弧長及扇形的面積九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生培優(yōu)題典2

2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題弧長及扇形的面積姓名：__________________班級：______________得分：_________________考前須知：本試卷總分值100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題〔本大題共10小題，每題3分，共30分〕在每題所給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．1．〔2021?南崗區(qū)校級一?！衬成刃蔚膱A心角為150°，其弧長為20πcm，那么此扇形的面積是〔〕A．120πcmB．480πcm2C．240πcm2D．240cm2【分析】設(shè)扇形的半徑為rcm，根據(jù)扇形的圓心角為150°，它所對應(yīng)的弧長為207πcm求出r的值，由扇形的面積公式即可得出結(jié)論．【解析】設(shè)扇形的半徑為rcm，∵扇形的圓心角為150°，它所對應(yīng)的弧長為20πcm，∴150π?r180=20π，解得∴S扇形=12×20π×24＝240π應(yīng)選：C．2．〔2021?杭州模擬〕如圖，點A，B，C在⊙O上，假設(shè)OB＝3，∠ABC＝60°，那么劣弧AC的長為〔〕A．πB．2πC．3πD．4π【分析】連接OA、OC，根據(jù)圓周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝120°，根據(jù)弧長的公式計算即可．【解析】連接OA、OC，如下圖：那么OA＝OA＝OB＝3，∵∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，∴劣弧AC的長為120π×3180應(yīng)選：B．3．〔2021?鐵嶺二?！橙鐖D，點A，B，C在⊙O上，∠O＝70°，AO∥BC，AO＝3，BC的長為〔〕A．2π3B．11π6C．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得到∠OBC的度數(shù)，然后根據(jù)OB＝OC，即可得到∠OCB的度數(shù)，從而可以求得∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式，即可求得BC的長．【解析】連接OC，∵∠AOB＝70°，AO∥BC，∴∠AOB＝∠OBC＝70°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝70°，∴∠BOC＝40°，∵AO＝3，∴BC的長為：40×π應(yīng)選：A．4．〔2021秋?云縣校級期末〕如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，且∠BCD＝30°，CD＝43，那么圖中陰影局部的面積為〔〕A．2π﹣4B．8π3-43C．【分析】連接OC，根據(jù)垂徑定理求出CE，解直角三角形求出BC＝2BE，求出BE＝2，BC＝4，求出△COB是等邊三角形，求出OC＝OB＝BC＝4，再求出答案即可．【解析】∵CD⊥AB，AB過O，CD＝43，∴CE＝DE=12CD＝23，∠CEB＝∵∠BCD＝30°，∴∠CBO＝90°﹣∠BCD＝60°，BC＝2BE，由勾股定理得：BC2＝CE2+BE2，即〔2BE〕2＝〔23〕2+BE2，解得：BE＝2，∴BC＝4，∵∠CBO＝60°，OC＝OB，∴△COB是等邊三角形，∴OC＝OB＝BC＝4，∴陰影局部的面積S＝S扇形COB﹣S△COB=60π×應(yīng)選：B．5．〔2021秋?金壇區(qū)期中〕如圖，AB是⊙O的直徑，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF．AB＝10，CD＝6，EF＝8，那么圖中陰影局部的面積等于〔〕A．10πB．12πC．25π2D．