新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題6 第3講 母題突破2 定點(diǎn)問(wèn)題（含解析）

專題六第3講圓錐曲線的綜合問(wèn)題母題突破2定點(diǎn)問(wèn)題內(nèi)容索引母題突破2

專題強(qiáng)化練1母題突破2定點(diǎn)問(wèn)題PARTONE思路分析?l斜率k存在時(shí)寫出l的方程

↓?聯(lián)立l，C的方程，設(shè)而不求

↓?計(jì)算kPA，kPB并代入kPA＋kPB＝－1

↓?分析直線方程，找出定點(diǎn)證明

設(shè)直線PA與直線PB的斜率分別為k1，k2.由題設(shè)可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題設(shè)k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0，子題1

已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).若點(diǎn)E(－2,0)，直線l不與坐標(biāo)軸垂直，且∠AEO＝∠BEO，求證：直線l過(guò)定點(diǎn).證明

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意可設(shè)直線l的方程為x＝ny＋b(n≠0)，則y1＋y2＝4n，y1y2＝－4b.由∠AEO＝∠BEO，得kEA＝－kEB，整理得y1x2＋2y1＋x1y2＋2y2＝0，即y1(ny2＋b)＋2y1＋(ny1＋b)y2＋2y2＝0，整理得2ny1y2＋(b＋2)(y1＋y2)＝0，即－8bn＋4(b＋2)n＝0，得b＝2，故直線l的方程為x＝ny＋2(n≠0)，所以直線l過(guò)定點(diǎn)(2,0).證明

由題意可知，直線l的斜率不為0，設(shè)其方程為x＝my＋2(m∈R)，將x＝my＋2代入y2＝4x，消去x可得y2－4my－8＝0，顯然Δ＝16m2＋32>0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－8，所以P(2m2＋2,2m)，又PQ⊥y軸，垂足為Q，所以Q(0,2m)，設(shè)以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(x0，y0)，所以當(dāng)x0＝2，y0＝0時(shí)，對(duì)任意的m∈R，①式恒成立，所以以PQ為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0).規(guī)律方法動(dòng)線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的兩大類型及解法(1)動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設(shè)條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，故動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)(－m,0).(2)動(dòng)曲線C過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn).跟蹤演練直線l：y＝kx＋m(k≠0)過(guò)點(diǎn)F，∴m＝－2k，∴l(xiāng)：y＝k(x－2).依題意Δ>0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∵點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P′，則P′(x1，－y1).∴直線P′Q過(guò)x軸上的定點(diǎn)(3,0).(2)過(guò)點(diǎn)P的兩條直線l1，l2分別與C相交于不同于點(diǎn)P的A，B兩點(diǎn)，若l1與l2的斜率之和為－4，則直線AB是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.解

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋t(t≠2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得(3k2＋2)x2＋6ktx＋3t2－12＝0，∴Δ＝36(kt)2－4×(3k2＋2)(3t2－12)>0，即24(6k2－t2＋4)>0，由l1與l2的斜率之和為－4，又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，∵t≠2，化簡(jiǎn)可得t＝－k－2，∴y＝kx－k－2＝k(x－1)－2，∴直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(1，－2).當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為x＝m，A(m，y1)，B(m，y2)，又點(diǎn)A，B均在橢圓上，∴A，B關(guān)于x軸對(duì)稱，∴y1＋y2＝0，∴m＝1，故直線AB的方程為x＝1，也過(guò)點(diǎn)(1，－2)，綜上直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)為(1，－2).2專題強(qiáng)化練PARTTWO12證明

①當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，設(shè)l：x＝m，A(m，yA)，B(m，－yA)，12②當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)l：y＝kx＋b(b≠－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，(1＋2k2)x2＋4kbx＋2b2－2＝0，依題意得，Δ>0，1212所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)(0，－2).2.已知點(diǎn)H為拋物線C：x2＝4y的準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，過(guò)H作拋物線C的兩條切線HA，HB，切點(diǎn)為A，B，證明直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求△HAB面積的最小值.12解

設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，H(t，－1)，1212綜合①②得，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐標(biāo)