人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊)培優(yōu)講義+題型檢測專題4.5 對數(shù)-重難點題型精講（原卷版）

專題4.5對數(shù)-重難點題型精講1．對數(shù)的定義、性質(zhì)與對數(shù)恒等式(1)對數(shù)的定義：一般地，如果SKIPIF1<0=N(a>0,且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=SKIPIF1<0，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).(2)對數(shù)的性質(zhì)：①SKIPIF1<0=0，SKIPIF1<0=1(a>0,且a≠1)，負數(shù)和0沒有對數(shù).

②對數(shù)恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1).(3)對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系：根據(jù)對數(shù)的定義，可以得到對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系：當(dāng)a>0，且a≠1時，=Nx=SKIPIF1<0.

用圖表示為：2．常用對數(shù)與自然對數(shù)3．對數(shù)的運算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我們有：4．對數(shù)的換底公式及其推論(1)換底公式：設(shè)a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.(2)換底公式的推論：①SKIPIF1<0=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；

②SKIPIF1<0(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；

③SKIPIF1<0(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).5．對數(shù)的實際應(yīng)用在實際生活中，經(jīng)常會遇到一些指數(shù)或?qū)?shù)運算的問題.求解對數(shù)的實際應(yīng)用題時，一是要合理建立數(shù)學(xué)模型，尋找量與量之間的關(guān)系；二是要充分利用對數(shù)的性質(zhì)以及式子兩邊取對數(shù)的方法求解.

對數(shù)運算在實際生產(chǎn)和科學(xué)研究中應(yīng)用廣泛，其應(yīng)用問題大致可以分為兩類：

(1)建立對數(shù)式，在此基礎(chǔ)上進行一些實際求值，計算時要注意指數(shù)式與對數(shù)式的互化；

(2)建立指數(shù)函數(shù)型應(yīng)用模型，再進行指數(shù)求值，此時往往將等式兩邊同時取對數(shù)進行計算.【題型1對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點撥】對數(shù)式化簡或求值的常用方法和技巧：對于同底數(shù)的對數(shù)式，化簡的常用方法是：①“收”，即逆用對數(shù)的運算性質(zhì)將同底對數(shù)的和(差)“收”成積(商)的對數(shù)，即把多個對數(shù)式轉(zhuǎn)化為一個對數(shù)式；②“拆”，即正用對數(shù)的運算性質(zhì)將對數(shù)式“拆”成較小真數(shù)的對數(shù)的和(差).【例1】（2022·黑龍江哈爾濱·高三開學(xué)考試）求值lg4+2lg5+A．8 B．9 C．10 D．1【變式1-1】（2022·天津·高考真題）化簡(2logA．1 B．2 C．4 D．6【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）計算：2lgA．10 B．1 C．2 D．lg【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）化簡1og6A．?log62 B．?【題型2換底公式的應(yīng)用】【方法點撥】利用換底公式進行化簡求值的原則和技巧(1)原則：化異底為同底；(2)技巧：①技巧一：先利用對數(shù)運算法則及性質(zhì)進行部分運算，最后再換成同底；②技巧二：借助換底公式一次性統(tǒng)一換為常用對數(shù)（自然對數(shù)），再化簡、通分、求值.【例2】（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知a=lg2，b=lg3，則A．2a+2C．2?2aa【變式2-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知log23=m，logA．mn+3mn+1 B．m+【變式2-2】（2022·安徽·安慶市高一期末）已知a=lg2，b=lg3，用a，b表示log36A．2a+2b1?a B．【變式2-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）正實數(shù)a，b，c均不等于1，若loga（bc）+logbc＝5，logba+logcb＝3，則logca的值為（）A．45 B．35 C．5【題型3指數(shù)式與對數(shù)式的互化】【方法點撥】根據(jù)所給條件，利用指數(shù)式和對數(shù)式的轉(zhuǎn)化法則進行互化即可.【例3】（2021·全國·高一課時練習(xí)）下列對數(shù)式中，與指數(shù)式7xA．log7x=9 B．log9【變式3-1】（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知loga2＝m，loga3＝n，則a2m＋n等于（