【分析】連接DO并延長交⊙O于點G，然后即可得到∠GCD＝90°，然后根據(jù)勾股定理可以得到CG的長，再根據(jù)圖形，可知陰影局部的面積就是半圓的面積，然后代入數(shù)據(jù)計算即可解答此題．【解析】連接DO并延長，交⊙O于點G，那么∠DCG＝90°，∵AB＝10，CD＝6，EF＝8，∴DG＝10，∴CG=GD∴CG＝EF，連接OC、OE、OF，∵△OEF的面積和△BEF的面積相等，∴陰影局部BEF的面積和扇形OEF的面積相等，同理，陰影局部ACD的面積和扇形COD的面積相等，∵CG＝EF，∴扇形OCG的面積和扇形OEF的面積相等，∴陰影局部的面積和半圓DCG的面積相等，∵AB＝10，∴OA＝5，∴陰影局部的面積是：π×52×1應(yīng)選：C．6．〔2021秋?松山區(qū)期末〕如果一個扇形的弧長等于它的半徑，那么此扇形稱為“等邊扇形〞，那么半徑為4的“等邊扇形〞的面積為〔〕A．4πB．8C．8πD．4【分析】根據(jù)扇形的面積公式S=1【解析】半徑為4的“等邊扇形〞的面積為12×4×4=應(yīng)選：B．7．〔2021秋?諸城市期中〕如圖，將矩形ABCD繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG，點B的對應(yīng)點E落在邊CD上，且DE＝EF，假設(shè)AD＝33，那么CF的長為〔〕A．94πB．34πC．64π【分析】連接AC、AF，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠DAE＝45°，AE＝36，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、弧長公式計算，得到答案．【解析】連接AC、AF，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BC＝EF，AB＝AE，∵DE＝EF，∴DE＝BC＝AD，在Rt△ADE中，DE＝AD，∴∠DAE＝45°，AE=AD2∴∠EAB＝90°﹣45°＝45°，即旋轉(zhuǎn)角為45°，∴∠FAC＝45°，在Rt△ABC中，AC=AB∴CF的長=45?應(yīng)選：A．8．〔2021?上城區(qū)校級一?！橙鐖D，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝23，以點A為圓心，AD長為半徑畫弧交邊BC于點E，連接AE，那么DE的長為〔〕A．33πB．πC．233πD【分析】求出∠DAE的度數(shù)，再利用弧長計算公式求出即可．【解析】由題意可知：AE＝AD＝BC＝23，在Rt△ABE中，sin∠AEB=AB∴∠AEB＝60°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝60°，lDE=故A、B、D錯誤，應(yīng)選：C．9．〔2021?海曙區(qū)模擬〕?九章算術(shù)?第一章“方田〞中講述了扇形面積的計算方法：“今有宛田，下周三十步，徑十六步，問為田幾何？〞大致意思為：現(xiàn)有一塊扇形的田，弧長30步，其所在圓的直徑是16步，那么這塊田面積為〔〕A．323平方步B．643平方步C．120平方步D．【分析】先求出扇形所在圓的半徑，再根據(jù)扇形的面積公式求出答案即可．【解析】∵扇形所在圓的直徑是16步，∴扇形所在圓的半徑是8步，∵弧長是30步，∴扇形的面積是12×8×30=即這塊田面積為120平方步，應(yīng)選：C．10．〔2021?金東區(qū)二模〕如圖，扇形AOB的圓心角是60°，半徑是3，點C為弧AB的中點，過點C作CD∥OB交DA于點D，過點B作BE∥OA交DC延長線于點E，那么圖中陰影局部面積為〔〕A．32B．3-32C．3【分析】連接OC，過C作CF∥OA交OB于F，作CH⊥OB與H，求出CH和CF長，從圖中可看出陰影局部的面積＝S四邊形BECF，然后依面積公式計算即可．【解析】連接OC，過C作CF∥OA交OB于F，作CH⊥OB與H，∵點C為弧AB的中點，∴∠AOC＝∠BOC=12∠AOB=∵OC=3∴HC=12OC∵CF∥OA，∴∠CFB＝∠AOB＝60°，∴sin60°=HC∴CF=32∵CD∥OB，∴∠BOC＝∠DCO，∴OD＝CD，∵CD∥OB，CF∥OA，∴四邊形CDOF是菱形，∴OF＝OD＝CF＝1，∴BF＝OB﹣OF=3-∵OA＝OB，∴AD＝BF，∴S陰影＝S四邊形BECF＝BF?CH＝〔3-1〕×應(yīng)選：B．