZXCQB中，B￡>=CDtan57°,

/.AB=AD+BZ)=CD-tan50°+CD-tan57°,

A846

CD=?17(m),

tan500+tan57°1.192+1.540

答：此段河面的寬度為線段為17m.

【點晴】本題考查了銳角的三角函數(shù)，用三角函數(shù)關系正確表示線段的長是本題的關鍵.

2s

23.⑴①600；②11；③120；④60；⑤2或7或7

60x(0<x<4)

(2)y=<240(4<x<5)

60x-60(5<x<11)

【分析】(1)根據(jù)圖象可得AB、8C兩地之間的距離，再根據(jù)路程、時間、速度的關系可

求得結果；

(2)乙機器人行駛的全過程中〉與x的函數(shù)關系式為分段函數(shù)，先根據(jù)題意確定點O、E、

產(chǎn)的坐標，然后再運用待定系數(shù)法，可求出①②③④結果；注意⑤要分三種情況來討論.

【詳解】(1)解：由函數(shù)圖象可得：48兩地之間的距離為240米，甲到達C點用時

(11-1)4-2=5^,AC兩地之間的距離為600米，則甲機器人的速度為600+5=120(m/min),

乙機器人的速度為240+(5-1)=60(m/min)；甲機器人從出發(fā)到返回A地，共用時11分鐘;

設經(jīng)過時間f分，兩機器人相距120米，

答案第13頁，共20頁

當0<Y5時，(120-60)r=120,

解得：f=2；

當5<r?ll時，兩機器人相遇過一次，甲機器人到距A地的距離為

600-120(z-6)=(1320-120r)m,乙機器人到距A地的距離為240+60(，-5)=(60/-60)m,

依題意得：|(1320-120r)-(60/-60)|=120,

解得：r=7或三；

綜上所述：r=2或7或年.

故答案為：①600；②11；(3)120；④60；⑤2或7或可.

(2)解:當04x44時，圖象過點￡>(4,240),

段為正比例函數(shù)圖象，其函數(shù)解析式為：y=60x；

當4cxM5時，y=240；

當5<x411時，EF段為一次函數(shù)圖象，過點E(5,240)1(11,600),

設其函數(shù)解析為y=履+仇女*0),代入￡(5,240),F(ll,600)得

5&+%=240

,解得：％=60,0=-60,

11Z+A=6OO

其函數(shù)解析為y=60x-60.

60x(04x44)

綜上所述：y=<240(4<x<5)

60x-60(5<x<11)

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性

質和數(shù)形結合的思想解答.

24.(1)8(0,8),C(4,0)

(484

(2)@5=12/n,其中04mW4；②四邊形8PED的面積為36,點E的坐標為

【分析】(1)過點A作AF，y軸于點F,利用等腰三角形三線合一求OB的長及點B的坐標，

利用Rt.49尸絲Rt.8CO求OC的長及點C的坐標.

(2)①過點尸作PGJ_y軸于點G,過點。作OHLPG,交GP延長線于點//,先利用

tanNO8c="=型求出BG=2m,再利用DHP與APGB全等得出PH=BG=2m,進而

BG0B

答案第14頁，共20頁

得GH的長，即.38邊。8的高的長度，再表示面積；

②作PK_Ly軸于點K,利用三角函數(shù)或者相似三角形求出點尸坐標，再計算R4,尸8的長

度，通過證明求得利用始與尸E的比例關系可求出點E的坐標；過點。作

DMJ.BE于點、M,過點P作PNLBE于點N,連接,將四邊形SPED的面積轉化為

ABPE與△3DE的面積之和進行求解.

【詳解】（1）解：過點A作軸于點F,如圖.

點A(-8,4),

AF=8,OF=4,

AB=OA,4F_Ly軸，

OB=2OF=8,

二點B的坐標為(0,8),A尸=08=8.

在RtAOF與RfBC0中，

(AF=OB

\AB=BC'

■■■RtAOF^RtBCO(HL).

???OC=OF=4,

.??點C的坐標為(4,0).

(2)解：過點P作PG，y軸于點G,過點。作交GP延長線于點H,如圖.

答案第15頁，共20頁

由tan/°BC=^=若

彳噎V

解得3G=2/〃.

/BPD=NBGP=90。，

，ZBPG+ZDPH=90°,ZBPG+/PBG=90°,

..ZDPH=NPBG.

由旋轉的性質，得DP=PB.

在d?！薄Ｅc中，

ZDPH=ZPBG

</H=NBGP=90。,

DP=PB

二.DH咯.PGB(AAS).

:.DH=GP=m,PH=BG=2m.

GH=GP+PH=m+2m=3m.

/.S=-?OB-GH=—x8x3m=12m.

22

???S與團之間的函數(shù)關系式為S=12〃?，其中0Km44.

②作PK_Ly軸于點K,如圖.

點尸的橫坐標為3,

???KP=3.

t/a八n/”O(jiān)BCK=PO=C

BKOB

KP—=-

BK8

BK=6,

答案第16頁，共20頁

OK=OB-BK=8-6=2,

，點戶的坐標為(3,2).

BP=J(0_3)2+(8-2)2=3也,AP=J(_8-3)2+(4-2)2=5亞

設NOPE=2a,則ZDBE=a,

NPBE=45°-a,ZBPE=900+2a,

NBEP=180°-NPBE-ABPE=45°-a,

PB=PD=PE=3非,

,AP_5y/5_5

PE3x/53

"xE-xPyP-yE3

即3一-(-8^)=4--2=”5

々-32-yE3

PD=PE,NDPE=2a,

1ono_2a

.?.ZPDE=ZPED=—~~—=90°-a,

2

/BED=APED-ZPEB=(90°—a)-(45。-a)=45°.

過點。作。于點M,過點、P作PNLBE于點、N,連接尸M,

則ZMDE=ZMED=45°,

??.DM=ME,

在NDM與△PEW中，

PD=PE

,PM=PM,

DM=ME

???PDMgPEM(SSS).

3600-90°

ZPMD=/PME=-—―=135°,

2

答案第17頁，共20頁

ZPMN=ZPMD-ZBMD=135°-90°=45°,

丁./NPM=45。,

/.PN=MN.

PB=PE,PN工BE,

BN=EN==BE=6.

2

DM+PN=ME+MN=EN=6,

：.S叫逆的￡D=SBPE+SBDE=；BEPN+；BE-DM=gBE-(PN+DM)=；xl2x6=36.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，三角函數(shù)的應用，

旋轉的性質，坐標系與函數(shù)，等腰三角形的三線合一等，解題的關鍵是畫出正確的輔助線.

25.

(2)?

(3)0<a<；,或者a=g

【分析】(1)利用待定系數(shù)法將點A、3的坐標代入即可；

(2)根據(jù)拋物線圖像分析得在14x43范圍內(nèi)，丫的最大值只可能在x=l或x=3處