）A．5 B．7 C．10 D．12【變式3-2】（2021·全國·高一專題練習(xí)）下列指數(shù)式與對數(shù)式的互化中不正確的是（

）A．e0=1與ln1=0 B．log39=2與91C．8-13=12與log812=-1【變式3-3】（2022·湖南·高一課時練習(xí)）將13A．log913=?2C．log139=?2【題型4指、對數(shù)方程的求解】【方法點撥】解指數(shù)方程：將指數(shù)方程中的SKIPIF1<0看成一個整體，解（一元二次）方程，解出SKIPIF1<0的值，求x.解對數(shù)方程：對數(shù)方程主要有兩種類型，第一種類型的對數(shù)方程兩邊都是對數(shù)式且底數(shù)相同，根據(jù)真數(shù)相同轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程求解；第二種類型的對數(shù)方程可整理成關(guān)于SKIPIF1<0的（一元二次）方程，解出SKIPIF1<0的值，求x.【例4】（2022·安徽·合肥模擬）方程lnlogA．1 B．2 C．e D．3【變式4-1】（2021·全國·高一專題練習(xí)）方程log2A．12 B．14 C．2【變式4-2】（2021·全國·高一課時練習(xí)）方程4x－2x＋1－3＝0的解是（

）．A．log32 B．1 C．log23 D．2【變式4-3】（2022·陜西·高一階段練習(xí)）如果方程(lgx)2+(lg7+lg5)lgx+lg7?lg5=0的兩根為A．135 B．lg35 C．lg7?lg5 D．【題型5帶附加條件的指、對數(shù)問題】【方法點撥】帶附加條件的指、對數(shù)問題主要是已知一些指數(shù)值、對數(shù)值或其等量關(guān)系，利用這些條件來表示所要求的式子，解此類問題要充分利用指數(shù)、對數(shù)的轉(zhuǎn)化，同時，還要注意整體思想的應(yīng)用.【例5】（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知loga3=m，loga2=(1)求am(2)若0<x<1，x+x?1【變式5-1】（2022·天津市高二期末）計算下列各題：(1)已知2a=5(2)求2log【變式5-2】（2022·遼寧·高一開學(xué)考試）已知3a=5，(1)27a(2)a+【變式5-3】（2021·徐州市期末）（1）已知2lg(x?2y（2）已知a+a?1=7，分別求a2【題型6對數(shù)的實際應(yīng)用】【方法點撥】對數(shù)運算在實際生產(chǎn)和科學(xué)研究中應(yīng)用廣泛，其應(yīng)用問題大致可以分為兩類：(1)建立對數(shù)式，在此基礎(chǔ)上進行一些實際求值，計算時要注意指數(shù)式與對數(shù)式的互化；(2)建立指數(shù)函數(shù)型應(yīng)用模型，再進行指數(shù)求值，此時往往將等式兩邊同時取對數(shù)進行計算.【例6】（2022·廣東汕頭·高三階段練習(xí)）核酸檢測分析是用熒光定量PCR法，通過化學(xué)物質(zhì)的熒光信號，對在PCR擴增進程中成指數(shù)級增加的靶標(biāo)DNA實時監(jiān)測，在PCR擴增的指數(shù)時期，熒光信號強度達到閥值時，DNA的數(shù)量X與擴增次數(shù)n滿足lgXn=nlg(1+A．22.2% B．43.8% C．56.2% D．77.8%【變式6-1】（2022·四川綿陽·高二期末（文））酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量在20～80mg之間為酒后駕車，80mg及以上為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量會以每小時20%的速度減少，若他想要在不違法的情況下駕駛汽車，則至少需經(jīng)過的小時數(shù)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3，lg3≈0.48）A．12 B．11 C．10 D．9【變式6-2】（2022·河南安陽·高三開學(xué)考試（理））香農(nóng)定理