11．〔2021?龍灣區(qū)模擬〕如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AB，BC，CA為直徑作半圓圍成兩月牙形，過點C作DF∥AB分別交三個半圓于點D，E，F(xiàn)．假設(shè)CEDF=35，AC+A．16B．20C．25D．30【分析】陰影局部面積可以看成是以AC、BC為直徑的兩個半圓的面積加上一個直角三角形ABC的面積減去一個以AB為直徑的半圓的面積．【解析】連接AF、BE，∵AC是直徑，∴∠AFC＝90°．∵BC是直徑，∴∠CDB＝90°．∵DF∥AB，∴四邊形ABDF是矩形，∴AB＝DF，取AB的中的O，作OG⊥CE．∵CEDF=35，設(shè)DF＝10k，CE∵CG=12CE＝3k，OC＝OA＝5∴OG＝4K，∴AF＝BD＝4K，CF＝DE＝2K，∴AC=C∵AC+BC＝15，∴25k+45k＝15，∴k=5∴AC＝5，BC＝10，S陰影＝直徑為AC的半圓的面積+直徑為BC的半圓的面積+S△ABC﹣直徑為AB的半圓的面積=12π〔AC2〕2+12π〔BC2〕2+12AC=18π〔AC〕2+18π〔BC〕2-18π〔AB=18π〔AC2+BC2﹣AB2〕+1=12AC=12×＝25．應(yīng)選：C．二．填空題〔共7小題〕12．〔2021?合肥三模〕如圖，點A，B，C都在⊙O上，假設(shè)OB＝3，∠ABC＝30°，那么劣弧AC的長為π．【分析】連接OA，OC．利用弧長公式計算即可．【解析】連接OA，OC．∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，∴AC的長=60?π故答案為：π．13．〔2021?莆田模擬〕如果一個扇形的圓心角為90°，弧長為π，那么該扇形的半徑為2．【分析】設(shè)該扇形的半徑為R，根據(jù)弧長公式得到90?π?【解析】設(shè)該扇形的半徑為R，根據(jù)題意得90?π?R180=π故答案為2．14．〔2021?包河區(qū)一模〕如圖，有一塊半徑為1米的扇形鐵皮OCD，取弧CD的中點B，連接BD，假設(shè)OC∥BD，那么這塊扇形鐵皮的面積為π3【分析】連接OB，求出∠COB＝∠DOB，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠COD+∠ODB＝180°，∠COB＝∠OBD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ODB＝∠OBD，求出∠COB＝∠DOB＝∠ODB，求出∠COB＝60°，∠COD＝120°，再根據(jù)扇形面積公式求出答案即可．【解析】連接OB，∵弧CD的中點是B，∴∠COB＝∠DOB，∵OC∥BD，∴∠COD+∠ODB＝180°，∠COB＝∠OBD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠COB＝∠DOB＝∠ODB，即3∠COB＝180°，解得：∠COB＝60°，∴∠COD＝60°+60°＝120°，∴扇形OCD的面積是120π故答案為：π315．〔2021?潼南區(qū)一模〕如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，以C為圓心，以AC的長為半徑作弧，交AB于點D，交BC于點E，那么圖中陰影局部的面積是93-3π．〔結(jié)果保存π【分析】連接CD．首先證明AD＝BD＝6，根據(jù)S陰=12S△ABC﹣S扇形【解析】如圖，連接CD．∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6，∴∠BAC＝60°，BC＝63，∵CA＝CD，∴△ACD是等邊三角形∴∠ACD＝60°，∠ECD＝30°，∵AB＝2AC＝12，AC＝AD，∴AD＝BD＝6，∴S陰=12S△ABC﹣S扇形CDE=12×12故答案為93-3π16．〔2021?大渡口區(qū)自主招生〕如圖，在正方形ABCD的邊長為6，以D為圓心，4為半徑作圓?。訡為圓心，6為半徑作圓?。僭O(shè)圖中陰影局部的面積分別為S1、S2，時，那么S1﹣S2＝13π﹣36．〔結(jié)果保存π〕【分析】根據(jù)題意和圖形，可以分別計算出S1+S3和S2+S3的值，然后用〔S1+S3〕﹣〔S2+S3〕即可得到S1﹣S2的值．【解析】由圖可知，S1+S3＝π×42×14=S2+S3＝6×6﹣π×62×14=36﹣∴〔S1+S3〕﹣〔S2+S3〕＝4π﹣〔36﹣9π〕即S1﹣S2＝13π﹣36，故答案為：13π﹣36．17．〔2021?錫山區(qū)一模〕如圖，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，那么圖中陰影局部的面積為π﹣2．【分析】由∠C＝45°根據(jù)圓周角定理得出∠AOB＝90°，根據(jù)S陰影＝S扇形AOB﹣S△AOB可得出結(jié)論．【解析】∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴S陰影＝S扇形AOB﹣S△AOB=＝π﹣2．故答案為：π﹣2．18．〔2021?盤錦〕如圖，⊙A，⊙B，⊙C兩兩不相交，且半徑都等于2，那么圖中三個扇形〔即陰影局部〕的面積之和為2π．〔結(jié)果保存π〕【分析】】根據(jù)三個扇形的半徑都是2，由扇形的面積公式即可求出陰影局部的面積．【解析】∵三個扇形的半徑都是2，∴而三個圓心角的和是180°，∴圖中的三個扇形〔即三個陰影局部〕的面積之和為180?π?2故答案為：2π．三、解答題〔本大題共6小題，共46分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕19．〔2021春?甌海區(qū)月考〕如圖，∠EAD是⊙O內(nèi)接四邊形ABCD的一個外角，且∠EAD＝75°，DB＝DC．〔1〕求∠BDC的度數(shù)．〔2〕假設(shè)⊙O的半徑為2，求BC的長．【分析】〔1〕根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求出∠C，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠BDC即可；〔2〕連接OB、OC，根據(jù)圓周角定理求出∠BOC，再根據(jù)弧長公式求出答案即可．【解析】〔1〕∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠DAB+∠C＝180°，∵∠EAD+∠DAB＝180°，∴∠C＝∠EAD，∵∠EAD＝75°，∴∠C＝75°，∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠C＝75°，∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝30°；〔2〕連接OB、OC，∵∠BDC＝30°，∴∠BOC＝2∠BDC＝60°〔圓周角定理〕，∵⊙O的半徑為2，∴BC的長是60π20．〔2021秋?望江縣期末〕如圖：AB為圓O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點E，連接AC，OC，BC．〔1〕求證：∠ACO＝∠BCD；〔2〕假設(shè)EB＝5cm，CD＝103cm，求圓O的直徑；〔3〕求劣弧BC的長．【分析】〔1〕根據(jù)垂徑定理和圓的性質(zhì)，同弧的圓周角相等，又因為△AOC是等腰三角形，即可求證．〔2〕根據(jù)勾股定理，求出各邊之間的關(guān)系，即可確定半徑；〔3〕求得圓心角的度數(shù)，利用弧長公式寫出答案即可．【解析】〔1〕∵CE＝ED，CB∴∠BCD＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠ACO＝∠BCD；〔2〕設(shè)⊙O的半徑為Rcm，那么OE＝OB﹣EB＝〔R﹣5〕cm，CE=12CD=12×10在Rt△CEO中，由勾股定理可得：OC2＝OE2+CE2，即R2＝〔R﹣5〕2+〔53〕2，解得R＝10．∴圓O的直徑2R＝20cm；〔3〕在Rt△OEC中，OE＝10﹣5＝5=12∴∠OCE＝30°，∴∠EOC＝60°，∴劣弧BC的長是60×π×1021．〔2021秋?東莞市期末〕如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點，OC∥BD，交AD于點E，連接BC．〔1〕求證：AE＝ED；〔2〕假設(shè)AB＝6，∠ABC＝30°，求圖中陰影局部的面積．【分析】〔1〕根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，于是得到結(jié)論；〔2〕連接CD，OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCB＝∠ABC＝30°，即可求得∠AOC＝∠OCB+∠ABC＝60°，根據(jù)垂徑定理得出AC=CD，從而得出∠COD＝∠AOC＝60°，求得∠AOD＝【解析】〔1〕證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，又∵OC為半徑，∴AE＝ED，〔2〕解：連接CD，OD，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC＝30°，∴∠AOC＝∠OCB+∠ABC＝60°，∵OC⊥AD，∴AC=∴∠COD＝∠AOC＝60°，∴∠AOD＝120°，∵AB＝6，∴BD＝3，AD＝33，∵OA＝OB，AE＝ED，∴OE=1∴S陰影＝S扇形AOD﹣S△AOD=120?π×322．〔2021?貴陽〕如圖，在⊙O中，AC為⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，點E是AC的中點，過點E作AB的垂線，交AB于點M，交⊙O于點N，分別連接EB，CN．〔1〕EM與BE的數(shù)量關(guān)系是BE=2EM〔2〕求證：EB=〔3〕假設(shè)AM=3，MB＝1【分析】〔1〕證得△BME是等腰直角三角形即可得到結(jié)論；〔2〕根據(jù)垂徑定理得到∠EMB＝90°，進而證得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到AE=BN，根據(jù)題意得到EC=〔3〕先解直角三角形得到∠EAB＝30°，從而得到∠EOB＝60°，證得△EOB是等邊三角形，那么OE＝BE=2，然后證得△OEB≌△OCN【解析】〔1〕∵AC為⊙O的直徑，點E是AC的中點，∴∠ABE＝45°，∵AB⊥EN，∴△BME是等腰直角三角形，∴BE=2EM故答案為BE=2EM〔2〕連接EO，AC是⊙O的直徑，E是AC的中點，∴∠AOE＝90°，∴∠ABE=12∠AOE＝∵EN⊥AB，垂足為點M，∴∠EMB＝90°∴∠ABE＝∠BEN＝45°，∴AE=∵點E是AC的中點，∴AE=∴EC=∴EC-∴EB=〔3〕連接AE，OB，ON，∵EN⊥AB，垂足為點M，∴∠AME＝∠EMB＝90°，∵BM＝1，由〔2〕得∠ABE＝∠BEN＝45°，∴EM＝BM＝1，又∵BE=2EM∴BE=2∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM=3∴tan∠EAB=1∴∠EAB＝30°，∵∠EAB=12∠∴∠EOB＝60°，又∵OE＝OB，∴△EOB是等邊三角形，∴OE＝BE=2又∵EB=∴BE＝CN，∴△OEB≌△OCN〔SSS〕，∴CN＝BE=又∵S扇形OCN=60π?(2)2360=13∴S陰影＝S扇形OCN﹣S△OCN=123．〔2021?揚州〕如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，連接BD，以點B為圓心，BA長為半徑作⊙B，交BD于點E．〔1〕試判斷CD與⊙B的位置關(guān)系，并說明理由；〔2〕假設(shè)AB＝23，∠BCD＝60°，求圖中陰影局部的面積．【分析】〔1〕過點B作BF⊥CD，證明△ABD≌△FBD，得到BF＝BA，即可證明CD與圓B相切；〔2〕先證明△BCD是等邊三角形，根據(jù)三線合一得到∠ABD＝30°，求出AD，再利用S△ABD﹣S扇形ABE求出陰影局部面積．【解析】〔1〕過點B作BF⊥CD，垂足為F，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB．在△ABD和△FBD中，∠ADB∴△ABD≌△FBD〔AAS〕，∴BF＝BA，那么